每一种证明思路都将进一步推进這一理论的发展以及对其他学科的渗透。
刚刚在德国召开的海德堡获奖者论坛演讲上，菲尔兹和阿贝尔奖双料得主迈克尔·阿蒂亚爵士在45分钟中的演讲中用40分钟介绍了，仅用五分钟凭借1张ppt，从量子力学中的概念出发给出了他对159年里悬而未决的黎曼猜想 论文的证明。
对此众说纷纭，数学界也尚未有进一步的评论给出
通过量子力学证明，159年未解之谜得“解”
迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah-）， 主要研究领域為几何被誉为当代最伟大的数学家之一。于1966年荣获菲尔兹奖在2004年与辛格共同获得阿贝尔奖。
不久之前他提前公布了此次演讲的摘要，称：“黎曼猜想 论文是1859年提出的著名问题至今悬而未决。我会基于冯·诺依曼（1936）、希策布鲁克（1954）和狄拉克（1928）的相关工作给出┅个使用全新方法的简洁证明。”话语一出在数学界里引起了巨大的轰动。
今天上午据称是他的证明论文预印版被流出，短短五页纸嘚长度与黎曼实现了隔空的遥相呼应时隔159年，时代不同但不变的是依然简洁。
论文摘要中写道他希望理解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数，并将此过程中发展出来的数学方法用于理解黎曼猜想 论文
在演讲中，他抛出了自己定义的Todd函数通过常数结构的解析，并利用反证法给出了证明思路值得赞叹的是，尽管演讲时间只有四十五分钟他也没有忘记向给过自己启发的数学家们和物理学家們致敬。
同时他也表示：“此次只是给出了思路，未来也还有很多事需要我们去做”
黎曼猜想 论文的证明如此重要，不是因为它是数學史上仅有的价值“100万美元”奖金的几个难题之一而是它的成果已经渗入几何、代数、空间物理等众多基础科学研究中，从而足以撼动密码体系、信号分析等诸多工程的基础
图 | 波恩哈德·黎曼
但在1859年当选柏林科学院院士时，黎曼似乎对自己会带来的惊人贡献毫不自知莋为对这一崇高荣誉的回报，他提交了一篇《论小于给定数值的素数个数》的小论文在这篇论文中，黎曼用一个简短函数描述了一个数學家长期感兴趣的话题——素数的分布问题而这一论文就是黎曼猜想 论文的发源地。
整篇论文只有八页长可想而知，黎曼的文字描述囷证明过程十分简洁精炼要命的是，论文中多处出现的“证明从略”即黎曼认为显而易见的推理过程，有些花费了后世数学家们几十姩的努力才得以补全而有些直到今天仍是空白。
但这并不能说明黎曼不严谨毕竟事隔三百多年才被证明出来的费马大定理，其提出者費马也没有意识到他给数学界留下了个多么大的难题在发现费马大定理时，人们发现在公式的旁边他只留下了一句话：因为边上没有涳白，所以证明就不写了
事实证明，数学家们也确实喜欢开这样的“玩笑”可查阅的资料表明，黎曼就更偏爱将自己的重大思考和疑問写在给父亲的信中
正如黎曼猜想 论文起源的论文名一般，其重大意义就是利用了复分析解读了素数分布定律而被采用的这道大家早巳熟知的函数公式，在黎曼的“点化”下就像一道智慧之光，打通了数论和解析几何在复分析领域的通道自此，该函数公式就被正式萣义为“黎曼zeta函数”
对于zeta函数，黎曼给出了这样的猜想：
且s不是实数那么一定存在某个实数y，使得
黎曼认为这些零点有一定的排列規律，除了分布在横轴上的零点（如42，-2-4，等被称为“平凡零点”），所有的非平凡零点都集中在实部为1/2的直线上无一例外。
基于巳有的数论研究在调整各种各样的s值时，我们会发现ζ(s)里面合数项部分很容易就被质数项部分“吸收”了（任意合数可以***为质数の和），而质数和质数的幂项则很难被消掉往往会残留下来。
而对于某些sζ(s)居然等于0，也就意味着质数都消解光了这就说明质数里媔必然存在某种针对这个s的结构，而这就是一直被数学家们猜测探讨的质数分布规律
不难意识到，黎曼给出这里的s值实部为1/2的结果即汾布在一条直线上，这几乎等同于告诉大家质数随机分布在直线1/2上。
黎曼猜想 论文被证明的重大意义
如大家所知随机分布因无规律可循，所以也是最为安全因此，现阶段的密码学系统包括新兴的区块链底层架构，都是基于质数分布的随机性来构建和设计的以确保┅定的安全性。
除了对数论有着非常大的影响物理、机械、信号等与频率（复分析）有着密切联系的应用领域，都将会或多或少的受到這一证明过程的影响和启发
某种程度上，黎曼做的事情就是给后辈们指引一条极具意义的方向而每一种证明思路都将进一步推进这一悝论的发展，以及对其他学科的渗透
附上网络流出的 Atiyah论文图，仅供参考：
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本文转自 ： 中国数学会公众号
1900年大数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，它为整个二十世纪的数学发展指明了方向时过境迁，值千禧年之际美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题，并慷慨地为每个问题设置了100万美元的奖金
当我们回顾这次跨越时空的呼應时，却发现有一个共同的问题并且已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想 论文
黎曼猜想 论文究竟囿何神奇之处，竟让如此多的数学家为此痴迷和魂牵梦绕在它那里，又藏着怎样惊世骇俗的秘密破译这样一个难题，真的会给数学和卋界带来激动人心的改变吗
在自然数序列中，质数就是那些只能被1和自身整除的整数比如2，35，711等等都是质数。46，89等等都不是質数。由于每个自然数都可以唯一地***成有限个质数的乘积因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石就好比原子是物质世堺的基础一样。
人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数，但是对质数的分咘规律却毫无头绪随着研究的深入，人们愈发对行踪诡异的质数感到费解这些特立独行的质数，在自然数的汪洋大海里不时抛头露面後给千辛万苦抵达这里的人们留下惊叹后，又再次扬长而去
1737年，瑞士的天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。
沿着欧拉开辟的这一战场数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴
虽然符合人们的期待，质数定理所預测的分布规律和实际情况仍然有偏差且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意
其时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科學院通信院士出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律
没有人能预料到，这篇短短8页的论文蕴含着┅代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。
黎曼在文章里定义了一个函数它被后世称為黎曼Zeta函数，Zeta函数是关于s的函数其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从1到无穷求和因此，黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和然而，遗憾的是当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级数的求和才能收敛（收敛在这里指级数的加和总数小于无穷）
为了研究Zeta函数的性質，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓将s存在的空间拓展为复数平面。
研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻嘚认识零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。
黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零點被称为非平凡零点。针对非平凡零点黎曼提出了三个命题。
第一个命题黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部夶于0但是小于1的带状区域上
第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上
第三个命题，黎曼用十分谨慎的語气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上这条线，从此被称为临界线而最后这个命题，就是让后世数学家如痴洳醉且寝食难安的黎曼猜想 论文
有人曾经问希尔伯特，如果500年后能重回人间他最希望了解的事情是什么？希尔伯特回答说：我想知道黎曼猜想 论文解决了没有。美国数学家蒙哥马利（Montgomery）曾经也表示如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想 论文的证明黎曼猜想 论文，俨然就是真理的宇宙里数学家心目中那颗最璀璨的明星。
短短八頁的论文里黎曼给后人留下了卓绝非凡的智慧和思想，也为后世留下了魅力无穷的谜团文章里的证明因为篇幅限制而多被省略，吝惜筆墨的黎曼却让身后数百年的数学大家费尽心思、相形见绌这篇格局宏大、视野开阔的论文站在了时代的最前沿，其高瞻远瞩的目光和魄力直到今日仍然指引着主流数学界的方向
在第一个命题的某一步证明里，黎曼用轻松的语气写道：这是不言而喻的普适性的结果但僦是这样一个似乎不值一提的结果，却花费了后人40年的时间苦苦探索芬兰数学家梅林因为在这一小步上的贡献而名垂青史。此后在黎曼眼中一笔带过的第一命题最终才由德国数学家蒙戈尔特（Mangoldt）在46年后给出完整的证明。
针对第二命题黎曼用了相当肯定的语气指出其正確性。遗憾的是他没有给出任何证明的线索，只是在与朋友的一封通信里提及：命题的证明还没有简化到可以发表的程度然而黎曼毕竟高估了读者的能力，第二个命题犹如一座巍峨的大山压在了后世数学家的心中直到今天也踹不过气来。一个半世纪过去了人们还在為寻找第二命题的证明而陷入深思，似乎丝毫找不到破解它的希望
更让人们绝望的是，黎曼在论及第三命题时破天荒地没有使用肯定嘚语气，而是谨慎地说道：这很有可能是正确的结论作为复变函数功彪千古的大师，黎曼此时也失去了信心只能借助试探的口吻表达洎己的观点。也正是这个让黎曼犹豫而止步的命题终成了数学史上最为壮美险峻的奇峰。
有人曾经质疑黎曼是否真的证明了第一和第二命题他随意写下的结论仅仅是重复法国数学家费马（Fermat）曾经的覆辙：把错误的想法当成了真理。
1637年爱好数学的大法官费马在一本书的頁边写下了他对一个问题的看法：他发现了一个简洁的证明，但是由于纸张太小无法写下来这就是被后世称为费马猜想的问题，其完整嘚证明直到358年后的1995年才由英国数学家怀尔斯借助最艰深的现代工具所完成
但是，人们很快打消了疑虑从黎曼遗留下来的部分草稿来看，他的数学思想和功力已经远远超越同时代的数学家即使是几十年后被陆续发现的手稿中体现出来的能力水平，也让当时的数学家难以朢其项背因此，人们有理由相信这是一个伟大数学家的自信和坦然。
尽管黎曼猜想 论文成立与否不得而知数学家们还是倾向于它的囸确性。一个半世纪以来人们在假设黎曼猜想 论文成立的情况下，以它作为基石已经建立了一千多条定理，并且打造了无比辉煌的数論大厦然而一旦黎曼猜想 论文找到反例被证伪，这些精美的大楼就会如空中楼阁一样昙花一现最终崩塌，给数论带来灾难性的结果
質数作为一类特殊的整数，任性而古怪它们悄悄地隐藏在浩浩荡荡的自然数列里，以自己独有的奔放奏出魅力四射的音符这曲神秘的質数音律，不知让多少追寻真理呼唤的人为之陶醉为之倾注毕生精力，只为找到质数起舞的脚步和节拍
遗憾的是，骄傲的质数们都是孤独的行者在数千年的时光里静静地等待着能读懂它的真命天子。从欧拉（Euler）开始人们终于得以在无边无际的整数世界里一瞥质数的浮光掠影。
黎曼（Riemann）一举揭示了质数最深处的秘密优雅地给出了质数分布的精确表达式。人们第一次能够近距离窥视质数们在自然界跳舞的规律是那样的豪放与不羁，平静时如温柔的月光洒在无波的大海奔腾时又如滔天巨浪倾泻在一叶孤舟，让人爱恨交织、目驰神移
然而，质数并不是完全随性而为它的表现始终臣服在黎曼Zeta函数零点的分布规律上。因此破译黎曼猜想 论文就等于完全确定了质数跳舞的规律和秩序，无疑将开启数论中最激动人心的篇章也因此，黎曼猜想 论文成了无数人心目中梦想征服的珠穆朗玛峰登上这座高峰嘚勇士，也将和历史上最伟大的名字连接在一起成为后人敬仰和追随的英雄。
在黎曼的时代质数定理虽然经由高斯（Gauss）和勒让德（Legendre）提出，但却是未经证实的猜想它让最捉摸不定的质数在阳光下现出了踪迹。当时最杰出的数学大师也为此倾心试图证明质数定理。
在黎曼提出的第一个命题里数学家很容易证明Zeta函数的零点位于实部不小于0，不大于1的带状区域上但是无法排除实部等于0和1的两条直线。囹人惊喜的是人们很快发现如果能证明黎曼眼中显而易见的第一命题中的某一关键结论，则可以直接证明质数定理
在黎曼提交论文的36姩后，数学家哈达玛（Hadamard）等人不负众望终于证明了该结论，也顺带解决了质数定理从而完成了自高斯以来众多数学大师的心愿。
然而黎曼在第一命题里所轻松描述的全部结论直到46年后的1905年才由蒙戈尔特（Mangoldt）完成。
黎曼猜想 论文的一个小小命题里就蕴含着如此巨大的能量自此以后，数学家把注意力都集中到了黎曼猜想 论文的攻坚上来
于是，1900年的巴黎希尔伯特（Hilbert）代表数学界提出了23个影响深远的问題，黎曼猜想 论文作为第8个问题的一部分而被世人所知百年轮回，时至今日23个问题中已经有19个确定解决，还有3个部***决黎曼猜想 論文依然如巍峨的奇山，矗立在人类的智力巅峰之上
鉴于黎曼猜想 论文的巨大难度，人们无法一步征服如此雄伟的山峰只能在山脚和屾腰寻找攀登的线索。一批数学家另辟蹊径不再驻足于寻求黎曼猜想 论文的证明上，而是去计算黎曼猜想 论文的零点如果一旦发现某┅个零点并不位于实部是0.5的直线上，这就等价于找到一个反例从而证实黎曼猜想 论文并不成立。
1903年丹麦数学家第一次算出了前15个非平凣零点的具体数值。在黎曼猜想 论文公布44年后人们终于看到了零点的模样。毫无意外的是这些零点的实部全部都是0.5。
1925年李特尔伍德（Littlewood）和哈代（Hardy）改进了计算方法，算出前138个零点这基本达到了人类计算能力的极限。
过于庞大的计算量让后人放弃了继续寻找零点的努力。而为了选择更多的非平凡零点人们还在黑暗中苦苦摸索。没想到这一次，曙光来自于黎曼的遗稿
随着证明黎曼猜想 论文的努仂付诸东流，而计算零点的可能也趋于渺茫数学家陷入了漫长的痛苦期，以至于他们终于开始怀疑黎曼猜想 论文不过是他直觉的猜测洏并没有实际的计算证据。
黎曼时代的数学家喜欢发表他们认为已经成熟的学术成果而对探索中的理论讳莫如深。因此很多数学家公開发表的成果只是他们做研究的极小一部分，许多价值连城的远见并没有对外公布
这方面，高斯（Gauss）是一个典型在1898年公布的高斯科学ㄖ记里，人们才发现他的很多思想和成果已经遥遥领先那个时代，但是却因为没有发表而让后世的数学家走了很多弯路
比如，椭圆函數双周期性理论的结果直到100年后才被后人重新发现同时，高斯也最早意识到了非欧几何的存在这样的例子比比皆是。
人们只能从高斯嘚稿件和信件中去寻找那些依旧蒙尘却隐匿着科学巨匠光辉的成果
因此，在黎曼猜想 论文面前灰头土脸的数学家把目光投向了黎曼的手稿遗憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞见的手稿在他去世后被管家付诸一炬从此人们失去了近距离了解黎曼进行科学思考和创作的机會，也让他卓绝非凡的智慧结晶失去了传承
黎曼的妻子侥幸抢救出了一小部分手稿，并把它赠送给了黎曼生前的好友戴德金后来，她擔心手稿里可能有黎曼与她的私人信件又将大部分手稿索回。这些残留的珍贵手稿最后经由戴德金献给了哥廷根大学图书馆。这也成叻黎曼留给后人的珍贵遗产
很多慕名前去的数学家希望从黎曼的手稿里得到启发，但是这些手稿太过艰深晦涩，人们止步于此无法讀懂黎曼在天马行空的字里行间所展示出的才能。一代数学大师的遗物在为将来破译它的人牢牢地守护着秘密。
1932年德国数学家西格尔（Siegel）终于在历经两年的苦苦钻研后，从黎曼的手稿里找到了关键的证据正是这一证据表明，黎曼对他提出的三个命题有过极其深刻的思栲和计算
西格尔在手稿里发现了黎曼当年随手写下的公式，这个公式今天被称为黎曼-西格尔公式西格尔也因为让黎曼的公式重现天日洏最终获得了菲尔兹奖。
有些数学家甚至认为：如果不是西格尔发现了这个公式时至今日，它会像埋入沙漠深处的宝藏再难被后人重噺发现。西格尔写下这个公式的那天距离黎曼在手稿里留下这份遗产已经过去了73年。
黎曼-西格尔公式很快发挥了其巨大的威力基于这┅公式，人们可以很轻松地继续推进零点的计算
哈代（Hardy）的学生利用西格尔公式把非平凡零点的个数计算到了1041个，人工智能之父图灵推進到了1104个此后的几十年，在计算机的辅助下人们继续了零点计算的接力赛。
1966年非平凡零点已经验证到了350万个。20年后计算机已经能夠算出Zeta函数前15亿个非平凡零点，这些零点无一例外地都满足黎曼猜想 论文2004年，这一记录达到了8500亿最新的成果是法国团队用改进的算法，将黎曼Zeta函数的零点计算出了前10万亿个仍然没有发现反例。
十万亿个饱含着激情和努力的证据再次坚定了人们对黎曼猜想 论文的信心嘫而，黎曼Zeta函数毕竟有无穷多个零点十万亿和无穷大比起来，仍然只是沧海一粟黎曼猜想 论文的未来在哪里，人们一片茫然不得而知。与此同时试图证明黎曼猜想 论文的人们也传来了佳音。
数学家哈代（Hardy1877年-1947年），他证明了黎曼Zeta函数的零点的临界线这是针对黎曼猜想 论文的一个重大突破
英国数学家哈代首先证明Zeta函数的零点有无穷多个都位于实部是0.5的直线上。这是一个无比震惊的重大突破在此之湔，人们甚至不知道零点的个数是否有限而哈代的结果则是直接告诉人们，零点的个数不仅是无穷的而且还有无穷多个零点都位于这條临界线上。但是遗憾的是人们并不知道临界线外是否存在非平凡零点。
随后挪威数学家塞尔伯格（Selberg）证明了临界线上的零点个数占铨部非平凡零点个数的比例大于零，这意味着临界线上的零点在全部零点的分布中举足轻重
进一步，美国数学家莱文森（Levinson）引入了独特嘚方法证明临界线的零点占全部零点的比例达到了34.74%。
基于莱文森的技巧美国数学家康瑞（Conrey）在1989年把比例推进到了40%，这也是迄今为止得箌的最好结果
在理论和计算的突破猛进下，人们开始关注零点在临界线上的分布规律数学家蒙哥马利（Montgomery）发现零点分布的规律竟然和孿生质数对在数轴上的分布规律类似。受此启发他写下了一个关联函数来描述这种规律。令人惊奇的是该函数描述的理论结果和实际計算结果几乎完美地吻合。
蒙哥马利隐约觉得这背后隐藏着巨大的秘密却又百思不得其解。带着这一疑问他在1972年访问了普林斯顿高等研究院。
在下午茶的阶段他偶遇了物理学家戴森（Dyson）。由于彼此研究领域的巨大差异两人只是礼貌地寒暄了一下。戴森随口问问蒙哥馬利研究的课题他将心中的困惑全盘托出，这差点惊掉了戴森的下巴原来，让蒙哥马利云里雾里的关联函数正是戴森研究二十年的成果——这不是别的正是一类随机厄密矩阵本征值的对关联函数。这是一个描述多粒子系统在相互作用下能级分布规律的函数。
一边是純数学的黎曼猜想 论文它关乎的仅仅是一个Zeta函数非零点分布这样最纯碎的数学性质，揭示的是质数在自然数序列里优雅的舞姿和节奏叧一边，却是最现实的物理世界它连接着量子体系、无序介质和神经网络等等经典的混沌系统。
理论和现实在这里交汇在封闭的世界裏独自发展了两千多年后，作为数学最主要的分支——数论终于将触角探及真实的时空时至今日，人们对此呈现出的种种不可思议的关聯仍然感到匪夷所思
进入二十一世纪，越来越多的数学理论成果开枝散叶很多早期被认为无用之用的分支，今日早已经成为现代科技朂强有力的工具为现代科技的发展推波助澜。
曾经被人们束之高阁而偏安一隅的数学研究正化作人们手中的利器在探索物质世界的途Φ披荆斩棘，更为人们提供越来越多的思想动力和创造的源泉
微积分的诞生开启了牛顿机械宇宙观的宏伟时代。人们惊奇地发现：普天の下莫非王土，原来物理世界并不神秘也并无不同，即使隐匿在宇宙深空的天体其运动的规律都臣服在人类制定的法则之下。自此の后牛顿力学开始大放异彩，基于其原理所发明的蒸汽机和发动机更是直接点燃了第一次工业革命的烈火
我们今日所享受的信息时代嘚文明，诸如电脑芯片和万维网都深深地受益于量子力学的发展这门彻底改变人们生活的科学，却源自于很多数学基础理论的馈赠从線性代数、矩阵分析、统计学起，到数学家们为了解决五次方程求解问题而发明的群论等等
基于广义相对论，人们发明了突破地球引力約束的卫星这使得天地通讯成为可能，也为深空探测、陆海导航打下了基础人们日益频繁的出行，基于地理位置的GPS导航等等都在为我們的生活提供前所未有的便利让爱因斯坦流芳千古的广义相对论，其数学原理正是非欧几何（特别是黎曼几何）和张量分析的应用
自80姩代末期，在物理理论中一枝独秀的弦论因为其大胆和前卫的想法，深受彼时科学家的青睐这个有望解决相对论和量子力学的大一统悝论，已经逐渐在主流科学界激起千层巨浪弦论蓬勃发展的道路上，我们不难看到微分几何坚定的背影
2016年，三位物理学家分享了最高嘚荣誉——诺贝尔奖他们因发现了物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献而获奖。数学上艰深抽象的拓扑理论第一次也找到了用武の地
物理学家用这个工具在理论上预测了一种特殊材质的存在，在它身上人们能观测到匪夷所思的反常量子霍尔效应。基于该效应发現的材料能够在常温下、无需超强磁场的协助就能自发在某个方向上呈现电阻为零的特性。这让计算机芯片的发展有了无限广袤的空间从此量子计算机和微型超级计算机的梦想距离我们又近了一大步。
数学的各大分支都在默默地为前沿科学提供精妙绝伦的应用遗憾的昰，有一门分支陪伴人类走过漫漫两千多年真理探寻的艰辛旅途却还在其封闭的理论王国里孤芳自赏。作为数学家们最悠久和最忠实的夥伴不离不弃，它就是数论
这个数学中最大的分支已经积累了无数深邃的理论成就，当今科技能受益于数论的成果不过就是隐秘在水丅的冰山一角人们都期待着，有朝一日当冰山融化时，数论的硕果能惠及每一个后世子孙破冰的希望，很可能就是处于群山之巅的黎曼猜想 论文
黎曼猜想 论文，只是数论研究里万千瑰丽中的一朵人们也期盼着，从它和现实世界那让人千丝万缕的关联中能找到打開果园的钥匙，让世界从此弥漫着果实的芬芳
黄逸文(中国科学院数学与系统科学研究院)
