网格多翅膀混沌三组分系统相图嘚设计及其电路实现 摘 要 混沌(Chaos)是指确定性非线性三组分系统相图产生的一种对初始条件具有敏感依赖性 的非周期运动由于其在三组分系統相图控制和保密通信等领域的广阔应用前景而得到广泛 关注和深入研究。混沌通信三组分系统相图的保密性能与其所使用混沌吸引子的拓扑结构及 动力学特性息息相关因此构造复杂的混沌三组分系统相图成为了研究的一个热点，主要包 括超混沌三组分系统相图的研究、哆涡卷混沌三组分系统相图的研究及多翅膀混沌三组分系统相图的研究本文在 国内外相关研究成果的基础上就网格多翅膀混沌三组分系統相图的设计及其电路实现进行了 仔细的研究。论文取得的研究成果如下： 1、首先提出了一个新的双翅膀混沌三组分系统相图。通过对吸引子相图、李雅普诺夫 指数谱、分岔图、时域波形、功率谱及平衡点的分析验证了此非线性动力学系 统在一定的参数范围内确实是一個新的混沌三组分系统相图。其次依据网格多翅膀混沌系 统的建模准则，在新的双翅膀混沌三组分系统相图中引入了两种非线性函数族在它们的协 同作用下可以使得三组分系统相图的平衡点在原有两个的基础上在平面中进行扩展，从而混 沌吸引子可以围绕这些平衡点演囮为网格多翅膀的形状最后，按照混沌三组分系统相图电 路模块化设计的步骤进行了此网格多翅膀混沌三组分系统相图的电路设计，包括整体电路 部分及非线性函数电路部分通过开关的灵活控制，可以得到各种网格多翅膀混 沌吸引子的电路仿真结果数值仿真结果和電路仿真结果的对比，可以发现它们 具有很好的一致性验证了网格多翅膀混沌三组分系统相图设计的正确性及可行性。 2、提出了将Ln混沌彡组分系统相图改造为网格多翅膀混沌三组分系统相图的新方法通过对比Ln 混沌三组分系统相图及新双翅膀混沌三组分系统相图的无量纲方程，发现它们在三组分系统相图构成方面存在的区 别这种区别表明必须根据三组分系统相图独有的特征为其设计合适的非线性函数族。在Lii 混沌三组分系统相图中引入了三种非线性函数族通过调整并选取合适的三组分系统相图参数，三组分系统相图的 平衡点可以在平面Φ进行扩展混沌三组分系统相图的吸引子也就因此可以演化为网格的形 状。最后设计了实现这个网格多翅膀混沌三组分系统相图的模拟電路电路仿真结果验证了 构造方法的可行性。 关键词：网格多翅膀混沌吸引子；李雅普诺夫指数；分岔图；平衡点；混沌电路 设计

      有了上一章的线性叠加原理后峩们现在来计算任一平面三组分系统相图的通解。粗看似乎有无穷多不同的情形要讨论，但我们将看到最简形式的几个例子就几乎涵蓋了我们在高维情形将要遇到的所有解的类型。

我们先对每种情形给出一个典型例子随后我们将看到任何属于这三类的三组分系统相图嘟可以类似地处理。

0)$都将沿不稳定线趋于$\infty$而在负向时，这些解都将沿稳定线趋于$\infty$

      我们在图3.1中作出了该三组分系统相图的相图。所谓一個三组分系统相图的相图就是指一个三组分系统相图的一些有代表意义的解曲线在相平面$\mathbb

的直线解构成不稳定线当$t \to \infty$时，这些解都将远离原点形如

的直线解则构成了稳定线，当$t \to \infty$时这些解都将趋于原点。根据线性叠加原理其它的解都具有形式

于是当时间增加时，三组分系统相图的典型解都将接近$\boldsymbol X_1(t)$而当时间减少时，它们将趋于$\boldsymbol X_2(t)$如图3.2所示，这与上一例子相似

由于$\lambda_1<\lambda_2<0$，我们称$\lambda_1$为强特征值$\lambda_2$为弱特征值(绝对徝大的为强特征值，因为无论是增大或是减小绝对值大的指数对应的解变化得更快)，之所以如此称呼是解的$x$坐标趋于0比其$y$坐标趋于0要快嘚多(从图上看感觉似乎$y$坐标趋于0比其$x$坐标趋于0要快，事实上在靠近原点处，任意一条解曲线$x$坐标的绝对值总是小于$y$坐标的绝对值，洇此可以说明$x$坐标趋于0比其$y$坐标趋于0要快得多)这就解释了为什么当解趋于原点时(除了$\lambda_1$特征向量所对应的直线上的解)，这些解会朝弱特征徝所对应的解直线聚集(就像流水一样总往低地势(弱特征值)聚集)。

满足$0<\lambda_1<\lambda_2$时对应的向量场可以看成是上一例子的负向量场。其通解相图是┅样的只是所有的解都沿着相同的路线远离(0,0)(见图3.3b)。

      现在可能有人会说我们所展示的例子过于简单。现在看来的确如此但是随后我们將看到，任何具有不同实特征值的微分方程三组分系统相图都可以通过坐标变换化成这种特殊形式

      最后，当有一个特征值等于0时情况會有些特别。我们已经知道此时有一条直线上的点全都是平衡点。如果另一个特征值$\lambda$非零则$\lambda$的符号决定了其它的解是趋于这些平衡点還是远离这些平衡点。

A$有复特征根时我们不再有直线解，然而通过利用一些复数及复函数的技巧，我们仍然可以像以前一样得到通解在下面的例子中，我们将看到一般的过程是怎样的

由于第二个方程是多余的，上述方程组等价于$\text i\beta x = \beta y$于是得到一个复特征向量(1,i)，从而函數

      通常对一个实微分方程三组分系统相图得到一个复解不是太合适，但我们可以通过欧拉公式

来克服这一点利用欧拉公式，可将解写荿

就给出了任一初值问题的一个解其中$c_1$和$c_2$是任意常数。

      我们断言上式也是方程的通解有些人会觉得，另一个特征根$\lambda = -\text i \beta$也会得到两个不相關的实解可以证明，它们与另一个特征根所求得的实解是一样的

      可以看到，所有的这些解都是周期为$2\pi /\beta$的周期函数事实上，从三组分系统相图的相图可以看出所有的解都在以原点为中心的圆周上。当$\beta >0$时解沿圆周顺时针旋转，而当$\beta <0$时则逆时针旋转(见图3.4)这种类型的三組分系统相图称为一个中心。

$相对应的一个特征向量由方程

所确定从而(1,i)仍然是一个特征向量，由此可得如下复解

如果没有$e^{\alpha t}$这一项这些解将周期地缠绕在以原点为中心的圆周上，而多了$e^{\alpha t}$这一项将使得解要么盘旋地进入原点(当$\alpha<0$时)要么盘旋地离开原点(当$\alpha>0$时)。此时平衡点分别稱为螺线汇点或螺线源点(见图3.5)

因而任何非零向量都是特征向量。于是任何解都可以写成

每一个解都在通过原点的直线上要么趋于原点(當$\lambda<0$时)，要么远离原点(当$\lambda>0$时)因而，这是一种容易的情形

的情形。此时两个特征值仍然都等于$\lambda$但此时只有一个线性无关的特征向量(1,0)。从洏其对应的直线解为

为了找到其它的解我们将三组分系统相图写成

这是关于$x(t)$的一个非自治一阶微分方程。可能会有人猜测解的形式为$e^{\lambda t}$泹是其非自治项也是这种形式的。可能你们在微积分课程上已经知道最好假设解的可能形式为

其中$\alpha, \mu$为常数。这种技巧通常称为“待定系數法”将上式代入微分方程可得$\mu = \beta$，而$\alpha$则是任意的从而三组分系统相图的解可以写成

这事实上就是三组分系统相图的通解。如果$\lambda <0$在$t \to \infty$时，所有的解都趋于(0,0)而当$\lambda >0$时，所有的解都远离(0,0)见图3.6。事实上解都是沿特征向量(1,0)的方向趋于或远离原点的。

      在前三节除去相图的不同外，我们实际上只处理了以下三种类型的矩阵

其中在第一种情形$\lambda$可能等于$\mu$(以上三种情形对应：(1)两个不等实根；(2)一对共轭复根；(3)两个相等实根)

{AX}$，我们总可以通过“坐标变换”使得新三组分系统相图的系数矩阵成为标准型，从而变得容易求解下面我们就来做这件事。

去乘鉯任一向量因而我们认为线性映射和它对应的矩阵是可以互换使用的，从而也写成

Y$的容易求解你们也许可以猜到，我们总可以找到一個线性映射(以特征向量为列向量组成$\boldsymbol T$)将一个给定的线性三组分系统相图变成标准型中的一个

总结：坐标变换也可以看作变量代换，如果對于非标准型的$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$三组分系统相图可以先求出两个线性无关的特征向量(如果存在的话)，以这两个线性无关的特征向量组成坐标变换矩阵$\boldsymbol T$$\boldsymbol {T^{-1}AT}$即变换为标准型矩阵。从非标准矩阵本身求解得到坐标变换矩阵然后将自身标准化，目的就是这么简单