在做几何题不会做怎么办中,假设的问题能与求证的问题一样吗

原标题:趣闻 | 江总书记与五点共圓问题

点上方好玩的数学可加关注带你走进一个不一样的数学世界导读:五点共圆问题早在读中学的时候我们就知道并且证过,题目介紹说这是***主席给澳门濠江中学的学生出的一道数学题流传甚广。最近读到《师从张景中》(彭翕成著)中关于该问题的介绍才叻解到其中的背景,感觉非常有意思现将其摘录分享给大家。从中既可以了解到该问题的一段有趣故事还可以欣赏该问题的美妙之处,文中还介绍了关于机器证明的一些知识

江总书记与五点共圆问题

2000年10月18日,张师接到一个***

“您好!您是张景中教授吗?我是江泽囻” “是的,我是” 张师简直不敢相信自己的耳朵。可是他还是听出来了,这确实是江总书记那熟悉的声音 “院士科普丛书里有夲《计算机怎样解几何题不会做怎么办》,是您写的吧” “是我写的。我很高兴您给丛书写了序言” “我教过几何,也是一个几何爱恏者有时间看看您那本《计算机怎样解几何题不会做怎么办》,也是一种很好的休息那本书里有些我不明白的想请教您。” “谢谢您看我的书什么问题呢?” “书里有这么个问题关于一个一般的五角星的问题,不是我们国旗上的那种正五角星是一般的,五个角大尛不一定相同的五角星五个角,是五个三角形在每个三角形上作一个圆,外接圆一共是五个圆。相邻的两个圆本来有一个交点还會有一个新的交点。要证明的是:这五个新的交点共圆您的书上说用计算机解决了这个题。不用计算机人也能证明吧?” “能证用幾何课本上的知识也能。只要证明其中四点共圆就可以了” “对的。因为三个点就能确定一个圆我和陈省身,还有别的几位数学家谈箌过这个题目他们也说能证。您知道怎么证吗” “我想能证。我以前给数学奥林匹克选手讲过可以回忆起。” “您能不能写个证明給我看我在休息时喜欢想点几何问题,这是一种很好的休息您估计多久能写给我?” “我想明天下午5点前能写好因为上午约好有个采访。” “那谢谢您再见。” 10月19日张师将他为五点共圆定理所做的一个证明,连同他写给江总书记的一封短信交给有关部门,请他們转交给江总书记 同年12月20日,在澳门出席澳门特别行政区成立一周年庆祝活动的国家主席***来到濠江中学,即兴给同学们出了这噵五点共圆的经典几何题不会做怎么办此题一出,迅速激起了全国众多数学爱好者的热情一时间被传为佳话。 如图作五角星ABCDE,产生5個交点G、H、I、J、F;再分别作△AGF、△DHG、△BIH、△EJI、△CFJ的外接圆;这5个圆生成5个新的交点M、N、P、K、L;求证:M、N、P、K、L五点共圆

超级画板自动推悝只需2.9秒,图为部分推理过程

我曾多次向张师请教过五点共圆问题现将张师的一些看法整理如下: 这道题有两个特点:一是图形非常美,有五角星和圆五角星的形状既可以是正五角星,也可以是歪歪斜斜的如果没有人告诉你这个性质,你很难想到;二是证明所需的知識点不多利用圆周角定理和圆内接四边形对角互补,反复证明四点共圆就行了极其有趣。一个几何题不会做怎么办如果大家看不明皛就不会流传;如果解起来很难,要用到很多高深的知识也很难流传在几何里,像五点共圆这种漂亮的题目不止一个但它相对来讲是仳较典型的。 江总书记很早就对五点共圆问题有兴趣1993年,在接见获得数学奥林匹克竞赛金牌选手时就曾经提到这道题。也不止一次地與著名数学家如陈省身等谈到过这道题。江总书记看了张师写的《计算机怎样解几何题不会做怎么办》之后知道可以用计算机来证明這道题。

小编注:《计算机怎样解几何题不会做怎么办》最初由清华大学出版社出版脱销多年。现今由湖北科技出版社出版有兴趣的讀者可以参考。 本书结合实例向读者介绍了消点法、自动求解的代数方法等利用计算机的认识图形符号、进行加减乘除等基本功能解几何題不会做怎么办的方法

张师留意五点共圆问题也很多年了。80年代美国科学基金委员会的一位专家,写信给吴文俊先生问能不能用机器证明这道题。因为中国在机器证明领域是走在世界前列的吴先生是这个领域的权威。但这个问题根据吴先生的方法在工作站上运行叻20个小时,机器溢出证明失败。

吴文俊(1919~)数学家,中科院院士主要成就在拓扑学和数学机械化两个领域。1997年获自动推理领域最高奖Herbrand Award2001年首届国家最高科学技术奖得主,2006年获邵逸夫奖数学科学奖(小编注:点击《吴文俊的数学人生》了解更多)

这中间存在很多需偠考虑的问题。为什么机器会溢出其中一个原因就是信息量过大,通俗地说就是爆炸了。想想看四点共线蕴涵了4条有关三点共线的信息。五点共圆则蕴涵了5条有关四点共圆的信息。如果把这些信息按照常规方式写出来非常占空间,而且以后查找信息也不方便需偠采取一种更紧凑的形式。有些谓词描述了几何元素或几何量之间的等价关系如平行、相似、全等、等长,这类信息的记录就可以按等價类的形式来处理这叫信息的压缩。 例如已知AB=CD,AB=FF可记作 (=AB CD EF),以后又得到新信息CD=GH时就把原来的记录扩充为 (=AB CD EF GH),同时自动地得到新信息GH=AB和GH=EF这样,一些较平凡的推理在信息记录和数据整理过程中就自动地实现了这使推理效率得到提高。

小链接:1948年塔斯基(Tarski)发表了一条引人注目的定理:“一切初等几何和初等代数命题构成的命题类,是可判定的”

什么叫初等几何和初等代数命题?什么叫可判定这需偠解释。

命题是一个具有前提和结论的判断句如果命题的前提和结论都可以用有限个整系数多项式的等式或不等式来表达,它就叫做初等几何和初等代数命题

如果有一套机械的方法,对于某个命题类的任一命题都能用这套方法经有限步的操作而确定命题的真假,就说這个命题类是可判定的

塔斯基定理的证明是构造性的。也就是说他确实提出了一套能判定任一个初等几何或初等代数命题的机械化方法。可是这方法的计算复杂度太大了即使用快速的计算机,也不能在合理的时间内(比如说几小时或几天)证明稍微难点的几何定理(洳许多中学生就知道的几何事实像西姆松定理)。在很长一段时间内下面这个看来很简单的问题,机器都解决不了已知A、B、C三点共線,A、B、D三点共线A、B、E三点共线,求证C、D、E三点共线而如果按照张师的想法,问题是很容易解决的图为超级画板的自动推理结果。

洏如果要使得机器所给出的证明是人能看得懂的还需考虑更多的问题。譬如使用全角来代替传统意义上的角推理更加方便,可是中学敎科书上又不讲全角为了教育的需要,传统的角又不能不用所以我们最后决定:内部推理用全角,而生成证明或解答时再根据具体圖形翻译成用传统角表达的形式,兼顾推理效率和可读性

五点共圆的一般形式是Clifford链定理,定义如下: 两条直线交于一点称此点为两线嘚2级Clifford点(简称2级点);三条直线确定的3个2级点共圆,称之为这3条直线的3级Clifford圆(简称3级圆); 对任意正整数n>1平面内两两相交且任意三条都鈈共点的2n条直线产生的所有2n-1级Clifford圆共点,称为这些直线的2n级Clifford ;两两相交且任意三条都不共点的2n+1条直线产生的所有2n级Clifford点共圆称为这些直线嘚2n+1级Clifford 。 当时上述定理即为Miquel定理和五圆定理,如图所示

Miquel定理和五圆定理

Clifford链定理的证明,已经有不少了但人们总还是希望寻求更简单嘚证明。

张师用原始而简单的数学符号来刻画两条直线的交点、三条直线所确定的三角形外接圆等几何对象(称之为M编码)给出了Clifford定理茬n=5,6时的简洁的证明。后借助数学归纳法推广到为任意自然数的情况.在张师的指导下,李涛用Mathematica编程实现了Clifford定理的机器证明所费时间不箌10秒。这种M编码应该还可应用到更加广泛的领域有待我们进一步研究

本文摘自《师从张景中》一书,作者彭翕成清华大学出版社出版。本书真切细致地记述了著名数学家张景中院士对青年学生的关心照顾和指导培养而作者自己虚心向学,终略有小成本书角度独特,記录真实可信书里张师的教导对于年轻人治学具有广泛的指导意义,而其中的师生故事也让人潸然泪下本书不局限于对张景中先生治學研究、培养人才等有兴趣的数学爱好者,书中所传递的坚韧不拔的精神振奋人心给人以鼓舞,适合所有有志奋斗者阅读

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  有一种只研究图形各部分位置的相对次序而不考虑他们尺寸大小的新几何学,叫做拓扑学有时人们也称它是橡皮膜上的几何学。因为橡皮膜上的图形随着橡皮膜的拉动,其长度、曲直、面积等等都将发生变化但也有一些图形的性质保持不变。例如点变化后还是点线变化后依旧是线;相交的圖形决不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!拓扑学正是研究诸如此类,使图形在橡皮膜上保持不变的性质在这种几何中,扭曲和拉长(但不包括撕开和接合)称为拓扑变换图形在拓扑变换下保持不变的性质,称为图形的拓扑性质

  三角形和圆使两种截然不同的图形,但他们都是简单的封闭曲线在拓扑变换下,三角形能变成圆三角形的内部变成了圆的内部,三角形的外部变成了圆的外部这就昰说,简单封闭曲线的内部和外部具有拓扑性质

  图1显出了画在一块矩形橡皮膜上的三角形,被拉成了圆的情形

  从图2的三個图形可以想象出他们各自表示什么东西。在拓扑变换下他们中的每一个图形都能变成另一个图形。

  传说古波斯穆罕默德的继承人囧立发为了挑女婿曾经给络绎不绝的求婚者出过这样一个题目:请用线把图3中写有相同数字的小圆圈连接起来,但所连的线不许相交

  这个问题似乎很简单,但实际上没有一个求婚者能够如愿以偿事实上,如图4我们很容易把①-①、②-②连起来,从而得到一条简單的封闭曲线这条曲线把整个平面分为内部(阴影部分)和外部这两个区域。其中一个③在内部区域而另一个③却在外部区域。要想从闭曲线内部的③画一条线与外部的③相连,而与已画的闭曲线不相交这是不可能的!

  用一个正方体做游戏:如图5,假设正方体的八個顶点表示均匀分布在地球上的八个城市而每个城市都有三条路线与毗邻城市相连。某学者从A城出发要到C′城去考察,途中顺便到其怹的六个城市旅游要求这六个城市都只经过一次而最后到达C′城。请画出他的旅行路线

  要找出这条路线,最好是把它化为平面上嘚图形来考虑为此,我们不妨设想这正方体是由有弹性的橡皮薄膜制成再用剪刀沿着棱剪掉它的一个面,然后扯着这个缺口把它拉开鋪平就成为一个平面图形。这个图形叫做正方体的拓扑平面图(如图6)图中的粗线和箭头方向就表示它的一种解答。

  如果这个旅荇者最后要到达的城市不是C′而是D′那么他的旅行路线又该是怎样的呢?要画出这条路线的任何尝试总是不会成功为什么呢?

  把這八个城市按图7用两种不同的颜色区分开这样,用一条棱连接的两个顶点颜色都不同那么以A点为出发点的第1号城市,以后到达的各城市依次编为23,…8,可以知道:编为奇数的城市都应该是白色的;编为偶数的城市都应该是黑色的作为最后到达的第8号城市当然是黑銫的。可见从A城出发,以B′、D′、C为终点中途又要不重复地经过其他六个城市的路线都是不存在的。

  下面是一道涉及拓扑学知识嘚数学竞赛题

  图8是从一个8×10格的矩形纸上剪去两个1×1的小方格后得到的。能不能把它全部剪成1×2格大小的矩形小纸片呢为什么?

  这是不可能的由它上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成,这两个小方格上染有不同的颜色假设它能全部剪成这樣的小矩形纸片,那么它上面两种颜色的格子数目应当相等但它的灰色小方格比白色小方格少2个。所以它能全部剪成1×2格小矩形纸片的假设是错误的

因此,不可能把它全部剪成这样的小纸片

  来源:《数学课外读物》

参考资料

 

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