其实在之前的文章中, 已经找到了3种不同的FM解调方法, 只是着急得到结果, 所以没有详细研究, 现在已经搞定收音, 因此仔细研究一下解调方法的区别.
根据的描述, 一般广播的调制范围为75kHz, 因此需要的采样率最低是150kHz, 那么我之前用的125kHz可以说是不恰当的, 由于是调频, 则波形应该是会受到削波.
其实对于已有IQ信号的情况而言, FM解调应当是比较容易的, 因为IQ信号天然的就具备的相位的信息, 把每个sample放在极坐标图上, 每个相邻sample之间角度差, 就是瞬时频率(关键词: instantaneous frequency), 把这个频率输出, 就得到了解调的信号. 那么这样就有了第一个方法 求反正切-&求差-&unwrap.
这里面有个问题, "求差"这个运算在连续时间的领域是微分, 关于在离散域做差分运算, 推荐参考 或者买一本 看看第七章, 这本书第二版目前绝版, 而第三版是刚出的(2015年5月), 不知道翻译的怎么样.
"微分是很容易产生噪声", 看看模拟电路的微分器, 所以在离散运算中如果用最简单的做差(first-difference differentiator) 会带来两个问题:
数据不同步, 如果微分后的数据需要和原数据做计算, 则由于做差相当于一个(0.5,-0.5)两个tap的FIR滤波器, 那么它的group delay为0.5个sample(来自Lyons的书).
对高频信号进行了放大.
因此就有了书中介绍的一堆简单的FIR滤波器.
OK, 绕了一圈回到FM解调上, 可以看到上面这个方法需要加上一个unwrap, 这是由于角度不连续造成的, 在中有截图. 那么如果换一种方法, 先求差, 然后再求角度, 这样是否就避免了这个问题呢? 在中, 该程序就是采取的这个方法, 用当前sample乘后边sample的共轭, 然后再求atan2, 这样子每个角度都是从0度开始, 则不超过360度都不需要特殊处理.
还有一种方法是在Lyons的书中发现的, 位于13章的第22个, 在进行了一些导数的后得出了一个奇怪的式子.
说实话, 我在这东西上面卡了好久, 推导过程是清晰明了的, 我在实际程序里也试用效果和上面两个差不多, 在网上翻了几天没啥发现, 我觉得自己研究一下, 于是我自造了几个数, 让这几个算法去解调.
data = np.ones(16,np.complex)
half= np.power(2,.5)/2
data[0] = 1
data[1] = half+half*1j
data[2] = 1j
data[3] = -half+half*1j
data[4] = -1
data[5] = -half-half*1j
data[6] = -1j
data[7] = half-half*1j
data[8] = 1
data[9] = half+half*1j
data[10] = 1j
data[11] = -half+half*1j
data[12] = -3
#注意这里做的幅度不同的数
data[13] = -half-half*1j
data[14] = -5j
data[15] = half-half*1j
为了省(tou)事(lan), 我造的是最简单的45度角, 绕着圆心转. 结果让我研究了两天.
#atan2-&求差-&unwrap
#求角度差-&atan2
#专用公式+直接做差
可以看到前两个方案很完美的解出了所求的pi/4这个45度值(pi/4为0....). 专用公式为啥算成这个样子了? 而且还受幅度干扰严重, 前几个只所以能得到0.707这个貌似接近的值, 也是由 half= np.power(2,.5)/2 来提供的, 如果换成1, 就变成.
完全不对了好吧, 于是我手算了一下, 这确实是算不出其他算法那样的结果, 一点儿可能性都没有, 不是1就是0, 怎么能算出来个pi/4 ? 于是我在困惑中怀疑上了那个微分运算, 也是在这样的情况下找到的那本书的第三版. 然而问题不是出在微分运算, 实验了多个并不完美的differentiator后, 依然得不到接近的结果.
于是只能google了.
Paul Solomon 在comp.dsp邮件组中多次关于关于他的FPGA FM收音机发问.
说实话我看得不是很懂, 大概记得有人提到说是那个公式是一个小角度近似, 但我也没想明白为啥, 于是我决定试试. 首先需要做一个生成任意角度数据的.
ticks = np.linspace(0,2*np.pi,10)
#角度由0至2*pi分成10等份.
imag=np.cos(ticks)
real=np.sin(ticks)*1j
data = real+imag
首先试一下45度
ticks = np.linspace(0,np.pi*2,9)
ticks = np.linspace(0,np.pi*2,13)
ticks = np.linspace(0,np.pi*2,37)
ticks = np.linspace(0,np.pi*2,5)
可以看到该公式随着角度的增加, 误差逐渐增大, 为啥就不清楚了. 也就是说, 该公式还是有局限性, 当采样率高时, 每个sample之间角度小, 就可以用, 如果角度大, 还是老老实实做atan吧~
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