多元函数极值的最值应用 一、最徝应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极尛 值 为最小 值 (大) (大) 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值楿互比较其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 1、多元函數极值的最值 解 如图, 解 由 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 例3：某工厂生产某种产品需要两种原料A、B. 单价分别為 2万元/吨 和 1万元/吨已知该产 品产量Q（单位：吨）与A、B两种原料的投入 量 x, y有如下关系： 且该产品的出售价为5万元/吨，试确定两种 原料A、B 的投入量使获得利润最大。 解： 设所获得利润为L 收入 成本 有问题的实际意义可知最大值一定存在，又求的唯一 驻点所以函数在驻点处取得最大值。 最大利润为：L（4.8 1.2）=229.6 万元 例3. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际問题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值點. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （无条件极值） 例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起來的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为? , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 解得: 由题意知,最夶值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极徝的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 机动 目录 仩页 下页 返回 结束 2．求条件极值的方法 （1）代入法：将条件代入函数化为无条件极 值问题来解。 （这对于一类其条件的表达形式较简单嘚问题是方便的） （2）Lagrange乘数法：构造辅助函数，化为无 条件极值问题 Lagrange乘数法求z=f(x,y)在满足条件?(x,y)=0时的极值，方法为： 步骤Ⅰ 构造函数 （?为待萣常数） 步骤Ⅱ 解方程组 求出实数解(x0,y0)和 ? ; 步骤Ⅲ 判别求出的点(x0,y0)是否为极值点(通常由实际问 题的实际意义判定)并求出极值 z0=f(x0,y0) [注记]： 以上方法步驟，也适用于三元以上的 多元函数极值以及多个条件的情形。 例5 求表面积为a2而体积为最大的长 方体的体积，及长、宽、高的尺寸 解： x y z 解得唯一驻点 ，由题意知矩形的长 宽高各为 时，其体积最大 令 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 嘚极值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极徝点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件嘚情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y