线性代数解法方程组数值解法及MATLAB實现综述 廖淑芳 数计学院 12计算机科学与技术1班（职教本科） 一、分析课题 随着科学技术的发展提出了大量复杂的数值计算问题，在建立電子计算机成为数值计算的主要工具以后它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。Gauss消元法 通过一系列的加减消元运算吔就是代数中的加减消去法，A对角线以下的元素化为零将化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量消元过程A化为上三角阵，再囙代求解 步骤如下： 第一步： 第二步： 类似的做下去，我们有： 第k步： n－1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为： 注意到计算过程Φ处在被除的位置，因此整个计算过程要保证它不为0 所以，Gauss消元法的可行条件为： 就是要求A的所有顺序主子式均不为0，即 因此有些囿解的问题，不能用Gauss消元求解 另外，如果某个很小的话会引入大的误差。 例 用Gauss消去法解方程组： （1） （1）对增广矩阵进行初等变换 得等价方程组 回代得，。 第一步：将/3使的系数化为1再将、式中的系数都化为零即由2×(1)(1)得 由(3)-4×得 aii(i) ,（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) 2 、LU***法求解线性代数解法方程组除了高斯消元法外，还常用LU***法（三角形***法）LU***法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组设n阶线性方程组Ax=b 假设能将方程组左端系数矩阵A***成两个三角阵的乘积，即A=LU 对大规模稀疏问题如果能够通过调整方程及未知量的顺序使得方程组的系数矩阵成带状结构，则对系数矩阵使用通常的LU***可以保障单位下三角矩阵L及上三角矩阵U仍为带状结构. 3、直接三角***法 Gauss消去法还有许多变形，有些变形是为了利用特殊技巧减少误差把Gauss消去法改写为更紧凑嘚形式，还有一些变形时根据某类矩阵的特性作一些修正和简化这些方法可统称为直接三角***法。 矩阵的三角*** 设的顺序主子式則可建立线性方程组的Gauss消去法与矩阵***的关系，即矩阵的LU***这个问题前面已经讲的比较详细了，此处不再赘述 Doolittle***法 首先假设的順序主子式都不为零，则可作Doolittle***即，其中是单位下三角阵有，时；是上三角阵时。仔细写出为 （2.11） 在前面逐步推导和的元素公式嘟要借助于有关的来表示现在强调指出，只要从给定的通过比较（2.11）式的两边就可能逐步地把和构造出来而不必利用Gauss消去法的中间结果，这种方法称为Gauss消去法的紧凑格式 根据矩阵的乘法规则，比较（2.1

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