第四节  函数展开成幂级数

教学目嘚：了解如何将函数展开成幂级数

教学重点：幂级数收敛域的求法函数展开成幂级数的充要条件。

教学难点：函数展开成幂级数的间接方法

定理：设函数在点的某一邻域内只有各阶导数则在该邻域内能展开成Taylor级数的充分条件是的Taylor公式中的余项当时的极限为零。

取时称為函数的麦克劳林级数

函数展开成幂级数的方法

（3）写出幂级数，且求出

（4）考察余项是否趋于零如趋于零，则在内的幂级数展开式为

唎如 可用此法分别求出和的展开式：

2．间接方法：利用幂级数可以逐项求导，逐项积分进行

注:必须熟记五个函数的幂级数展开式：

例3 将函数展开成（x-1）的幂级数

幂级数是函数项级数中最基本的一类它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和積分由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有著重大的意义

一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点出的各阶导数，这是Taylor级数的优点但从另一方面看，这又是它的缺点因为求任意阶导数并不容易，而且许多函数难以满足这样强的条件还应看到，若想取级数的前项和作为函数的近似值则在离开展开点稍远┅点的地方，取非常大才能使误差在所要求的限度内

1,第五节 函数的幂级数展开式,求幂級数, 在其收敛域内以 f x 为和函数函数的幂级数展开,问题,2.如果能展开, 是什么,3.展开式是否唯一,1. f x在什么条件下才能展开成幂级数,麦克劳林展开式,泰勒展开式,2,定理,证,3,,利用幂级数的和函数在其收敛区间内可任意阶求导的性质，,4,,5,,归纳可得,即得,6,定理,称为n阶余项.,7,函数 fx 展开成幂级数 具体步骤,2. 寫出幂级数 ，并求其收敛域 D.,如果是,则 fx在 D上可展开成麦克劳林级数,8,基本展开式,9,收敛域为, n 不为正整数,此外还有,10,一般用间接法 根据展开式的唯一性, 利用已知展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式 .,例1,所以,11,例2,解,所以,12,例3,两边求导,