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已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且当x＞0时f（x）＞1．（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）＜2．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞1∵函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1成立∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1，再令m=x，n=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，即f（0）=f（x）+f（-x）-1，∴f（-x）=2-f（x），∴f（-x1）=2-f（x1）而f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）-1=f（x2）+2-f（x1）-1＞1，即f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在R上为增函数；（2）∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-2=3f（1）-2=4∴f（1）=2．∴f（a2+a-5）＜2，即为f（a2+a-5）＜f（1），由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a-5＜1，即a2+a-6＜0，∴-3＜a＜2∴不等式f（a2+a-5）＜2的解集是{a|-3＜a＜2}
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且当x＞..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值分段函数与抽象函数
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
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