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灰飞烟灭啦
前几天,超模君跟模友来分了一下酒(分酒问题传送门),然后又好几个模友都表示想起了汉诺塔问题。
于是,在周末的时候,超模君就下载了个汉诺塔的游戏来玩,刚开始第一关,没几秒超模君就完整将第一条杆上3个蓝蓝的小圈圈从大到小移到了第三条杆上,轻松获得了满分3星。
然而,随着轮胎数的增加,超模君发现,虽然原理都是一样的,但脑子有时真的有点转不过来,一不小心就game over了。。。
不过,超模君表示不能轻易放弃,决定还是得彻底搞清楚汉诺塔(Tower of Hanoi)的玩法。
首先,当然要从汉诺塔的由来讲起,这源于印度的一个关于“世界末日”的传说。
相传,印度教主神梵天在创造这个世界的时候,在印度贝那勒斯城的一座寺庙里,做了3根宝石针,安放在一块黄铜板上。
并且,在其中一根宝石针上,自下而上,从大到小,堆放了64块黄金圆盘,所谓的汉诺塔就这样出来了。
接着,梵天大神便吩咐庙里的教徒,每天都按照规则去移动汉诺塔上的圆盘,借助中间那根宝石针作为中介,将这64个圆盘移到第三根宝石针上,重建一个新塔。
规则很简单:圆盘只能在3根宝石针之间移动,每次只能移动一个圆盘,小圆盘必须放在大圆盘上面。
梵天大神还说了,只要你们完成任务,这个世界就会在一瞬间毁灭。
于是,教徒开始不分昼夜去搬圆盘,为的就是能够看到世界毁灭,但是,连着教徒的后人都搬了好几代了,还是没能够完成梵天大神的任务。
暂且不论这个传说有几分真实,让我们先来算一笔账。
1个圆盘时需要移动1次,2个圆盘时需要移动3次,3个圆盘时需要移动7次,4个圆盘时移动的次数便增加到了15次。
如果是5个圆盘的话……
图片来源:http://blog.csdn.net/yuxiboh/article/details/?locationNum=1&fps=1
上面那个动图估计大家看着都有点晕,现在超模君就再来展现一下自己的画功。
其实,汉诺塔问题永远只需要3步!
大家是否记得之前超模君推送过的“把大象装进冰箱的N种方法!”呢?虽然里面都是一本正经地胡说八道,但这都源于一个经典笑话。
把大象放进冰箱要几步?
分三步:1、把冰箱门打开;2、把大象塞进去;3、把冰箱门关上。
而这个笑话就是汉诺塔问题的解法啦。
就是这么简单粗暴!
只不过,随着圆盘数n的增加,就意味着“大象”被“分割”成更多个部分。
要想将“大象”装进冰箱,就要先把“大象的头”塞进去,然后再把“大象的身体”塞进去,最后把“大象的腿和尾巴”塞进去。
那我们第一轮的目标就是“大象的头”。要想将“大象的头”塞进冰箱,那就得先将“大象的鼻子”塞进去,然后再把“大象的脸”塞进去,最后把“大象的后脑勺”塞进去。
接着,我们的目标就变成了“大象的鼻子”。要想将“大象的鼻子”塞进冰箱,就得先把“大象的第一段鼻子”塞进去,再把“大象的第二段鼻子”塞进去,……把“最后一段鼻子”塞进去。
之后,我们的目标变成“大象的第一段鼻子”。要想将“大象的第一段鼻子”塞进冰箱,就要先把“大象的第一个鼻孔”塞进去,再“第二个鼻孔”。
。。。。。。
如此迭代,最后大象就会全部被塞进冰箱,也就是汉诺塔重建成功!
前方高能!看完之后估计你就会失去对这个游戏的兴趣了。。。
比如我们现在有5个圆盘,我们的最终目标是将A上的5个圆盘按顺序移到C上。
那么,最大的圆盘5目标位置就是C,这样的话,圆盘4的就得先去B,圆盘3要去C,圆盘2要去B,圆盘1就去C。
一句话就是,圆盘1,3,5的目标位置是C,圆盘2,4是去中转站B。
如果是6个圆盘,那最大的圆盘6的目标位置是C,那么,圆盘5就得先去B,圆盘4去C,圆盘3去B,圆盘2去C,圆盘1去B。
即系,圆盘2,4,6的目标就是C,而圆盘1,3,5要先去中转站B。
这样下去的话,就算是64个圆盘,也可以轻松知道每一个圆盘的每一步该怎么走:
这时需要将所有的奇数号圆盘移去中转站(B),所有偶数号圆盘移去目标站(C);
当圆盘64到达目标站之后,此时就变成63个圆盘的移动问题了,需要将所有奇数号圆盘移到目标站(C),所有偶数号圆盘移到中转站(A),直到圆盘63就位C;
之后,就会变成62个圆盘的问题,再变成61,60,59……个圆盘的问题,继续重复这个过程,直到所有的圆盘都移到最终目标位置C。
是不是很简单?!是不是很刺激!?汉诺塔就这样被我玩完了!
最后,超模君再回头讲一下那个传说,重建一座64层的汉诺塔至少需要多少次移动呢?需要多长时间呢?
根据万能的数学归纳法,易得当有n个圆盘时,需要移动的次数Hn=2^n-1。
所以,当n=64时,Hn=2^64-1=18,446,744,073,709,551,615≈1.^19。
有人算过,如果我们严格按照最便捷的方式移动,即是每一个圆盘的每一次移动的位置我们都记得清清楚楚,过程中的头昏脑涨完全不存在,每一秒我们都可以精准地移动一个圆盘的话,重建64层汉诺塔需要(一年按照365天共秒计算):
Tn=1.^19÷4,942,417,355≈5849亿年
也就是说,只需要搬5849亿年就可以迎来世界末日啦!
哦,不对,等等,好像地球至今也才45亿岁,而太阳系的寿命也不过200亿年左右。。。

参考资料

 

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