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（1）求二次函数的解析式；
（2）射线OM从y轴正半轴开始，绕点O顺时针方向以每秒15°的速度旋转，几秒后射线OM与⊙O1相切？（切点为M）
（3）当射线OM与⊙O1相切时，在射线OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）根据圆心的坐标和圆的半径求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据切线的定义可得O1M⊥OM，然后利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠O1OM=30°，再分OM在第一象限和第四象限两种情况求出旋转角，再列式求出时间即可；
（3）①OM在第一象限时，过点A作AP1⊥x轴交OM于P1，解直角三角形求出P1A，然后写出点P的坐标即可；过点A作AP2⊥OM于P2，过点P2作P2H⊥x轴于H，先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出P2A，再求出OP2，然后求出OH、P2H，再写出点P的坐标即可；②OM在第四象限时，利用轴对称的性质写出点P的坐标即可．
解：（1）∵圆心O1的坐标为（2，0），⊙O1的半径是1，
∴点A（1，0），B（3，0），
∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，B两点，
∴二次函数解析式为y=-x2+4x-3；
（2）∵OM是⊙O1的切线，
∴O1M⊥OM，
∵OM1=OO1=1，
∴∠O1OM=30°，
①OM在第一象限时，射线OM旋转了90°-30°=60°，
∵射线OM从y轴正半轴开始，绕点O顺时针方向以每秒15°的速度旋转，
∴射线OM旋转了60°÷15°=4秒；
②由对称性可知OM在第四象限内与⊙O1相切于点M，
射线OM旋转了90°+30°=120°，
∵射线OM从y轴正半轴开始，绕点O顺时针方向以每秒15°的速度旋转，
∴射线OM旋转了120°÷15°=8秒；
综上所述，4秒或8秒后射线OM与⊙O1相切；
（3）存在．
①OM在第一象限时，过点A作AP1⊥x轴交OM于P1，可得Rt△OP1A∽Rt△△OO1M，
P1A=OAotan30°=1×=，
∴点P1（1，），
②过点A作AP2⊥OM于P2，过点P2作P2H⊥x轴于H，可得Rt△OAP1∽Rt△△OO1M，
在Rt△OP2A中，P2A=OA=×1=，
OP2=OAocos30°=1×=，
在Rt△OP2H中，OH=OP2×cos30°=×=，
P2H=OP2×sin30°=×=，
∴点P2（，）；
②OM在第四象限内与⊙O1相切于点M时，由对称性知，还有P3（1，-），P4（，-），
综上所述，符合条件的点P有P1（1，），P2（，），P3（1，-），P4（，-）．