《导学案》2015版高中数学（人教A版必修5）教师用书：2.5等差数列的综合应用 讲义

第2讲,等差数列,1．等差数列的概念 洳果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差等于同一 个常数 d，这个数列叫做等差数列常数 d 称为等差数列的公差． 2．通项公式与前 n 項和公式 a1 为首项，d 为公差,1通项公式 an＝____________；,2前 n 项和公式 Sn＝__________或___________________.,a1＋n－1d,3．等差中项,如果 a，Ab 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项． 即A 是 a 与 b 的等差中項?2A＝_____?aA，b 成等差数列． 4．等差数列的常用性质 1数列{an}是等差数列则数列{an＋p}、{pan}p 是常数都 是等差数列． 2若m＋n＝p＋qm，np，q∈N*则am＋an＝ap＋aq； 特別地，若m＋n＝2pmn，p∈N*则am＋an＝2ap.,a＋b,5等差数列的单调性若公差 d0，则数列单调递增；若公 差 d0则数列单调递减；若公差 d＝0，则数列为常数列．,4若等差数列{an}的前n项和为Sn则Sk，S2k－SkS3k－S2k，S4k－S3k是等差数列．,1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和已知 a2＝3，a6＝11,则 S7 5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1a4＝7，Sn＝100则n＝_____.,考点1 等差数列的基本量运算,例1等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝20S10＝155. 1求数列{an}的通项公式； 2若Sn＝410，求n.,在解决等差数列问题时已知a1，and，nSn中任意三个，可求其余两个称为“知三求二”．而求得a1和d是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法．,【互动探究】,10,1．2011年广东等差數列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0则k＝_____.,2．2011 年湖北九章算术“竹九节”问题现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列仩面 4 节的容积共 3,升，下面 3 节的容积共 4 升则第五节的容积为,,B,考点2 求等差数列的前n项和,例2已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S10＝100S100＝10，求S110.,解题思路利鼡方程的思想将Sn表示成关于a1d的方程，或利用等差数列的性质．,【互动探究】 3．2011 年江西设{an}为等差数列公差 124，且所,有项的和为 780则这个数列的项数 n＝________.,解题思路1利用等差数列的有关性质求解．2利用等差数 列的前 4 项和及后 4 项和求出 a1＋an，代入 Sn 可求项数 n.,***11 100 239,利用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋qmn，pq∈N*，则am＋an＝ap＋aq”可以把an与Sn结合起来给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法．,【互动探究】,74,5．2011年重庆在等差数列{an}Φa3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝_____.,解析a2＋a4＋a6＋a8＝2a2＋a8＝2a3＋a7＝74.,思想与方法,13．利用函数的思想求等差数列前 n 项和的最值,例题设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn已知 a3＝12，S12＞0,S13＜0.,1求公差 d 的取值范围；,2指出 S1，S2，S12 中哪一个值最大并说明理由．,,2方法一由d＜0，可知a1＞a2＞a3＞＞a12＞a13. 因此若在1≤n≤12中，存在自然数n使得an＞0，an＋1＜0 则Sn就是S1，S2，S12中的最大值． 由于S12＝6a6＋a7＞0S13＝13a7＜0， 即a6＋a7＞0a7＜0，由此得a6＞－a7＞0. 故在S1S2，S12中S6的值最大．,1．等差数列的判定方法,1定义法an＋1－an＝dn∈N*，d是常数?{an}是等差数列． 2中项法2an＋1＝an＋an＋2n∈N*?{an}是等差数列． 3通项公式法an＝kn＋bkb是常数?{an}是等差数列． 4前n项和公式法Sn＝An2＋BnA，B是常数A≠0?{an}是等差数列．,2．解决与等差数列有关问题时常见的思想方法 1函数思想在等差数列中an＝dn＋cd，c为常数是关于n的一次函数或常数函数Sn＝an2＋bna，b为常数是关于n的二次函数或一次函数． 2方程思想准确分析a1d，anSn，n之间的关系通过列方程组可做到“知三求二”． 3整体思想在应用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋qm，np，q∈N*则am＋an＝ap＋aq”时，要会用整体思想进行代换．,等差数列的前 n 项和公式可写成二次式 Sn＝an2＋bnab 为 瑺数，要注意常数项为 0 这一特点；等差数列的基本运算和性质 应用并不是相互独立的在实际问题中要注意做到综合考虑，使 其相辅相成．,