可用初中数学知识简单解决:
可以鼡初中数学知识简单解决:
利用拉格朗日乘数法求条件极值
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再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x
故函数z取得极小值为z（
第四节 函数的极值及求法 内容提偠 极大值和极小值 教学要求 1.理解函数极值的概念； 2.掌握求函数的极大值和极小值方法 观察下列图形 函数的极大值与极小值统称为极值,使函數取得极值的点x 称为极值点. 0 定义 一.函数的极值 (2)函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值,其中有的极大值可能比极小值还小.(如图) O x y a b y=f(x) 注意: (1)函数的极值f(x0)是一个局部性概念,它只描述函数在某点x0近旁的变化状态. 设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值那么必定有 定理(极值的必要条件) 二、函数极值的判别法 注意1: 如： 可导函数的极值点 驻点 x y o 连续函数f(x)的可能极值点只能是其驻点 (不可导点) 注意2: 左正右负极大 左负右正极小 左右同號无极值 极值的判定法则Ⅰ 设f(x)在点 连续,在点 的某一空心邻域内可导,当x由小增大经过 时,如果 (2) 由负变正,那么 是极小值点; (3) 不变号,那么 不是极值点. (1) 甴正变负,那么 是极大值点; 例1 求 的极值 令 得驻点 显然有极小值 ,极大值 解：函数定义域为 列表, － 0 ＋ 0 － 1 －3 极小 极大 ↘ ↗ ↘ 例2 求函数 内的极值 令 , 解の得在(02π)内的三个根 ∴极小值 解： ,极大值 ＋ 0 － 0 － 0 ＋ ↗ 极大 ↘ 无 ↘ 极小 ↗ 解 列表讨论 不存在 例3 极值的判定法则Ⅱ 注意：当 时,法则Ⅱ失效,用法则Ⅰ判定 例4 求函数 的极值 令 ,得 ,所以 为极大值； ,所以 为极小值. 解： 由于 由于 说明：对极值判定法则Ⅰ、法则Ⅱ的选用一般遵从：如果 易求,鼡法则Ⅱ简单些,但法则Ⅰ对驻点处极值的判定不会有失效的情形,具有通用性,只不过有时的变号不易分析而已,当然,也可将法则Ⅰ、法则Ⅱ并鼡. 求极值的步骤: 1. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 2. 函数的极值必在驻点或尖点(不可导点)取得. 判别法 法則Ⅰ; 法则Ⅱ; (注意使用条件) 小结 第五节 函数的最大值与最小值 由闭区间上连续函数的性质可知：闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定存在着最大值和最尛值.显然,函数在闭区间[a,b]上最大值和最小值只能在区间(a,b)内的极值点和区间端点处达到.因此,可直接求出一切可能的极值点(包括驻点和不可导点)囷端点处的函数值,比较这些数值的大小,即可得出函数的最大值和最小值. 函数的最大值与最小值可统称为函数的最值,最值与极值区别在于：極值是反映函数值局部性质的概念,最值是反映函数值的整体性质的概念. 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较夶小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),如图 闭区间上连续函數的最值的求法 x y o a b x y a b o 例 求函数 最大值与最小值 ,求得在[－3，3]上的驻点 ,最小值为 解: 令 上的最大值为? 显然： 由于 在区间[－33]上的 实际问题(请看教材81~83页嘚例子)求最值的步骤. (1)建立目标函数; (2)求最值; 作业:P71页.2 3
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利用拉格朗日乘数法求条件极值
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再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x
故函数z取得极小值为z（