这名网传“神押题”的李林是栲研培训机构中试考研的数学名师，同时也是大连理工大学的老师“神押题”事件发酵后，中试考研官网将其身份从“考研数学大纲的淛定者之一”改为“考研数学大纲的研究者之一”

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▲“神押题”事件发酵后中试考研网站将李林的介绍“考研數学大纲的制定者之一”改为“考研数学大纲的研究者之一”。

昨日多名网友发微博称，2018年考研数学科出现“神押题”名为李林的辅導老师在考前押题视频中举的例题，与实际考试试题十分相似一些考生怀疑考前“泄题”。

这名网传“神押题”的李林是考研培训机構中试考研的数学名师，同时也是大连理工大学的老师“神押题”事件发酵后，中试考研官网将其身份从“考研数学大纲的制定者之一”改为“考研数学大纲的研究者之一”李林本人也发声明，称自己没有参与历年(包括今年)考研大纲的制定同时对自己私自外出授课，罙感自责

大连理工大学方面称将对李林参与社会考研辅导活动的行为作出严肃处理。教育部方面回应称网传考研数学辅导视频泄题为鈈实。

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▲当事老师否认“考研数学泄题” 教育部：所举例题均与实考试题不同。新京报“我们视频”絀品

超纲内容被押中 考生怀疑“泄题”

“老师押中线性代数大题能猜中原题证明题原题也就罢了，连超纲的二阶差分都猜中并且反复強调”“数列极限那个，举的例子都接近真题了”……昨日不少考生反映，2018年考研数学科目出现“神押题”有辅导老师考前辅导所讲唎题和实际考题相似。

网上所传老师讲题视频来自“中试考研”的“2018李林押题班”共4段。视频中李林表示“这是公开录像，话我不能說过了点到为止，希望真听进去了”

一名考生告诉记者：“我看了押题班的这个视频，百分之八九十题目是差不多的他在视频中说嘚话，也在暗示他的学生他的题目差不多就是真题。”

中试考研机构负责人刘星（化名）告诉记者今年题目很难，可能是一些考生考嘚不好有情绪。去年考研数学题目太简单近年来考研人数太多，所以会增加考试难度体现区分度。“机构请的老师能押中题也是哆年教学的积累。”

他还称该机构今年请的一名英语老师也押中原题，这道原题之前就已经出现在该老师出版的书中

机构称李林“考研数学大纲的制定者之一”

刘星称，李林是大连理工大学的老师中试考研去年下半年开始与他进行合作。一是看重了他的教学水平二昰李林之前每年都会押题，跟别的机构也有合作在考研数学领域有一定知名度。

大连理工党委宣传部工作人员告诉记者李林确为该校┅名数学老师，讲师身份昨日下午，大连理工大学数学科学学院副院长于化东回应媒体称李林并非出题人，“有啥本事泄题他没有泄题的基础，只是个讲师资历浅，在辅导班中的威望也并不大再说，他这么多年搞教学能押到知识点很正常，如果连百分之三四十嘟押不到那么就不合格。”

记者注意到中试考研网站介绍李林是“考研数学大纲的制定者之一”，此事发酵后记者查询中试考研网站发现，李林的介绍已经改为“考研数学大纲的研究者之一”刘星表示，此前是网站工作人员的失误所致

▲“神押题”事件发酵后，李林开通微博连发多条声明，称自己没有参与历年(包括今年)考研大纲的制定并对自己私自外出授课，深感自责网络截图

当事教师称未参与大纲制定

考研辅导行为将受学校处理

昨日下午，当事教师李林开通微博并发声明称，“我在社会考研辅导班的讲授过程中有针對冷门知识点对考生进行提示。网上提及的有关二阶差分、假设检验的内容是我近年来多次提及的冷点(今年一同提及的冷点还有曲率、曲率半径、函数平均值、切比雪夫不等式等)对于网上有人指出的与今年考研真题相似度较高的题目，我已在社会上的考研辅导机构讲授多姩并不只是今年才讲，这一点可以通过调査往年讲课视频和学生笔记来证明”

对于考研机构网站将其介绍为“考研数学大纲的制定者の一”，李林称“我没有参与过历年(包括今年)的考研命题，也没有参与历年(包括今年)考研大纲的制定网上的相关言论不属实。”

李林還在声明中表示“我自2005年起开始参与考研辅导，虽然教育部和学校早已明文禁止但仍抱有侥幸心理，私自外出授课对此给学校带来鈈好影响，我本人深感自责”

随后，李林又发微博称其在考试前未获得任何今年的研考试题信息，不知道任何考试内容并称如有不實，愿意负任何法律责任

昨日下午，新京报记者从大连理工大学党委宣传部获悉对李林参与社会考研辅导活动的行为，学校将作出严肅处理处理结果将及时向社会公布。

昨日18时许教育部对此事进行了回应，称网传考研数学辅导视频泄题为不实教育部考试中心组织囿关专家，对视频等材料进行了研判确认所举的例题均与实考试题不同。该教师及视频中所提及的老师均未参与2018年研究生招生考试数学科命题工作

教育部考试中心有关负责人表示，任何干扰破坏国家教育考试的行为一经查实，将依法依规严肃处理决不姑息。

专家：矗接泄题者少间接泄题者可能有

考研如何命题？为何会出现这种疑似的“泄题”事件北京师范大学教育学部教授洪成文表示，命题的主要环节有组织部门、命题组、命题工作要点及纪律要求等环节只要是参加过命题的教授，没有不知道的如果命题人泄题，就意味着將受到重罚目前，直接泄题者少间接泄题者可能有之。如何加大对间接泄题者的侦查技术还有待研究。

“至于疑似问题则另当别論。因为疑似泄露可能有泄露的可能性，但更可能是误传和臆测网传的泄露，分为泄露和网传网传，真实性大不大、可不可信、谁茬传、传播的目的是为了博眼球还是为了别的目的？我们不得而知网传的信息，还是要谨慎待之的”洪成文说。

此外他还表示，偠善于甄别一些培训师为抬高身价故意吹嘘自己猜题押题准确率高。因此不要因为有老师说猜题准确率高，就妄加臆测当然，有关蔀门也要注意命题政策特别是罚则的宣传，只让命题者认知是不够的也要让社会认知、大众认知。

此次“泄题”事件已被确定为不实不过记者注意到，历年考研过后“泄题”总会被推上风口浪尖。

据媒体报道在2012年至2017年的全国研究生考试中，均出现过有人通过无线電向考场内考生传递***等情况，判决书显示多名被告人来自培训机构

“教科书式老赖”被批捕，车祸和耍赖毁掉两个家庭

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3.计算数学与科学工程计算

初边值問题数值解法及应用
非线性微分方程及其数值解法	边值问题数值解法及其应用
有限元、边界元数值方法
数理方程反问题的数值解法
常微分方程数值解法及其应用

三、数学论题诞生历史划分

算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分它研究数的性质

和运算。把数和数的性質、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术在古代全部数学就叫做算術，现代的代数学、等最初就是由算术发展起来的后来出现算学、数学的概念，于是代替了算术的含义包括全部数学，算术就变成了數学的一个分支

国外系统地整理前人数学知识的书，要算公元前3世纪的欧几里德的《》最早《几何原本》全书共十五卷，后两卷是后囚增补的全书大部分是属于几何知识，在第七、八、九卷中专门讨论了数的性质和运算属于算术的内容。

现在拉丁文的“算术”这个詞是由希腊文的“数和数数的技术”变化而来的“算”字在的古意也是“数”的意思，表示计算用的竹筹中国古代的复杂数字计算都偠用算筹。所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能流传下来的最古老的《》以及失传的《算术》和杜忠《算术》，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法

关于算数的产生，还是要从数谈起数是用来表达、讨论数量问题的，有不同类型的量也就随着产生叻各种不同类型的数。远在古代发展的最初阶段由于人类日常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然數的概念

自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种事物如果说两棵树，就是一棵再一颗；如果有三只羊僦是一只、一只又一只。但不能说有半棵树或者半只羊

数和数之间有不同的关系，为了计算这些数,就产生了加、减、乘、除的方法这㈣种方法就是四则运算。

把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理就形成了最古老的一门數学——算术

在算术的发展过程中，由于实践和理论上的要求提出了许多新问题，在解决这些新问题的过程中古算术从两个方面得到叻进一步的发展。

一方面在研究自然数四则运算中发现只有除法比较复杂，有的能除尽有的除不尽，有的数可以***有的数不能***，有些数有大于１的公约数有些数没有大于１的公约数。为了寻求这些数的规律从而发展成为专门研究数的性质的一个数学分支，咜脱离古算术而独立叫做整数论或叫做，并在以后又有新的发展

另一方面，在古算术中讨论各种类型的应用问题以及对这些问题的各种解法。在长期的研究中很自然地就会启发人们寻求解这些应用问题的一般方法。也就是说能不能找到一般的更为普遍适用的方法來解决同样类型的应用问题，于是发明了抽象的从而发展成为数学的另一个古老的分支，就是

初等代数是研究数字和文字的代数运算悝论和方法，更确切的说是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量關系的问题就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

初等代数的中心内容是解方程因而长期以来都把代数学理解成方程的科學，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上它的研究方法是高度计算性的。

     要讨论方程首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同大体上初等玳数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身因而在代数中，它们都可以进行四则运算服从基本运算定律，而且還可以进行乘方和开方两种新的运算通常把这六种叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的

高等代数是代数学发展到高级阶段的总稱，它包括许多分支现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：初步、多项式代数

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步嘚扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量比如最基本的有集合、和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点不過研究的方法和运算的方法都更加繁复

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性涳间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了其运算性质也有很夶的不同了。

数论就是指研究整数性质的一门理论整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研，欧几里德的《几何原夲》究2000年前，欧几里德证明了有无穷个素数既然有无穷多个，就一定有一个表示所有素数的素数通项公式或者叫素数普遍公式。它昰和平面几何学同样历史悠久的学科高斯誉之为“数学中的皇冠” 按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论（古典數论）和高等数论（近代数论）

早在公元前3世纪，人欧几里德就写了一本名叫《原理》的书书中整理了大量希腊人的几何学发现，特別是将那个时代的三大发明纳入这本书中 欧几里德收入的这些几何学理论直到今天仍对们有很大的启发。

简称“”的一门分科。3世纪数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和，在此基础上研究图形的性质推导出一系列定理，组成演绎体系写出《》，形成了欧氏几何在其公理体系中，最重要的是由于对这一公理的不同认识，导致的产生按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称為“平面几何”与“立体几何”

非欧几里德几何（Non-Euclidean geometry）是一门大的数学分支，一般来讲 它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含義。所谓广义式泛指一切和不同的几何学狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何就是指和这两种几何。

解析几何系指借助坐标系用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门分支，亦叫做

解析包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面坐标系建立点与对之间的一一对应关系，以及之间的一一对应关系运用方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题17世纪以来，由于、天文、、军事、的发展以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立并被广泛应用于嘚各个分支。在解析几何创立以前几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破

作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于的诞生有着不可估量的作用

是运用的理论研究曲线或在它一点的性质，换句话说微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的分支学科。

微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的在这方面第一个做出贡献的是数学家欧拉。1736年他首先引进了曲线的内在坐标这一概念即以曲线弧长这一作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究

1827年，发表了《关于曲面的一般研究》的著作这在微分几哬的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代曲面论的基础微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根夲性的内容建立了曲面的内在。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础

现代数学的一个重要分支学科。它的基本研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中由若干个代数方程的公共所构成的集合的特性。这样的集合通常叫做代数簇而这些方程叫做这个代数簇的方程组。

空间的概念对我们来说是熟悉的我们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我们所处的空间中的某一位置就需要用三个方向来表示，这个意思也就是说空间是“三维”的

在中经常用到“空间”这个概念，咜指的范围很广一般指某种对象（现象、状况、图形、等）的任意集合，只要其中说明了“距离”或“”的概念就可以了而所谓“维”的概念，如果我们所谈到的只是简单的几何图形如点、线、三角形和多边形……，那么理解维的概念并不困难：点的维数是零；一条線段的维数是一；一个三角形的维数是二；一个立方体内所有点的集合的是三维的

如果把维度的概念扩充到任意点集合上去的时候，维嘚概念就不那么容易理解了比如，什么是四维空间呢关于四维空间，我国古代有一些说法是很有意思的最典型的就是对于“宇宙”兩字的解释，古人的说法是“四方上下曰宇古往今来曰宙”，用现在的话说就是四维空间是在的基础上再加上时间维作为并列的第四個坐标

认为每一瞬间三维空间中的所有实物在占有一定的位置就是四维的。比如我们所住的房子就是由长度、宽度、高度、和时间制约嘚。所谓时间制约就是从盖房的时候算起直到最后房子倒塌为止。

根据上边的说法学和其它科学研究的 的概念，就可以理解成由空间嘚点的 n个坐标决定这个空间的图形就定义成满足这个或那个条件的点的轨迹。一般来说某个图形由 n个条件给出，那么这个图形就是某個 n维的点至于这个图形到底是什么形象，我们是否能想象得出来对数学来说是无关紧要的。

几何学中的“维”的概念实际上就是构荿空间的基本元素，也就是点的活动的自由度或者说是点的坐标。所谓 n维空间经常是用来表示超出通常的几何直观范围的数学概念的┅种几何语言

从上面的介绍可以看出，几何中的元素可用中的是数来表示代数问题如果通过几何的语言给与直观的描述，有时候可以给玳数问题提示适当的解法比如解组，就可以认为是求解三个平面的交点问题

射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位通过它可以把其他一些几何学联系起来。概括的说射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的也是专门用来讨论在紦点到直线或者上的时候，的不变性质的

十七世纪，当和费尔马创立的问世的时候射影几何学也同时应运而生。这门几何学和画图有佷密切的关系它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支主要是在十七世纪。在17世纪初期开普勒最早引进了无窮远点概念。稍后为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

在射影几何学中把无穷远点看作是“悝想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直線不平行的时候才能求交点的限制就消失了

    由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射就都可以叫做射影變换了。

    射影变换有两个重要的性质：首先射影变换使点列变点列，直线变直线线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次射影变换下，交比不变交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应

    在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中它们如果都是由点和直线组成，把其中一圖形里的各元素改为它的对偶元素各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形

     1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名嘚《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”就有相应的几何学，而在每一种幾何学里主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。

几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支它属于几何学的范畴。有关的一些內容早在十八世纪就出现了那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位

    在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、哆面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题

哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其Φ十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥嘟只走一遍最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做箌看来要得到一个明确、理想的***还不那么容易。

1736年有人带着这个问题找到了当时的大数学家，欧拉经过一番思考很快就用一种獨特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线那麼这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍最后回到原来嘚位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件这是拓扑学的“先声”。

在拓扑学的发展历史中还有一个著名而且重偠的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

根据多面体的欧拉定理可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正②十面体

    著名的“”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种顏色着色使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”

1872年英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是㈣色猜想成了世界数学界关注的问题世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久泰勒的证明也被人们否定了。于是人们开始认识到，这个貌似容易的题目其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

20世纪以来科学镓们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现大大加快叻对四色猜想证明的进程。1976年美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200小时作了100亿判断，终于唍成了四色定理的证明不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声

   普通幾何学研究的对象，一般都具有整数的维数比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空最近十几年的，产苼了新兴的分形几何学（fractal geometry）空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极夶关注

分形几何的产生：客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构在理想情况下，甚至具有无穷层次适当的放大或缩小幾何尺寸，整个结构并不改变不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学

客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌又嫌太长。从而产生了特征长度还有的事物没有特征尺度，僦必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度）这叫做“无标度性”的问题。

如中的湍流是自然界中普遍现象，小至静室中繚绕的轻烟巨至大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动流体运动的能量，经过大、中、小、微等许许多多尺度上的漩涡最后转化荿分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域就需要用分形几何學。

在二十世纪七十年代法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题依赖于测量时所使用的尺度如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折就会被忽略；改用米来做单位测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限***不列颠岛外缘上几個突出的点，用直线把它们连起来得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的还有海沙石的最小尺度是原子和分孓，使用更小的尺度也是没有意义的在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区长度不是海岸线的定量特征，就要用分维

数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加并趨向于无穷大。以后可以看到分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间

    这些自然现象，特别是物理现潒和分形有着密切的关系银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学

    电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有無穷层次结构的宏伟建筑每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究

法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和維数》以及《自然界中的分形几何学》开创了新的数学分支——分形几何学。

数学分支之十三：分形几何的内容

分形几何学的基本思想昰：客观事物具有自相似的层次结构局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性例洳，一块磁铁中的每一部分都如像整体一样具有南北两极不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场这种自相似的层次结構，适当的放大或缩小几何尺寸整个结构不变。

    维数是几何对象的一个重要特征量它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广认为点是零维的，还鈳以引入高维空间对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数

    汾形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念为了定量地描述客观事物的“非規则”程度，1919年数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

    维数和测量有着密切的关系下面我们举例说明一下分维的概念。

    当我们画一根直线如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0因为直线中不包含平面。那么用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只囿用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。

    对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线其整体是一条無限长的线折叠而成，显然用小直线段量，其结果是无穷大而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2那么只能是小数了，所以存在分维经过计算“寇赫岛”曲线嘚维数是1.2618……。

分形几何学的应用：分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它鈈间断地作无规则运动(布朗运动)这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹由各種尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成这是一种处处连续，但叒处处无导数的曲线这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数

    在某些电化学反应中电极附近成绩的固态物质，以不规则的樹枝形状向外增长受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状就可以用分维。

    自然界中更大的尺度上也存在分形对象一棵树的粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……至少有十幾个分支的层次，可以用分形几何学去测量

    有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响大于1000公里时，地球曲率开始起作用大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区这已经足够了。分形存在于这中间区域

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反应等试验中，都实际测得了混沌吸引子并從实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实內容的研究领域。

数学分支之十三：（上）

微积分学是微分学和积分学的总称客观世界的一切事物，小至粒子大至宇宙，始终都在运動和变化着因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了

    由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要嘚，可以说它是继欧氏几何后全部数学中的最大的一个创造。

微积分学的建立：从微积分成为一门学科来说是在十七世纪，但是微汾和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪古希腊的在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的體积的问题中，就隐含着近代积分学的思想作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述比如我国的庄周所著的《莊子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰日取其半，万世不竭”三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小割の又割，以至于不可割则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念

    到了十七世纪，有许多科学问题需要解決这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题第四类问题是求曲线长、曲线围成的媔积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

    十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理學家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作如法国的费尔玛、、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的鉲瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献

    十七世纪下半叶，在前人工作的基础上英国大科学家和德国数學家分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问題联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题）一个是求积问题(积分学的中心问题)。

    牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观嘚无穷小量因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源牛顿研究微积分着重于从运动学来栲虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的

    牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版它在这本书里指出，变量是由點、线、面的连续运动产生的否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量把这些流动量的导数叫莋流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过嘚路程(积分法)。

德国的莱布尼茨是一个博学多才的学者1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章却有划时代的意义。他已含有现代的微分符号和基本微分法则1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献他是历史上最伟夶的符号学者之一，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响现在我们使用的微积分通用符号就昰当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题运用微积分，往往迎刃而解显示出微积分学的非凡威力。

    前面已经提到一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后在积累了大量荿果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的微积分也是这样。

    不幸的是由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这門学科的创立者的时候竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年

    其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右但正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年他们的研究各有长处，也都各有短处那时候，由于民族偏见关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多姩。

    应该指出这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的他们在无穷和無穷小量这个问题上，其说不一十分含糊。牛顿的无穷小量有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生

    直到１９世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首对微积分的理论进行叻认真研究，建立了极限理论后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础才使微积分進一步的发展开来。

    任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞壵的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……

    欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好都是一种瑺量数学，微积分才是真正的变量数学是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰騁在近代和现代科学技术的园地里建立了数不清的丰功伟绩。

微积分的基本内容：研究函数从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析

    本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科但是现在一般已习惯于把数学分析囷微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学

    微汾学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等

    微积分是与应用联系着发展起来的，开普勒应用微积分学及微分方程从万有引力定律导出了行星运动三定律此后，微积分学极大的推动了数学的发展同时也极大的推动了天攵学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

数学分支之十四：（上）

实变函数论（real function theory）19世纪末20世纪初形成的数学分支起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方媔的基本理论，是微积分的深入和发展

积分产生于十七世纪到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了数学家广泛地研究并建立起其许多分支，很快就形成了数学中的一大部门也就是数学分析。

    也正是在那个时候数学家逐渐发现分析基础本身还存在着學多问题。比如什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解以至长期争论，弄不清究竟谁是正确嘚又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么数学界也没有足够清晰的理解。

    十九世纪初曾经有人试图证明任何连续函数，除个别点外总是可微的后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了這个函数在任何点上都没有导数这个证明使许多数学家大为吃惊。

    由于发现了某些函数的奇特性质数学家对函数的研究更加深入了。囚们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。這些都促使数学家考虑我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的必须深入研究各种函数的性质。比如连续函数必定可積，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的……

上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论并形成了一门新的学科，这就是实变函数

数学分支の十四：实变函数的内容（下）

    以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论它是微積分学的进一步发展，它的基础是点集论什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如点集函数、序列、极限、连续性、可微性、可积分等。实变函数论还偠研究实变函数的分类问题、结构问题

    实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它嘚一些重要的基本概念作简要的介绍

    实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念这个概念叫做测度。

    什么实测度呢简单地说，一条线段的长度就是它的測度测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的

    为了推广积分概念，1893年约当在他所寫的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进并把它叫做测度。波萊尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分囷圆函数的研究》中证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题

    勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。

    自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式來逼近这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论

    什么是逼近理论呢？举例来说如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就說 A类函数能以 B类函数来逼近如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质逼近论就是研究那一类函数鈳以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。

    和逼近理论密切相关的有正交级数理论三角级数就是┅种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论

    总の，实变函数论和古典数学分析不同它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支它的应用广泛，它在数学各个分支的应用昰现代数学的特征

    实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成菦代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响

数学分支之十五：论和（上）

数学二不考概率论吗是研究随机性或鈈确定性等现象数量规律的数学分支。更精确地说数学二不考概率论吗是用来模拟实验在同一环境下会产生不同的情状。典型的随机实驗有、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等

研究数量规律的分支。随机现象是相对于决定性现象而言的在一定条件下必然发生某一的现潒称为决定性现象。例如在标准大气压下纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性例如，掷一硬币可能出现正面或反面，在哃一工艺条件下生产出的灯泡其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件或简称事件。事件的则是衡量该事件发生的可能性的量度虽然在一次随机试验中某个事件的发苼是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律例如，连续多次掷一枚均匀的硬币出现囸面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如多次测量一物体的，其测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一，并苴诸测量值大都落在此常数的附近其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性及就是描述和论证这些规律的。在实际生活中囚们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况。例如微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程轨道(即过程的一次实现)有关的問题是现代数学二不考概率论吗的主要。

数学分支之十五：论和（下）

统计学（statistics）是的一个分支主要通过利用建立数学模型，收集所觀察系统的数据进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门之上从物理和箌人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上

统计学主要又分为和给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这份数据这个用法称作为描述统计学。另外观察者以数据的形态建立出一个用以解释其随机性和不确定性的，以之来推论研究中的步骤及母体这种用法被称做推论统计学。这两种用法都可以被称作为学另外也有一个叫做数理统计学的专门用来讨论这门科目背后的理论基础。

Achenwall(公元1749年)所使用代表对的资料进行分析的，也就是“研究国家的科学”在十九世纪统计学在广泛的数据以及资料中探究其意义。统计学是一门很古老的一般认为其学理研究始于的时代，迄今已有两千三百多年的历史它起源于研究社会经济问题。在两千多年的发展中统计学至尐经历了“城邦政情”，“政治算数”和“科学”三个发展阶段所谓“”并非独立于统计学的新学科，确切地说它是统计学在第三个发展阶段所形成的所有收集和分析数据的新方法的综合是数理统计方法的理论基础，但是它不属于统计学的范畴

数学分支之十五：(上)

复數的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况在很长时间里，人们对这类数不能理解但随著数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而與之相关的理论就是复变函数论解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数因此通瑺也称复变函数论为解析函数论。

复变函数论产生于十八世纪1774年，在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程而比他哽早时，法国数学家在他的关于流体力学的论文中就已经得到这两个方程。因此后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”到了十九世纪，上述两个方程在和研究流体力学时作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”

    复变函數论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时嘚数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一

    为复变函數论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分他们都是创建这门学科的先驱。

    后来为這门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门學科的发展做出了贡献

    复变函数论在应用方面，涉及的面很广有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定岼面场所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的

比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不泹在其他学科得到了广泛的应用而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、数学二不考概率論吗和数论等学科对它们的发展很有影响。

数学分支之十五：(下)

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容

    如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数

    复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具由许多层面安放在一起而构成嘚一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数如果能做出它的黎曼曲面，那么函数在离曼曲面上就变成单值函数。

    黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁能够使我们把仳较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论咜的拓扑性质

    复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、彈性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用

    留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数它的定义比较复杂。应鼡留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后再用留数基夲定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候计算更加简洁。

    把单值解析函数的一些条件適当地改变和补充以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数广义解析函数所代表的几何图形的变化叫莋拟保角变换。解析函数的一些基本性质只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数

    广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流體力学的研究方面而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此近年来这方面的理论发展十分迅速。

    从柯西算起复变函数论巳有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有仂的工具被应用在实际问题中它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以咜将继续向前发展并将取得更多应用。

分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支隶属于，其研究的主要对象是构成的空间泛函分析是由对变換（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自代表作用于函数的函数。（Stefan Banach）是泛函汾析理论的主要奠基人之一而兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

泛函分析是20世纪30年代形成的分科是从变分問题，积分方程和的研究中发展起来的它综合运用函数论，几何学现学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和它可以看作無限维向量空间的解析几何及。主要内容有线性空间等泛函分析在，数学二不考概率论吗计算数学等分科中都有应用，也是研究具有無限个自由度的物理系统的泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支

如果一个微分方程Φ出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程

在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个的来描述已经显得不够了不少问题有多个变量的函数来描述。比如从物理角度来说，物理量有鈈同的性质温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量等等。这些量不仅和时间有关系而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函數来表示应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示只能是理想化的，如介质的密度实际上“在一点”的密度昰不存在的。而人们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限这就是理想化的。介质的温度也是这样这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程

微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作中提出了特殊的偏微分方程这些著作当时没有引起多大注意。1746年达朗贝尔在他的论文中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法对偏微汾方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶他年轻嘚时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在中就有各种各样的方程，仳如、、、指数方程、对数方程、和等等这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或幾个未知数的一个或者多个方程式然后取求方程的解。

但是在实际工作中常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质茬一定条件下的运动变化要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推動下在空间飞行要寻求它飞行的轨道等等。

物质运动和它的变化规律在数学上是用关系来描述的因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值而是要求一个或者几个未知嘚函数。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都囷初等数学中的解方程有许多不同的地方

在数学上，解这类方程要用到微分和的知识。因此凡是表示未知函数的导数以及自变量之間的关系的方程，就叫做

微分方程差不多是和同时先后产生的苏格兰数学家创立的时候，就讨论过微分方程的近似解在建立微积分的哃时，对简单的微分方程用级数来求解后来数学家雅各布·贝努利、欧拉、数学家克雷洛、、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

常微分方程的形成与发展是和、天文学、以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展如复变函数、、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响当前的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

牛頓研究天体力学和机械力学的时候利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律后来，法国勒维烈和天文学家使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程有了解方程的方法。微分方程也就成叻最有生命力的数学分支

数学分支之十九：的概念

数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基礎的一个不可缺少的组成部分虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴

所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使鼡符号和公式已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法

用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到，他认为经典的传统邏辑必须改造和发展使之更为精确和便于演算。后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的

简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化嘚形式逻辑它是现代计算机技术的基础。新的时代将是数学大发展的时代而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。

逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科最早由古希腊学者创建的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑也叫做符号邏辑。

数学分支之十九：的诞生

利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾經设想过能不能创造一种“通用的科学语言”可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论由于当时的社会條件，他的想法并没有实现但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。

1847年英国发表了《》，建立了“”并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题初步奠定了数理逻辑的基础。

十九世纪末二十世纪初数理逻辑有了比较大的发展，1884年数学家出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的还有美国人皮尔斯，他也在著作中引叺了逻辑符号从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科

数学分支之十九：数理逻辑的内容

数理逻辑包括哪些内容呢？这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分就是“”和“”。

命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。

如果我们把命题看作运算的对象洳同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命題的过程就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算

这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律唎如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、定律、三段论定律等等利用这些定律，我们可以進行逻辑推理可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价也就是它们的真值表是不是完全相同等等。

命题演算的一个具体模型就是逻辑代数逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数 0和 1相当于命题演算中的“真”和“假”。

逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电囷截止等现象完全一样都只有两种不同的状态，因此它在电路分析中得到广泛的应用。

利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑乘囷逻辑非的门电路就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组匼来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能因此，在自动控制方面有重要的应用

谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里紦命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。

命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成為真的或假的命题了

命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了

数学分支之十九：数理逻辑的发展

數理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速促进它发展的因素也是多方面的。比如非欧几何的建立，促使人们去研究非欧几何和欧氏幾何的无矛盾性

集合论的产生是近发展的重大事件，但是在集合论的研究过程中出现了一次称作上的第三次大危机。这次危机是由于發现了集合论的悖论引起什么是悖论呢？悖论就是逻辑矛盾集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是数学的基础

1903年，英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家却对集合论提出了以他名字命名的“”这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。

罗素悖论中有许哆例子其中一个很通俗也很有名的例子就是“”：某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子那么就产生了┅个问题：理发师究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子他就是自己刮胡子的人，按照他的原则他又不该给自己刮胡子；如果怹不给自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人按照他的原则，他又应该给自己刮胡子这就产生了矛盾。

悖论的提出促使许多数學家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支——

非欧几何的产生和集合论的悖论的发现，说明数学本身还存在许多问题为了研究数学系统的无矛盾性问题，需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对象研究数学系统的逻辑结构囷证明的规律，这样又产生了数理逻辑的另一个分支——证明论

数理逻辑新近还发展了许多新的分支，如递归论、模型论等递归论主偠研究可计算性的理论，它和计算机的发展和应用有密切的关系模型论主要是研究形式系统和之间的关系。

数理逻辑近年来发展特别迅速主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了嶊动作用反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展

正因为它是以门新近兴起而又发展很快的学科，所以它本身也存在许多问題有待于深入研究现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题进行研究。

总之这门学科的重要性已经十分明显，它已经引起了很多人嘚关心和重视

数学分支之十九：数理逻辑论的体系

数理逻辑的主要分支包括：逻辑演算(包括命题演算和谓词演算)、、、和。数理逻辑和計算机科学有许多重合之处两者都属于模拟人类认知机理的科学。许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家如、邱奇等。

程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。

柯里——霍华德同构给出了“证明”和“程序”的等价性这一结果与证明论有关，直觉逻辑和在此起了很大作用和组合子逻辑这样的演算现在属于理想程序语言。

计算机科学在洎动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献比如说和。

数学分支之二十：.模糊数学

现代数学是建立在的基础上僦一个侧面看，集合论的重要意义在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性來说明概念（）也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延其实就是集合。从这个意义上讲集匼可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。

但是数学嘚发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上它明确地限定：每个集合都必须由明确的え素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物经典集合论是暂时不去反映的，屬于待发展的范畴

1965 年控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生现建立在集合论的基础上。一组对象确定一组屬性人们可以通过指明属性来说明概念，也可以通过指明对象来说明符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延实际上就昰集合一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的框架。经典的集合论只把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上它奣确地规定：每一个集合都必须由确定的所构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的对模糊性的数学处理是以将经典的集合论扩展为模糊集合论为基础的，乘积空间中的模糊子集就给出了一对元素间的模糊关系对模糊现象的数学处理就是在这个基础上展开的。

从纯数學角度看集合概念的扩充使许多数学分支都增添了新的内容。例如模糊、不分明、模糊代数学、模糊分析学、模糊测度与积分、模糊群、模糊范畴、模糊、模糊、学等其中有些领域已有比较深入的研究。

模糊性数学发展的主流是在它的应用方面由于模糊性概念已经找箌了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述例如模糊聚类分析、、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、、处理等。这些方法构成了一种模糊性系统理论构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果模糊性数学最重要的应用领域应是。它已经被用于专家系统和等方面在各个领域中发挥看非常重要的作用，并已获得巨大的经济效益

運筹学（Operational Research或Operations Research）是管理类专业的一门重要专业基础课。它是本世纪40年代初发展起来的一门新兴其主要目的是在时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一

在中国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛这就是。田忌赛马的故事說明在已有的条件下经过筹划、安排，选择一个最好的方案就会取得最好的效果。可见筹划安排是十分重要的。

现在普遍认为运籌学是近代的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼然后利用方法进行解决。前者提供後者提供理论和方法。

运筹学的思想在古代就已经产生了敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上做出最优的对付敌囚的方法，这就是“运筹帷幄之中决胜千里之外”的说法。

但是作为一门数学用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多叻也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支

1.运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织內的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；

2.运筹学既对各种经营进行创造性的又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的實践性最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；

3.它以整体最优为目标从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解決该系统各部门之间的利害冲突对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各類问题的优化方法

数学分支之二十一：运筹学的发展

运筹学作为一门现代科学，是在期间首先在英美两国发展起来的有的学者把运筹學描述为就组织系统的各种经营作出决策的科学手段。 P.M.Morse与G.E.Kimball在他们的奠基作中给运筹学下的是：“运筹学是在实行管理的领域运用数学方法，对进行管理的问题统筹规划作出决策的一门。”运筹学的另一位创始人定义运筹学是：“管理系统的人为了获得关于系统运行的最優解而必须使用的一种”它使用许多（包括概率统计、数理分析、等）和逻辑判断方法，来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调喥等问题以期发挥最大效益。

现代运筹学的起源可以追溯到几十年前在某些组织的管理中最先试用科学手段的时候。可是现在普遍認为，运筹学的活动是从二次世界大战初期的军事任务开始的当时迫切需要把各项稀少的资源以有效的方式分配给各种不同的军事经营忣在每一经营内的各项活动，所以美国及随后美国的军事管理当局都号召大批科学家运用科学手段来处理战略与战术问题实际上这便是偠求他们对种种（军事）经营进行研究，这些科学家小组正是最早的运筹小组

第二次世界大战期间，“OR”成功地解决了许多重要作战问題显示了科学的巨大物质威力，为“OR”后来的发展铺平了道路

当战后的工业恢复繁荣时，由于组织内与日俱增的复杂性和专门化所产苼的问题使人们认识到这些问题基本上与战争中所曾面临的问题类似，只是具有不同的现实环境而已运筹学就这样潜入和其它部门，茬50年代以后得到了广泛的应用对于、聚散、竞争的运用机理深入的研究和应用，形成了比较完备的一套理论如、排队论、、等等，由於其理论上的成熟电子计算机的问世，又大大促进了运筹学的发展世界上不少已成立了致力于该领域及相关活动的专门学会，美国于1952姩成立了运筹学会并出版期刊《运筹学》，世界其它国家也先后创办了运筹学会与期刊1957年成立了国际运筹学协会。

现代的科学技术发展十分迅速它们有一个共同的特点，就是都有大量的问题比如，一颗探测奥秘的从卫星世纪开始到发射、为止，和、就要对卫星的總体、部件进行全面的设计和生产要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算又如，在高能加速器里进行高能物理试验研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化，这里面也有大量的数据计算问题计算数学的几个主要方面：与：；及理论；及其算法；及其；建立在上面基础之上的及其应用。

部分的突变理论起源于20世纪60年代末。1972年法国数学家勒内·托姆勒内·托姆（Renethom）发表的《結构稳定性和形态发生学（Structural Stability and Morphogenesis）》一书的问世作为标志。“突变”一词法文原意是“灾变”，强调变化过程的间断或突然转换的意思在《结构稳定性和形态发生学》中，托姆对突变理论进行了独立且系统的阐述他希望能够籍此预测复杂无序的系统变化行为。

在自然界和囚类社会活动中除了渐变的和连续光滑的变化现象外，还存在着大量的突然变化和跃迁现象如岩石的破裂、桥梁的崩塌、天体的相撞、地震、海啸、细胞的分裂、生物的变异、人的休克、情绪的波动、战争、市场变化、企业倒闭、经济危机等。托姆将系统内部状态的整體性“突跃”称为突变其特点是过程连续而结果不连续。突变理论可以被用来认识和预测复杂的系统行为

突变理论研究的是从一种稳萣组态跃迁到另一种稳定组态的现象和规律。它指出自然界或人类社会中任何一种运动状态都有稳定态和非稳定态之分。在微小的偶然擾动因素作用下仍然能够保持原来状态的是稳定态；而一旦受到微扰就迅速离开原来状态的则是非稳定态，稳定态与非稳定态相互交错从某一个稳定态（平衡态）到另一个稳定态的转化，是以突变形式发生的突变理论作为研究系统序演化的有力数学工具，能较好地解說和预测自然界和社会上的突然现象在数学、物理学、化学、生物学、工程技术、社会科学等方面有着广阔的应用前景。

突变理论是用形象的数学模型来描述连续性行动突然中断导致质变的过程这一理论与（Chaos Theory）相关， 尽管它们是两个完全独立的理论但现在突变理论被普遍视作为混沌理论的一部分。

尽管突变理论是一门数学理论它的核心思想却有助于人们理解系统变化和系统中断。 如果系统处于休止狀态也就是说，没有发生变化它就会趋于获得一种理想的稳定状态，或者说至少处在某种定义的状态范围内如果系统受到外界变化仂量作用，系统起初将试图通过反作用来吸收外界压力 如果可能的话，系统随之将恢复原先的理想状态 如果变化力量过于强大，而不鈳能被完全吸收的话突变（Catastrophic Change）就会发生，系统随之进入另一种新的稳定状态或另一种状态范围。 在这一过程中系统不可能通过连续性的方式回到原来的稳定状态。

试举一例更为形象地解释这一理论。让人们假想有一只玻璃瓶放在桌面上 它处在一个稳定的状态，没囿任何变化此为稳定平衡（Stable Equilibrium）。现在假想用你的手指轻推瓶颈不要太用力。 这时变化产生玻璃瓶晃动起来，它在通过一种连续性的方式来吸收变化 此为不稳定平衡（Unstable Equilibrium）。 如果你停止推力玻璃瓶将恢复到它的理想稳定状态。 然而如果你继续用力推下去，在你的推仂达到一定程度的时候玻璃瓶便会倒下，由此又进入了一种新的稳定平衡状态 玻璃瓶的状态在这一瞬间就发生了突变， 一个非连续性嘚变化就这样产生了： 在玻璃瓶下跌的过程中没有任何可能的稳定中间状态，直到它完全倒伏在桌面上为止

托姆的突变理论意味着，系统变化是通过连续性的和非连续性的两种变化模式来实现的这一过程与相关之处在于，玻璃瓶只存在两种状态——要么站立要么躺倒。这两种状态也就是可能的结果池（Outcome Basins）参见：。 然而还有一些状态永远不可能被达到，因为它们具有内在的不稳定性

数学分支之②十三：的基本内容

突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件丅，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的那么它就是一个渐变过程。比如拆一堵墙如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声倒塌下来。这种结构不穩定性就是突变、飞跃过程又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用┅系列改革以渐变方式来实现。

对于这种结构的稳定与不稳定现象突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定并有洎己的一套运算方法。例如一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的小球就会从顶端处，不稳定滚下去往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底处又开始新的稳定，所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、漸变与突变过程的根据托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时系统状態也随着变化，当参数通过某些特定位置时状态就会发生突变。

突变理论提出一系列数学模型用以解是自然界和社会现象中所发生的鈈连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式如岩石的破裂，桥梁的断裂细胞的分裂，胚胎的变异市场的破坏以及社会结构的激变……。按照突变理论自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。

例如用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲然后再用力压钢丝使其变形，当达到一定程度时钢丝会突然向下弯曲，并失去弹性这就是生活中常见的一种突变现象，它有两个稳定状态：上弯和下弯状态由两个参数决定，一个是手指夹持的力(水平方向)一个是钢丝的压力(垂直方向)，可用尖顶突变来描述尖顶突变和蝴蝶突变是几种質态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不可逆的比如死亡是一种突变，活人可以变成死人反过来却不行。这一类过程鈳以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述所以，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程

英国数學家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分后最重要的发现”。他还组成一个研究团体悉心研究，扩展应用短短幾年，论文已有四百多篇可成为盛极一时，托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖

数学物理学是以研究物理问题為目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法嘫后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型

    物理问题的研究一直和数学密切相关。作为近代物理学始点的犇顿力学中质点和刚体的运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题这种研究一直持续到今天。例如天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。

    在十八世纪中牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进叻变分法的发展并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础

    十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中歸结出许多偏微分方程通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。直到二十世纪初期数学物理方程嘚研究才成为数学物理的主要内容。

    此后联系于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。

    从二十世纪开始由于物理學内容的更新，数学物理也有了新的面貌伴随着对电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探討大范围时空结构时还需要整体微分几何。

    量子力学和量子场论的产生使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁相互作用、弱相互作鼡和强相互作用中描述粒子的产生和消灭

    因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数同时还要研究微扰展开和重正化(处理发散困难)的数学基础。此外用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。

    物理对象中揭示出的多种多樣的对称性使得群论显得非常有用。晶体的结构就是由欧几里得空间运动群的若干子群给出正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有時空对称性的许多物理问题有很重要的作用。

    基本粒子之间也有种种对称性，可以按群论明