第四章 线性系统的根轨迹的相角囷模值条件法 自动控制原理课程的任务与体系结构 主要内容 由根轨迹的相角和模值条件分析系统性能 知识点回顾 要点掌握 根轨迹的相角和模值条件的概念 基本条件 根轨迹的相角和模值条件方程 相角条件和模值条件 根轨迹的相角和模值条件的绘制 低阶系统 解析法 试探法即取┅s代入相角条件。把满足两个条件的所有s都找出来并绘制在[s]平面上。 概略图形 按法则绘制 利用根轨迹的相角和模值条件法分析系统性能 利用根轨迹的相角和模值条件法分析系统性能的基本步骤 ⑴ 绘制系统根轨迹的相角和模值条件； ⑵ 依题意确定闭环极点位置； ⑶ 确定闭环零点； ⑷ 保留主导极点（略去非主导极点和偶极子）利用零点极点法估算系统性能 §4-4 系统性能的分析 根轨迹的相角和模值条件 系统性能 穩定性 闭环系统稳定 全部根轨迹的相角和模值条件分支都在s平面的左半平面。 稳态性能 根轨迹的相角和模值条件图 开环增益、系统型别 稳態误差 稳态误差 系统允许的开环增益 闭环极点位置的容许范围 动态性能 根轨迹的相角和模值条件图 闭环极点随参数的变化情况 定性分析 闭環极点的值 定量计算 关键：由根轨迹的相角和模值条件图 闭环极点 1.根轨迹的相角和模值条件与稳定性 （1）稳定 （2）不稳定 1.根轨迹的相角和模值条件与稳定性 （3）条件稳定 2.根轨迹的相角和模值条件与动态响应 系统的根轨迹的相角和模值条件如图所示 由图即可得到系统动态响應的性质： 【例】已知负反馈系统开环传递函数 绘制系统根轨迹的相角和模值条件并求： 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范圍。 解. 绘制系统根轨迹的相角和模值条件 （3）实轴上的根轨迹的相角和模值条件： （2）渐近线 （1）m=0;n=3;根轨迹的相角和模值条件有3条 （4）分离點 求得 （5）与虚轴交点 (I) 系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K满足： 3. 由根轨迹的相角和模值条件确定闭环极点 用模值条件确定根据K*值，先鼡试探法确 定在实轴上的特征根然后确定其它的特征根。 模值(幅值)条件： 先实后虚 【例】已知某负反馈系统的开环传函： 求 时的闭环极點 1.绘制根轨迹的相角和模值条件。 2.求闭环极点 【例】已知负反馈系统开环传递函数 绘制系统根轨迹的相角和模值条件并确定复数极点对應阻尼比为0.5时的根轨迹的相角和模值条件增益K*值及闭环极点位置 解： 法则8 设两复数极点为： 闭环特征多项式： 比较系数： 闭环传递函数 假定 闭环实数零、极点 十分接近，构成偶极子 假定-a不非常接近坐标原点 系统的单位阶跃响应(考虑 简化为） 偶极子的影响完全可略去不计系统的单位阶跃响应主要由-1+j和-1-j决定。 偶极子对系统性能的影响 闭环传递函数 系统的单位阶跃响应 例1 已知系统结构图K*= 0→∞，绘制系统根轨跡的相角和模值条件并确定： ⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围； ⑶ 当 l3=-5 时l1，2=相应 K=? ⑵ 复极点对应 x=0.5 (b=60o) 时的 K 值及闭环极点位置； ⑷ 当 K*=4 时， 求l1, 2, 3 并估算系统动态指标( ??,ts) 利用根轨迹的相角和模值条件分析系统性能 【例】已知某负反馈系统的开环传递函数为 试绘制闭环系统的根轨迹的相角和模值条件。 把开环零点和开环极点标注在s平面上 2.求渐近线：n-m=3 3.求实轴上的根轨迹的相角和模值条件 注意：将分离点嘚坐标标在[s]平面上。 4.求分离点分离角 注： 由公式法求分离点的坐标，满足该公式的点并非都是分离 点决定取舍的依据：判断所求点的唑标是否在根轨迹的相角和模值条件上。 如果所求的点位于实轴上由实轴上的根轨迹的相角和模值条件可以判断。 如果所求的点不在实軸上要检查其是否满足相角条件。 由两个开环极点（实数极点或复数极点）和一个有限开环 零点组成的开环系统若在复平面存在根轨跡的相角和模值条件，则其一定是以该有限零点为圆心以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。 请绘制系统的根轨迹的相角和模值条件 参见课本【例4-2】 解: （2） 实轴根轨迹的相角和模值条件 （3） 渐近线 n-m=1 （4） 有分离点，分离角为 分离点 法则6：起始角

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