解方程。3/7x+1/4x=19/5
（3/7+1/4）x=5/19
19/28x=5/19
x=5/19÷19/28
x=5/19×28/19
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求方程7x+19y=213的所有正整数解．
题型：解答题难度：中档来源：不详
用方程7x+19y=213①的最小系数7除方程①的各项，并移项得x=213-9y7=30-2y+3-5y7②因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则y=3-7u5=-u-+3-2u5③，令3-2u5=v，则2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2，代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为x=25-19ty=2+7t，由于要求方程的正整数解，所以25-19t＞02+7y＞0，解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：x=25y=2和x=6y=9．
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据魔方格专家权威分析，试题“求方程7x+19y=213的所有正整数解．-数学-魔方格”主要考查你对&&二元一次方程的解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二元一次方程的解法
二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。二元一次方程解法:二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。一、消元法“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8消元方法：代入消元法(常用）加减消元法（常用）顺序消元法（这种方法不常用）例：&&& x-y=3 ①｛&&& 3x-8y=4②由①得x=y+3③③代入②得3（y+3)-8y=4y=1所以x=4则：这个二元一次方程组的解&&& x=4｛&&& y=1
(一)加减-代入混合使用的方法.例：&&&&&13x+14y=41 ①｛&&&&&&&&&&&14x+13y=40②②-①得x-y=-1x=y-1 ③把③代入①得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入③得x=1所以:x=1,y=2最后 x=1 ，y=2， 解出来特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。
(二)代入法是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中如：x+y=590y+20=90%x带入后就是：x+90%x-20=590(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。
（三）另类换元例：x:y=1:4①5x+6y=29②令x=t,y=4t方程2可写为：5t+24t=2929t=29t=1所以x=1,y=4
二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。如：(x+y)/2-(x-y)/3=63(x+y)=4(x-y)解：设x+y为a,x-y为b原=a/2-b/3=6①3a=4b②①×6 得3a-2b=36③把②代入③ 得2b=36 b=18把b=18代入②得a=24所以x+y=24④x-y=18⑤④-⑤得 2y=6 y=3把y=3代入④得 x=21x=21，y=3是方程组的解整体代入如：2x+5y=15①85-7y=2x②解：把②代入①得85-7y+5y=15-2y=-70y=35把y=35代入②得x=-80x=-80，y=35是方程组的解二元一次方程有两个正根的特点：二元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个正跟要满足下列3个条件1、保证有两个跟，即：△≥0，也就是b2-4ac≥02、x1+x2＞0，即 --b/a＞03、x1×x2＞0，即c/a＞0然后根据所给的条件在求出题目中要求的某些字母的值二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,　 5x-2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。二元一次方程整数解的方法：①首先用一个未知数表示另一个未知数,如y=10-2x；②给定x一个值,求y的一个对应值，就可以得到二元一次方程的一组解；③根据提议对未知数x、y做出限制，确定x的可能取值，确定二元一次方程所有的整数解。
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546260298417306984469707508588544902青云书店民国30年吴湖帆夫妇合照. 尺寸24.7Ｘ19.5
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海淀分局备案编号求方程7x+19y=213的所有正整数解．
用方程7x+19y=213①的最小系数7除方程①的各项，并移项得x=
②因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则y=
=v，则2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2，代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为
，由于要求方程的正整数解，所以
，解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：
求方程7x+19y=213的所有正整数解．”；主要考察你对
等知识点的理解。
设x，y都是正整数，y=
，求y的最大值．
运用从“特殊到一般”，再从“一般到特殊”的思想解方程x2n=1（n为正整数），并且根据你发现的规律解方程x64=1．
已知关于x的一元二次方程（m2-1）x2-6（3m-1）x+72=0．（1）若x=1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根；（2）求m是什么整数时，此方程有两个不相等的正实数根？
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