1第一章习题***1-1 某厂每日（8h 制）產量不低于 1800 件计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为 25 件／h正确率为 98％，计时工资为 4 元／h；二级检验员标准为：速喥为 15 件／h正确率为 95％，计时工资 3 元／h检验员每错检一件，工厂损失 2 元现有可供聘请检验人数为：一级 8 人和二级 10 人。为使总检验费用朂省该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求取设计变量为 X = ；??????????二 级 检 验 员一 级 检 验 员21x（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x2 ）=40 x1+ 36x2 欲选择一组设计变量 使弹簧重量[]? TTnDdx][][2321??X最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数 簧丝直径 ，弹簧中径n?0.5?试建立该优化问题的数学模型。2105D?注：弹簧的应力与变形计算公式如下 322 23 4881,,(nss FFDkcddGd? ??????旋 绕 比 ） 解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = ≤0?412Gx1-3 某厂生产一个容积为 8000 cm3 嘚平底、无盖的圆柱形容器要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = , ??????????hrx 21高底 面 半 径表面积为目标函数即：minf(X) = x12 + 2 x1 x2 ?考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：minf(X) 元基於美学的考虑，其宽度应为高度的两倍现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型解：（1）确定设计变量；根据该优化问题給定的条件与要求，取设计变量为 X = ；???????高宽长321x3（2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数即：f(X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 6 x1 x2 + 12 x1 x2 （3）建立数学模型嘚约束函数；1）仓库的容积为 已知两向量 ,求该两向量之间的夹角 。12[20],[1]TTPP? ?2-3 求四维空间内两点 和 之间的距离),3(),56(2-4 计算二元函数 在 处，沿方向32116fxx???X(0)[1]T?X的方向导数 和沿该点梯度方向的方向导数 [12]T??S(0) sf () f?2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为 min()3)(4)[,]50().Tfxgx??????X求：(1) 以一定的比例尺画出当目標函数依次为 时的四条等值线，并在图()1234f?X、 、 、上画出可行区的范围(2) 找出图上的无约束最优解 和对应的函数值 ，约束最优解 和 ；1?1()f?2?X2()f?(3) 若加入一个等式约束条件： 12()0hx??X求此时的最优解 。3?3f?解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面 X1OX2 其中的同心圆是目标函数依次为 f(X)=1、2、3 、4 时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。由于目标函数的等值线为一同心圆所以无约束最优解为该圆圆心即： 5X1*＝[3，4] T 函数值 f(X1*)= 0 而约束最优解应在由约束线 g1(X)=0，g 2(X)=0g 3(X)=0，g 4(X)=0组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线 g1(X)=0 与某一等值线的一个切点X2*可以联立方程： ，解得 X2*=[23] 。??????0521x函数值 f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 加入等式约束条件，则 X3*为可行域上为 h1(X)=0 上与某一条等值线的交点可以联立方程： ， 解得 X3*=[5/25/2] ???????xXfxXfxff ， ???????0)(XH海 赛 矩 阵 0241121????aa，各 阶 主 子 式 ：H(X)是正定的 所以驻点必定是极小点。故在 点处函数 具有极小值(,1))(Xf2-7 求函数 的极值點，并判断其极值的性质