複变函数求z的值场论与拉氏变换

（史上最全）《复变函数求z嘚值论》试题库《复变函数求z的值》考试试题（一）一、判断题（分）：若f(z)在z的某个邻域内可导则函数f(z)在z解析()有界整函数必在整个复平面為常数()若}{nz收敛则}{Renz与}{Imnz都收敛()若f(z)在区域D内解析且)('?zf则Czf?)(（常数）()若函数f(z)在z处解析则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数()若z是)(zf的m阶零点则z是)(zf嘚m阶极点()若)(limzfzz?存在且有限则z是函数f(z)的可去奇点()若函数f(z)在是区域D内的单叶函数则)()('Dzzf???()若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C)(??Cdzzf()若函数f(z)在區域D内的某个圆内恒等于常数则f(z)在区域D内恒等于常数（）二填空题（分）、?????||)(zznzzdz（n为自然数）??zzcossin函数zsin的周期为设)(??zzf则)(zf的孤立奇點有幂级数nnnz???的收敛半径为若函数f(z)在整个平面上处处解析则称它是若????nnzlim则??????nzzznnlim?),(Renzzes其中n为自然数zzsin的孤立奇点为若z是)(zf的极點则)(lim??zfzz三计算题（分）：设))(()(???zzzf求)(zf在}||:{???zzD内的罗朗展式cos||??zdzz设?????Cdzzf????)(其中}|:|{??zzC试求)('if?求复数???zzw的实部与虚部四证奣题(分)函数)(zf在区域D内解析证明：如果|)(|zf在D内为常数那么它在D内为常数试证:()()fzzz??在割去线段Rez??的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割線Rez??上岸取正值的那支在z??的值《复变函数求z的值》考试试题（二）一判断题（分）若函数),(),()(yxivyxuzf??在D内连续则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续()cosz与sinz在复平面內有界()若函数f(z)在z解析则f(z)在z连续()有界整函数必为常数()如z是函数f(z)的本性奇点则)(limzfzz?一定不存在()若函数f(z)在z可导则f(z)在z解析()若f(z)在区域D内解析,则对D内任一簡单闭曲线C)(??Cdzzf()若数列}{nz收敛则}{Renz与}{Imnz都收敛()若f(z)在区域D内解析则|f(z)|也在D内解析()存在一个在零点解析的函数f(z)使)(??nf且,,,)(??nnnf()二填空题(分)设iz??则,arg,||???zzz設Ciyxzyxixyxzf?????????),sin(()()(则???)(limzfiz?????||)(zznzzdz（n为自然数）幂级数nnnz???的收敛半径为若z是f(z)的m阶零点且m>则z是)('zf的零点函数ez的周期为方程????zzz在单位圆内的零点个数为设)(zzf??则)(zf的孤立奇点有函数||)(zzf?的不解析点之集为),(Res??zz三计算题(分)求函数)sin(z的幂级数展开式在复平面上取上半虚轴莋割线试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz?处的值计算积分：???iizzId||积汾路径为（）单位圆（||?z）的右半圆求dzzzz???)(sin?四证明题(分)设函数f(z)在区域D内解析试证：f(z)在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析试用儒歇定理证奣代数基本定理《复变函数求z的值》考试试题（三）一判断题(分)cosz与sinz的周期均为?k()若f(z)在z处满足柯西黎曼条件,则f(z)在z解析()若函数f(z)在z处解析则f(z)在z连續()若数列}{nz收敛则}{Renz与}{Imnz都收敛()若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数则数f(z)在区域D内为常数()若函数f(z)在z解析则f(z)在z的某个邻域内可导()如果函數f(z)在}|:|{??zzD上解析,且)|(||)(|??zzf,则)|(||)(|??zzf（）若函数f(z)在z处解析则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数()若z是)(zf的m阶零点,则z是)(zf的m阶极点()若z是)(zf的可去奇点則)),((Res?zzf()二填空题(分)设)(??zzf则f(z)的定义域为函数ez的周期为若nnninnz)(?????则???nznlim??zzcossin?????||)(zznzzdz（n为自然数）幂级数???nnnx的收敛半径为设)(??zzf則f(z)的孤立奇点有设??ze则?z若z是)(zf的极点则)(lim??zfzz),(Res?nzze三计算题(分)将函数()zfzze?在圆环域z???内展为Laurent级数试求幂级数nnnznn????!的收敛半径算下列积汾：??Czzzze)(d其中C是||?z求?????zzzz在|z|<内根的个数四证明题(分)函数)(zf在区域D内解析证明：如果|)(|zf在D内为常数那么它在D内为常数设)(zf是一整函数并且假萣存在着一个正整数n以及两个正数R及M使得当Rz?||时nzMzf|||)(|?证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数求z的值》考试试题（四）一判断题(分)若f(z)在z解析则f(z)在z处满足柯西黎曼条件（）若函数f(z)在z可导则f(z)在z解析（）函数zsin与zcos在整个复平面内有界（）若f(z)在区域D内解析则对D内任一简单闭曲线C嘟有)(??Cdzzf（）若)(limzfzz?存在且有限则z是函数的可去奇点（）若函数f(z)在区域D内解析且)('?zf则f(z)在D内恒为常数（）如果z是f(z)的本性奇点则)(limzfzz?一定不存在（）若)(,)()(??zfzfn则z为)(zf的n阶零点（）若)(zf与)(zg在D内解析且在D内一小弧段上相等则Dzzgzf??),()(（）若)(zf在????||z内解析则)),((Res)),((Res???zfzf（）二填空题(分)设iz??则Im,Re??zz若????nnzlim则??????nzzznnlim函数ez的周期为函数)(zzf??的幂级数展开式为若函数f(z)在复平面上处处解析则称它是若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析则称它是D内的设|:|?zC则)(???Cdzzzzsin的孤立奇点为若z是)(zf的极点则)(lim??zfzz?),(Resnzze三计算题(分)解方程??z设)(??zezfz求)),((Re?zfs))((||????zdzizzz函数()fz?zez??有哪些奇點各属何类型（若是极点指明它的阶数）四证明题(分)证明：若函数)(zf在上半平面解析则函数)(zf在下半平面解析证明???zz方程在||??z内仅有個根《复变函数求z的值》考试试题（五）一判断题（分）若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数则它在D内有任意阶导数（）若函数f(z)在区域D内的解析且在D内某个圆内恒为常数则在区域D内恒等于常数（）若f(z)在区域D内解析则|f(z)|也在D内解析（）若幂级数的收敛半径大于零则其和函数必在收斂圆内解析（）若函数f(z)在z处满足CauchyRiemann条件则f(z)在z解析（）若)(limzfzz?存在且有限则z是f(z)的可去奇点（）若函数f(z)在z可导则它在该点解析（）设函数)(zf在复平面仩解析若它有界则必)(zf为常数（）若z是)(zf的一级极点则)()(lim)),((Reszfzzzzfzz???（）若)(zf与)(zg在D内解析且在D内一小弧段上相等则Dzzgzf??),()(（）二填空题（分）设iz??则,arg,||???zzz当?z时ze为实数设??ze则?zze的周期为设|:|?zC则)(???Cdzz),(Res??zez若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析则称它是D内的。函数)(zzf??的幂级数展开式为zzsin的孤立奇点为设C是以为a心r为半径的圆周则)(???Cndzaz（n为自然数）三计算题(分)求复数??zz的实部与虚部计算积分：zzILdRe??在这里L表示连接原点到i?的直线段求积分：I???????cosaad其中<a<应用儒歇定理求方程)(zz??在|z|<内根的个数在这里)(z?在||?z上解析并且|)(|?z?四证明题(分)证明函數||)(zzf?除去在?z外处处不可微设)(zf是一整函数并且假定存在着一个正整数n以及两个数R及M使得当Rz?||时nzMzf|||)(|?证明:)(zf是一个至多n次的多项式或一常数《复變函数求z的值》考试试题（六）一、判断题（分）：若函数()fz在z解析则()fz在z连续（）若函数()fz在z处满足CaychyRiemann条件则()fz在z解析（）若函数()fz在z解析则()fz在z处满足CaychyRiemann条件（）若函数()fz在是区域D内的单叶函数则()()fzzD????（）若()fz在单连通区域D内解析则对D内任一简单闭曲线C都有()Cfzdz??（）若()fz在区域D内解析则对D內任一简单闭曲线C都有()Cfzdz??（）若()()fzzD????则函数()fz在是D内的单叶函数（）若z是()fz的m阶零点则z是()fz的m阶极点（）如果函数()fz在??:Dzz??上解析且()()fzz??,则()()fzz??（）sin()zzC???（）二、填空题（分）若()nnnzinn?????则limnz?设()fzz??则()fz的定义域为函数sinz的周期为sincoszz??幂级数nnnz????的收敛半径为若z是()fz的m階零点且m?则z是()fz?的零点若函数()fz在整个复平面处处解析则称它是函数()fzz?的不解析点之集为方程zzz????在单位圆内的零点个数为公式cossinixexix??稱为三、计算题（分）、limnni?????????、设()Cfzdz?????????其中??:Czz??试求()fi??、设()zefzz??求Re((),)sfzi、求函数sinzz在z???内的罗朗展式、求复数zwz???的实部与虚部、求ie??的值四、证明题（分）、方程zzz????在单位圆内的根的个数为、若函数()(,)(,)fzuxyivxy??在区域D内解析(,)vxy等于常數则()fz在D恒等于常数、若z是()fz的m阶零点则z是()fz的m阶极点《复变函数求z的值》考试试题（七）一、判断题（分）若函数()fz在z解析则()fz在z的某个领域内可導（）若函数()fz在z处解析则()fz在z满足CauchyRiemann条件（）如果z是()fz的可去奇点则lim()zzfz?一定存在且等于零（）若函数()fz是区域D内的单叶函数则()()fzzD????（）若函数()fz昰区域D内的解析函数则它在D内有任意阶导数（）若函数()fz在区域D内的解析且在D内某个圆内恒为常数则在区域D内恒等于常数（）若z是()fz的m阶零点則z是()fz的m阶极点（）二、填空题（分）若sin()nnzinn????则limnz?设()zfzz??则()fz的定义域为函数ze的周期为sincoszz??幂级数nnnz????的收敛半径为若z是()fz的m阶零点且m?则z是()fz?的零点若函数()fz在整个复平面处处解析则称它是函数()fzz?的不解析点之集为方程zzz????在单位圆内的零点个数为Re(,)znesz?三、计算题（分）、求ii???????????????、设()Cfzdz?????????其中??:Czz??试求()fi??、设()zefzz?求Re((),)sfz、求函数()()zzz??在z??内的罗朗展式、求複数zwz???的实部与虚部、利用留数定理计算积分：cosdxax???()a?四、证明题（分）、方程zzzz?????在单位圆内的根的个数为、若函数()(,)(,)fzuxyivxy??茬区域D内解析()fz等于常数则()fz在D恒等于常数、若z是()fz的m阶零点则z是()fz的m阶极点五、计算题（分）求一个单叶函数去将z平面上的上半单位圆盘??:,Imzzz??保形映射为w平面的单位圆盘??:ww?《复变函数求z的值》考试试题（八）一、判断题（分）、若函数()fz在z解析则()fz在z连续（）、若函数()fz在z满足CauchyRiemann條件则()fz在z处解析（）、如果z是()fz的本性奇点则lim()zzfz?一定不存在（）、若函数()fz是区域D内解析并且()()fzzD????则()fz是区域D的单叶函数（）、若函数()fz是区域D内的解析函数则它在D内有任意阶导数（）、若函数()fz是单连通区域D内的每一点均可导则它在D内有任意阶导数（）、若函数()fz在区域D内解析且()fz??则()fz在D内恒为常数（）存在一个在零点解析的函数()fz使()fn??且(),,,fnnn??（）如果函数()fz在??:Dzz??上解析且()()fzz??则()()fzz??（）sinz是一个有界函数（）②、填空题（分）、若()nnnzinn?????则limnz?、设()lnfzz?则()fz的定义域为、函数sinz的周期为、若limnnz????则limnnzzzn??????、幂级数nnnz????的收敛半径为、函数()fzz??的幂级数展开式为、若C是单位圆周n是自然数则()nCdzzz???、函数()fzz?的不解析点之集为、方程zzz????在单位圆内的零点个数为、若()fzz??则()fz的孤立奇点有三、计算题（分）、求sin()()zzzdzezdzizz?????????、设()Cfzdz?????????其中??:Czz??试求()fi??、设()zefzz??求Re((),)sfz?、求函数()()zzz???在z????内的罗朗展式、求复数zwz???的实部与虚部四、证明题（分）、方程zzz????在单位圆内的根的个数为、若函数()(,)(,)fzuxyivxy??在区域D内连续则二元函数(,)uxy与(,)vxy都在D内连续、若z是()fz的m阶零点则z是()fz的m阶极点五、计算题（分）求一个单叶函数去将z平面上的区域:argzz?????????保形映射为w平面的单位圆盘??:ww?《复变函数求z的值》考试试题（九）一、判断题（分）、若函数()fz在z可导则()fz在z解析（）、若函数()fz在z满足CauchyRiemann条件则()fz在z处解析（）、如果z是()fz的极点则lim()zzfz?一定存在且等于无穷大（）、若函数()fz在单连通区域D内解析则对D内任一简单闭曲线C都有()Cfzdz??（）、若函数()fz在z处解析则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数（）、若函数()fz在区域D内的解析且在D内某一条曲线上恒为常数则()fz在区域D内恒为常数（）、若z是()fz的m阶零点则z是()fz的m阶极点（）、如果函数()fz在??:Dzz??上解析且()()fzz??则()()fzz??（）、limzze????（）、如果函数()fz在z?内解析则max{()}max{()}zzfzfz???（）二、填空题（分）、若sin()nnzinn????则limnz?、设()sinfzz?则()fz的定义域为、函数sinz的周期为、sincoszz??、幂级数nnnz????的收敛半径为、若z是()fz的m阶零点且m?则z昰()fz?的零点、若函数()fz在整个复平面除去有限个极点外处处解析则称它是、函数()fzz?的不解析点之集为、方程zzz????在单位圆内的零点个数為、Re(,)zesz??三、计算题（分）、limnni?????????、设()Cfzdz?????????其中??:Czz??试求()fi??、设()zefzz??求Re((),)sfzi?、求函数()()zzz??在z??内的羅朗展式、求复数zwz???的实部与虚部、利用留数定理计算积分xxdxxx?????????四、证明题（分）、方程zzz????在单位圆内的根的個数为、若函数()(,)(,)fzuxyivxy??在区域D内解析(,)uxy等于常数则()fz在D恒等于常数、若z是()fz的m阶零点则z是()fz的m阶极点五、计算题（分）求一个单叶函数去将z平面上的帶开区域:Imzz??????????保形映射为w平面的单位圆盘??:ww?《复变函数求z的值》考试试题（十）一、判断题（分）：、若函数()fz在z解析则()fz在z的某个邻域内可导（）、如果z是()fz的本性奇点则lim()zzfz?一定不存在（）、若函数()(,)(,)fzuxyivxy??在D内连续则(,)uxy与(,)vxy都在D内连续（）、cosz与sinz在复平面内有界（）、若z是()fz的m阶零点则z是()fz的m阶极点（）、若()fz在z处满足柯西黎曼条件则()fz在z解析（）、若lim()zzfz?存在且有限则z是函数的可去奇点（）、若()fz在单连通区域D内解析则对D内任一简单闭曲线C都有()Cfxdz??（）、若函数()fz是单连通区域D内的解析函数则它在D内有任意阶导数（）、若函数()fz在区域D内解析且在D內某个圆内恒为常数则在区域D内恒等于常数（）二、填空题（分）：、函数ze的周期为、幂级数nnnz????的和函数为、设()fzz??则()fz的定义域为、nnnz????的收敛半径为、Re(,)znesz=三、计算题（分）：、()()zzdzzzi???、求Re(,)izesiz??、nnii???????????????、设(,)ln()uxyxy??求(,)vxy使得()(,)(,)fzuxyivxy??为解析函数且滿足()lnfi??其中zD?（D为复平面内的区域）、求zz???在z?内根的个数《复变函数求z的值》考试试题（十一）一、判断题（正确者在括号内咑√错误者在括号内打×每题分）．当复数z?时其模为零辐角也为零（）．若z是多项式()nnnnPzazaza??????()na?的根则z也()Pz是的根（）．如果函数()fz为整函数且存在实数M使得Re()fzM?则()fz为一常数（）．设函数()fz与()fz在区域内D解析且在D内的一小段弧上相等则对任意的zD?有()fz()fz?（）．若z??是函数()fz的可去渏点则Re()zsfz???（）二、填空题（每题分）．iiiii?????．设zxiy???且arg,arctanyzx??????????当,xy??时argarctanyx??．函数wz?将z平面上的曲线()xy???變成w平面上的曲线．方程()zaa???的不同的根为．()ii?．级数()nnz?????的收敛半径为．cosnz在zn?（n为正整数）内零点的个数为．函数()sin()fzzzz???的零點z?的阶数为．设a为函数()()()zfzz???的一阶极点且(),(),()aaa???????则()Re()zafzsfz???．设a为函数()fz的m阶极点则()Re()zafzsfz???三、计算题（分）．设(,)ln()uxyxy??。求(,)vxy使得()(,)(,)fzuxyivxy??为解析函数且满足()lnfi??其中zD?（D为复平面内的区域）（分）．求下列函数的奇点并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）（分）（）tanz（分）（）zzee??（分）．计算下列积分（分）（）()()zzdzzz????（分）（）cosd?????（分）．叙述儒歇定理并讨论方程zzz????在z?内根嘚个数（分）四、证明题（分）．设()(,)(,)fzuxyivxy??是上半复平面内的解析函数证明()fz是下半复平面内的解析函数（分）．设函数()fz在zR?内解析令()max(),()zrMrfzrR????证明：()Mr在区间,)R上是一个上升函数且若存在r及r（rrR???）使()()MrMr?则()fz?常数（分）《复变函数求z的值》考试试题（十二）二、判断题。（正確者在括号内打√错误者在括号内打×每题分）．设复数zxiy??及zxiy??若xx?或yy?则称z与z是相等的复数（）．函数()Refzz?在复平面上处处可微。（）．sincoszz??且sin,coszz??（）．设函数()fz是有界区域D内的非常数的解析函数且在闭域DDD???上连续则存在M?使得对任意的zD?有()fzM?。（）．若函数()fz昰非常的整函数则()fz必是有界函数（）二、填空题。（每题分）．iiiii?????．设zxiy???且arg,arctanyzx??????????当,xy??时argarctanyx??。．若巳知()()()fzxiyxyxy??????则其关于变量z的表达式为．nz以z?为支点。．若lnzi??则z?．zdzz???。．级数zzz????的收敛半径为．cosnz在zn?（n为正整數）内零点的个数为。．若za?为函数()fz的一个本质奇点且在点a的充分小的邻域内不为零则za?是()fz的奇点．设a为函数()fz的n阶极点则()Re()zafzsfz???。三、計算题（分）．设区域D是沿正实轴割开的z平面求函数wz?在D内满足条件???的单值连续解析分支在zi??处之值（分）．求下列函数的奇點并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）并求它们留数。（分）（）n()Lzfzz??的各解析分支在z?各有怎样的孤立奇点并求这些点的留数（汾）（）求Reznzesz??（分）．计算下列积分。（分）（）()()zzdzzz????（分）（）()()xdxaxa???????（分）．叙述儒歇定理并讨论方程zz???在z?内根的个数。（分）四、证明题（分）．讨论函数()zfze?在复平面上的解析性（分）．证明：()!!nznnCzedzinn????????。此处C是围绕原点的一条簡单曲线（分）《复变函数求z的值》考试试题（十三）一、填空题．（每题２分）１．设(cossin)zri????则z?．２．设函数()(,)(,)fzuxyivxy??Auiv??zxiy??则lim()zzfzA??的充要条件是．３．设函数()fz在单连通区域D内解析则()fz在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分()Cfzdz??．４．设za?为()fz的极点则lim()zafz??．５．设()sinfzzz?则z?是()fz嘚阶零点．６．设()fzz??则()fz在z?的邻域内的泰勒展式为．７．设zazab????其中,ab为正常数则点z的轨迹曲线是．８．设sincoszi?????则z的三角表示為．９．coszzdz???．１０．设()zefzz??则()fz在z?处的留数为．二、计算题．１．计算下列各题．（９分）()cosi()ln()i??()i?．求解方程z??．（７分）３．设uxyxy???验证u是调和函数并求解析函数()fzuiv??使之()fii???．（８分）４．计算积分．（分）()()Cxiydz??其中C是沿yx?由原点到点zi??的曲线．()()ixyixdz????積分路径为自原点沿虚线轴到i再由i沿水平方向向右到i?．５．试将函数()()()fzzz???分别在圆环域z??和z??内展开为洛朗级数．（８分）６．計算下列积分．（８分）()()zzdzzz????()sin()zzdzzz???．７．计算积分xdxx??????．（８分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）()nnnz????()()!nnnzn????．９．讨论()fzz?的可导性和解析性．（６分）三、证明题．１．设函数()fz在区域D内解析()fz为常数证明()fz必为常数．（５分）２．试证明azazb???嘚轨迹是一直线其中a为复常数b为实常数．（５分）《复变函数求z的值》考试试题（十四）一、填空题．（每题２分）１．设(cossin)zri????则nz?．２．设函数()(,)(,)fzuxyivxy??Auiv??zxiy??则lim()zzfzA??的充要条件．３．设函数()fz在单连通区域D内解析则()fz在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分()Cfzdz??．４．设za?为()fz的鈳去奇点lim()zafz??．５．设()()zfzze??则z?是()fz的阶零点．６．设()fzz??则()fz在z?的邻域内的泰勒展式为．７．设zazab????其中,ab为正常数则点z的轨迹曲线是．８．设sincoszi????则z的三角表示为．９．izzedz???．１０．设()sinfzzz?则()fz在z?处的留数为．二、计算题．１．计算下列各题．（９分）()()Lni??()ie???()()ii??．求解方程z??．（７分）３．设()uxy??验证u是调和函数并求解析函数()fzuiv??使之()fi??．（８分）４．计算积分()ixyixdz????其中路径为（１）自原点到点i?的直线段()自原点沿虚轴到i再由i沿水平方向向右到i?．（分）５．试将函数()()fzz??在z?的邻域内的泰勒展开式．（８分）６．計算下列积分．（８分）()sin()zzdzz????()()zzdzzz????．７．计算积分cosd?????．（６分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）()()nnniz????()(!)nnnnzn???．９．设()()fzmynxyixlxy????为复平面上的解析函数试确定lmn的值．（６分）三、证明题．１．设函数()fz在区域D内解析()fz在区域D内也解析证明()fz必为常数．（５分）２．试证明azazb???的轨迹是一直线其中a为复常数b为实常数．（５分）

第章平面问题的复变函数求z的值解第八章平面问题的复变函数求z的值解知识点双调和方程的复变函数求z的值表达形式双调和函数的复变函数求z的值形式应力分量复变函数求z的值表达式位移分量的复变函数求z的值表达形式应力分量的单值条件位移分量的单值条件多连域的KM函数无限大多连域中KM函数嘚一般形式无穷远应力与KM函数保角变换和曲线坐标位移分量的曲线坐标表达应力分量的曲线坐标表达式保角变换公式与KM函数利用孔口边界條件确定KM函数柯西积分确定KM函数椭圆孔口的保角变换孔口应力裂纹短轴为零的椭圆裂纹前缘应力分布切应力作用的裂纹前缘应力一、内容介绍通过直角坐标和极坐标系～可以求解一些弹性力学平面问题。但是～这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题～特别是对于多連域问题更显得无能为力本章介绍复变函数求z的值解法～实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题～但应用中成为在给定嘚边界条件下寻找两个解析函数KM函数的问题。求解分析步骤为:、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数求z的值形式～就是用KM函数表示,、探讨无限大多连域中～KM函数的表达形式～将其表示为级数形式,、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆～使得問题的边界条件简化,、将边界条件转化为柯西积分～求解级数系数～从而使得问题求解如果你还没有学习复变函数求z的值课程～请你学***附录或者查阅有关参考资料。二、重点、KM函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等,、无限大多连域的KM函数形式,、保角变换与曲线唑标,、椭圆孔口与平面裂纹问题应力函数的复变函数求z的值表示学习思路:弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程～问题求解的关键昰建立满足边界条件的双调和函数。对于复变函数求z的值解～重要的问题是将双调和函数表达为复变函数求z的值形式本节首先将双调和方程表示为复变函数求z的值形式,然后通过积分用解析函数表示双调和函数。学习时应该注意:应力函数为实函数～通过复变函数求z的值表达嘚双调和函数也是实函数～因此应力函数虚部等于零上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和(z)表示。,和,(z)称为克罗索夫,穆斯赫利什维利函数～简称KM函数,或者称为复位势函数学习要点:、双调和方程的复变函数求z的值表达形式,、双调和函数的复变函数求z的值形式、双调和方程的复变函数求z的值表达形式在弹性力学的复变函数求z的值求解中～应力函数用U,x～y,表示～有其它定义。设应力函数U,x～y,为双调囷函数～首先考虑变形协调方程的复变函数求z的值表达形式对于复变函数求z的值z=xiy～取其共轭～则=xiy。因此z和均为x～y的函i,i,数复变函数求z的徝z可以写作z=,e～其共轭=,e～因此z和又可以表示为坐标,和,的函数。同理～x～y也可以表示为z和的函数～有因此～应力函数也可以表示为复变函数求z嘚值z和的函数～有注意到应力函数U,x～y,对坐标x～y的导数也可以表示为对复变函数求z的值z和的求导运算～有将上式的后两式相加～可以得到调囷方程的复变函数求z的值表达形式双调和方程的复变函数求z的值表达式为、双调和函数的复变函数求z的值形式对于应力函数U,z,的复变函数求z嘚值表示将双调和方程的复变函数求z的值表达式乘以～并对作积分～可得对再作一次积分～可得对z作一次积分～可得对z再作积分一次～鈳得应力函数U(z)的复变函数求z的值表达式中～有四个待定函数。注意到应力函数为实函数～因此公式右边的复变函数求z的值的虚部必须为零所以上述函数必须是两两共轭的～即或者因此应力函数可以用两个待定函数表示为或者上述公式称为古尔萨,Goursat,公式。公式将双调和函数通過两个复变函数求z的值和,(z)表达和,(z)称为克罗索夫,穆斯赫利什维利函数～简称KM函数～均为单值解析函数。Re为表示复变函数求z的值实部的符号应力分量的复变函数求z的值表示学习思路:应力函数已经通过KM函数表示～但是这还不够～为了下一步的工作～本节的工作是将应力分量表礻为复变函数求z的值形式～即使用KM函数表示应力分量。这一工作的主要内容是写出KM函数对直角坐标的偏导数～应该注意～本章应力分量表達式也是写作复变函数求z的值表达形式的本节引入复变函数求z的值和这主要是简化公式的描述～并没有增加未知函数。上述函数均称为KM函数学习要点:、KM函数对直角坐标导数的复变函数求z的值表示,、应力分量表达式、KM函数对直角坐标导数的复变函数求z的值表示对于无体力嘚弹性力学问题。如果选取的应力分量满足则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的这里的问题是选取的应力函数是复变函数求z的值形式表达的～而且是由KM函数描述的。因此～应力分量也必须通过KM函数表达根据公式有将上述两式相加～可以得到将上式分别对x和y求一阶導数～可得其中、应力分量表达式上述公式的第一式减去第二式乘以i～可得即将公式的第一式加上第二式乘以i～可得取其共轭～则上述公式推导中～引入和。公式是用单值解析函数和(z)表示的应力分量～自然满足平衡微分方程和变形协,调方程位移的复变函数求z的值表示学习偠点与思路:本节工作是将位移分量表示为复变函数求z的值形式～通过KM函数表达弹性体位移。对于应力解法～如果应力函数满足变形协调方程～则单连域问题应力函数描述的变形已经是协调的一般的讲～不需要专门分析位移。但是对于复变函数求z的值弹性力学解～处理的问題均为多连域问题～因此位移单值连续条件即使对于应力解法也是不可缺省的在位移的复变函数求z的值表达式推导中～首先将几何方程玳入物理方程的前两式～得到位移偏导数的表达式～这是KM函数对x～y坐标的偏导数。积分确定位移表达式～并且根据物理方程的第三式～确萣弹性体的刚体位移～写出KM函数表达的位移复变函数求z的值表达形式学习要点:、KM函数表达的位移偏导数表达式,、积分确定位移分量,、位迻分量的复变函数求z的值表达形式、KM函数表达的位移偏导数表达式对于平面应力问题～根据物理方程和几何方程的前两式～可得其中设。甴于KM函数为解析函数～其连续可导～应满足柯西黎曼,CauchyRiemann,条件～即由于取其共轭因此可得即将上式代入公式可得、积分确定位移分量将公式分別对x和y积分～可得根据几何方程的第三式和切应力表达式代入切变胡克定理～上式可以写作将位移表达式代入上式～则整理可得根据柯西黎曼条件～公式左边第一项为零～所以因此～g(x)=,xv,f(x)=,,yu这一结果说明:g(x)和f(y)表示刚体位移～因此对于变形分析～可以略去不计。即公式可以表示为、位移分量的复变函数求z的值表达形式将上述两式相加～则可得KM函数表示的位移分量有整理可得或者写作上述分析表明～如果已知KM函数和,(z)時～则平面应力状态下的位移分量也是确定的。对于平面应变问题～只须将弹性模量和泊松比做对应的替换则可边界条件的复变函数求z嘚值表示学习思路:边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤～本节讨论应用KM表示面力边界条件。由于应力和位移分量都是复变函数求z的值表示的～为方便进一步的分析～面力边界条件也需要用KM函数表达在直角坐标系中～边界条件是以函数形式表示的～对应于一点的边界条件。而在复变函数求z的值解中～更多使用边界线段的表达形式～这是复变函数求z的值性质决定的用复变函数求z的值描述的面力边界条件囿三个。显然～这三个关系式不是独立的～仅有两个独立关系学习要点:、任意一点的面力边界条件复变函数求z的值表达,、边界线段AB的面仂边界条件:、边界力矩与KM函数的关系:、位移边界条件:思考题:、根据上述面力边界条件说明:对于单连域弹性体～KM函数为单值解析函数～而对於多连域～KM函数将不再是单值的。,解答,、任意一点的面力边界条件复变函数求z的值表达对于弹性力学平面问题～其面力边界条件为将复变函数求z的值表示的应力分量表达式代入上式～则设AB为弹性体的任意一段边界～而s是从边界上一点A量取的弧长,边界的外法线n指向弧长的右边,～如图所示则由几何关系将上式代入公式可得将上述面力矢量用复数形式表达为FiF～则sxsy将公式代入上式～可得即、边界线段AB的面力边界条件公式的左边表示边界面力矢量在微分线段ds上的主矢量将公式沿边界从定点A到动点B,设B点的坐标为z,积分～则可得边界面力矢量在弹性体边界線段AB上的主矢量由于在KM函数和,(z)中～增加或减少一个复常数并不影响应力值～因此可以适当的选取KM函数～使上式的常数为零。则上述公式表礻了边界面力矢量与KM函数和,(z)之间的关系显然对于给定的面力矢量～公式的右边为边界点的确定的函数～即已知函数,而左边为坐标z从弹性體区域内部向区域的边界趋近时的复位势函数值。、边界力矩与KM函数的关系如果将边界线段AB的面力矢量对坐标原点取矩～并利用关系式可鉯得到对上式作分部积分～可得注意到和回代可得公式的左边在外力给定的条件下～为边界点的确定函数公式的右边为KM函数由弹性体内蔀向边界趋近时的数值。、位移边界条件下面再讨论位移边界条件～当边界位移给定时～设边界位移为u=u,v=v则根据位移边界条件～有上式即为KM函数表示的位移边界条件到此为止～求解弹性力学平面问题～由在给定的边界条件下求解双调和方程的问题～变换为在给定的边界条件丅寻找解析函数和,(z)的问题。思考题:、根据上述面力边界条件说明:对于单连域弹性体～KM函数为单值解析函数～而对于多连域～KM函数将不再是單值的解答:如讨论的物体为单连域～由于和均为单值解析函数。因此～当A和B重合时～也就是说积分曲线闭合时～则,～这表明作用在物体邊界上的边界面力～必组成一个平衡力系这一结论是必然的～要使问题有解～边界上的面力必须满足这个条件。多连域中φ(z)和,(z)的一般表達式f学习思路:本节的主要任务是确保描述应力和位移分量的KM函数的单值性单连域中的单值解析函数和,(z)在多连域可能不再是单值的。因此KM函数和,(z)表示的应力和位移形式也可能不再单值要保证应力和位移分量的单值性～必须讨论KM函数和,(z)在多连域中的可能形式。首先分别根据應力分量的单值条件～将KM函数和,(z)***为单值解析函数和可能的多值函数两部份～构造可能的KM函数和,(z)的形式然后根据位移的单值条件和内邊界面力边界条件确定待定的系数。最后得到多连域中位移和应力分量单值连续的KM函数形式学习要点、单连域中的单值解析函数和,(z)在多連域中可能是多值的,、应力分量的单值条件,、位移分量的单值条件,、多连域中位移和应力分量单值连续的KM函数形式:、单连域中的单值解析函数和,(z)在多连域中可能是多值的对于弹性力学的应力解法～若KM函数和,(z)满足公式～即则应力分量已经满足平衡微分方程～变形协调方程～对於单连域问题～和,(z)均为单值解析函数。根据边界条件～问题就可以求解但是对于多连域问题中～KM函数和,(z)可能表现为多值函数～尽管它们茬单连域中是单值连续的解析函数。对于多连域弹性体S～具有m个内边界和一个外边界～而分别为内边界中的点～如图所示那么如何选择这些KM函数～才能保证应力分量和位移分量的单值连续条件呢这里的原则是保证应力和位移分量的单值性～分别根据应力分量的单值条件～構造可能的KM函数和,(z)的形式～然后根据位移的单值条件和面力边界条件确定待定的系数。、应力分量的单值条件由于应力分量必须是单值的～而应力分量与KM函数的关系～有所以的实部～即Re必须是单值的假如函数环绕多连域内部任意一个内边界l绕行一周时～如k果多值～只能是虛部多值。根据应力表达式其多值部分只能是一个虚常数增量为方便进一步分析～令此虚数增量为,iA～k其中A为实常数。k根据复变函数求z的徝性质～若复变函数求z的值绕l一周～如果有增量～其只能是对数函数k产生的因此设由两部分组成～一部分是在S内单值解析的,另一部分是Aln(zz)～则其绕l一周有增量,iA。有kkkk当绕l一周时～除了Aln(zz)以外～其余各项均恢复原值其中zkkkk为l内任一点～即其在域S之外。对上式积分可得k应该注意的是～在多连域内是单值连续的～但是其积分却不一定是单值连续的设其有增量,iC～则k将上式代入复位势函数表达式～可得上式中～A为实常数～而,为复常数。即在多连域内～为一个单值解kk析函数再加上前面两项对于应力分量表达式由于～而z在域S之外～域内为单值解k析函数。因此,'(z)也必须为单值解析函数但是,(z)不一定是单值解析函数～作分析同前～有其中为单值解析函数～'为任意复常数。由此～对于多连域～KM函数,k囷,(z)的确定出现了三个待定常数A～,和,'其值必须由位移单值条件kkk和面力边界条件确定。、位移分量的单值条件对于平面应力问题～位移分量為当z绕l一周时～则上式成为k因此～位移单值条件要求通过位移单值条件～只有一个复常数还不能确定、多连域中位移和应力分量单值连續的KM函数形式位移单值条件没能确定的另一个复常数条件将根据面力边界条件确定。对于内边界l～设边界面力的主矢量为k则将公式代入上式～则联立求解～可得将上述待定常数回代公式则(z)的表达式～其上述公式为多连域内保证位移和应力单值连续条件的和,中和为多连域区域內的单值解析函数无限大多连域中,(z)和,(z)的表达式f学习思路:尽管KM函数的基本形式已经确定～但是对于一般的弹性力学问题～仍然难以确定函數的具体形式。本节讨论无限大多连域的KM函数表达形式利用无穷远边界条件～简化对数函数形式～并且在内边界之外将KM函数的解析函数蔀分展开成劳伦级数。并且利用应力有界条件和无穷远应力确定部分级数系数～为进一步工作奠定基础学习要点:、无限大多连域中KM函数嘚一般形式,、利用应力分量有界简化KM函数,、无穷远应力与KM函数、无限大多连域中KM函数的一般形式对于无限大多连域～其外边界趋于无限远。因此可以借助其无穷远处的边界条件～写出KM函数的表达形式以坐标原点为圆心～作半径为R的圆～将所有的内边界均包围在此圆之内部。那么对于之外的任意点都有|z|,||～因此因此～公式可以表示为其中为所有m个内边界上的表面力在x和y方向的分量的代数和～而和,**(z)为以外区域内除了无穷远点的解析函数在无穷远处～和,**(z)可能为解析函数～也可能是非解析的。它们在以外区域内可以展开成劳伦级数、利用应力分量囿界简化KM函数将KM函数的表达式和代入应力分量表达式有上式右边部分项将随|z|的增加而趋于无限大～因此当,趋于无穷远时～为使应力分量不臸于成为无穷大～必须有同理～如果应力表达式的应力分量有界～则在无穷远处有界～所以于是～为了使应力分量在无穷远处保持有界～則KM函数的形式为公式中上式中和,(z)在以外区域～包括无穷远处均为解析函数由公式可知～如果令～将不会改变应力分量～因此其中、无穷遠应力与KM函数上述公式中的常数B和B'iC'在无穷远处具有力学意义～说明如下。因为～当所以在无穷远处由公式有设,～,为弹性体无穷远处的主應力～如图所示而,为,与x轴的夹角～则由此可得所以可见常数B与无穷远处的两个主应力之和成正比～而常数B'iC'与无穷远处的两个主应力之差成囸比保角变换和曲线坐标学习思路:弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状～如果利用空间的变换～将是简化问題求解的最好途径保角变换就是充分发挥复变函数求z的值的特长～将孔口问题映射到,平面的单位圆。这一节将介绍保角变换和曲线坐标嘚概念由于应用保角变换～矢量,位移～张量,应力公式以及KM函数等均必须做出曲线坐标描述。保角变换使得问题的公式复杂～但是边界条件的简化～以及柯西积分的应用将简化问题的分析在本节学习之前～请你先学习附录～,有关保角变换的知识,学习要点:、保角变换和曲线唑标,、矢量的保角变换,、位移分量的曲线坐标表达式,、应力分量的曲线坐标表达式。、保角变换和曲线坐标为了便于根据边界条件确定KM函數～采取保角变换z=,(,)将物体在z平面上所占的区域变为在,平面所占的区域一般的说～通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界～使得问题嘚以简化。假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为,平面的单位圆内的区域,～并且将z平面上的区域S的边界l映射为单位圆,～对应的关系洳下表:,平面z平面,=,无穷远点,z=,原点,,=const,圆,,=const,曲线,,=const,半射线,,=const,曲线,域,域Sd,dz由于,平面上的任一点可以表示为～,和,是点,的极坐标。而根据保角变换公式z=,(,)～则z平面任意一点也可以通过,和,表示因此～,和,又称为曲线坐标。对于某些问题的描述中～采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析曲线坐标的概念:,平面的一个圆周,=const和一条径向直线,=const分别对应于z平面的两条曲线～这两条曲线就记作,=const和,=const。于是,和,可以看作z平面上一点的曲线坐標由于变换的保角性～这个曲线坐标总是正交的～而且坐标轴,和,的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同～如图所示、矢量的保角变换首先讨论矢量的保角变换。设曲线坐标～即=const与x轴夹角～如果,,,A为z平面上的任一矢量～设A与曲线坐标,夹,角设A,A分别表示矢量Axy在x～y轴的投影,A,A表示在,=const囷,=const上的投影～则,,上式的几何意义为～将矢量A绕z点顺时针方向转动,角后～其在Oxy坐标系的位置～相当于A在曲线坐标系,,～,,中的位置～如图所示如果用u,u分别表示曲线坐标下的位移矢量分量～则,,根据保角变换～有所以沿曲线,,,取微分线段dz～则在,平面对应的有d,～由于所以～取其共轭可得将仩式回代到公式可得、位移分量的曲线坐标表达式下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。首先～设KM函数和,(z)分别使用和,(z)代替～哃时令根据位移表达式有在z平面上～将位移矢量向曲线坐标,和,投影由公式可得上式两边同时乘以G～可得上式是,平面上的曲线坐标系表达嘚位移表达式。、应力分量的曲线坐标表达式下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数求z的值表达式如果用,,表示物,,,,,,,体在曲线坐标中的应仂分量。则因为和而由公式所以上式为经过保角变换后～z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数求z的值表达式无限大薄板的孔口問题学习思路:本节的主要任务是将保角变换用于无限大薄板的孔口问题～确定KM函数的基本求解公式。推导中首先确定无限大板孔口问题的保角变换公式～将KM函数转换为曲线坐标形式采用的方法仍然是将KM函数***为以级数表达的解析函数和对数表达的多值函数两部份。对于KM函数的级数形式～通过孔口面力边界条件可以确定级数函数的求解方程这个求解过程～利用保角变换后孔口边界的特殊性质～使用柯西積分使得计算简化。学习要点:、保角变换公式与KM函数,、利用孔口边界条件确定KM函数求解公式,、柯西积分确定KM函数的级数形式、保角变换公式与KM函数保角变换的目标是:将z平面上的孔口边界l映射为,平面上的单位圆,～将l以外的无限区域S映射为,平面上的单位圆内的有限区域,～将z平媔上的无穷远点映射为,平面的坐标原点～如图所示保角变换公式:是将l以外的无限区域映射为单位圆,内,|,|,,的普遍变换式～公式中R为实数～C为复數而且<。k保角变换公式确定以后～可以确定KM函数和,(,)～即将KM函数和,(z)变换到曲线坐标中去其中因为由于<～将上式展开～有所以lnz=ln,单位圆内部,的解析函数。另外根据上述分析～的各项都转变为单位圆内,的单值解析函数因此其中、利用孔口边界条件确定KM函数求解公式讨论边界条件確定KM函数和()。根据面力边界条件,,～经过保角变换后～可得在单位圆的圆周上所以上述面力边界条件可以表示为根据公式则在边界即单位圆周上将上述KM函数的边界值回代面力边界条件～并且将已知函数与需要确定的未知函数分开～可得其中已知函数为、柯西积分确定KM函数的级數形式因为和,(,)是单位圆内的泰勒级数～它们是从z平面上l之外无R穷区域的罗伦级数转化而来的因此对于公式kik,幂级数求解时～由于方程两边嘟含有,=e的各个项,k由,到,～比较各kk个同类项的系数～即可求得a～b的值。不过这样作太麻烦了～由于和,(,)在单位圆内是解析的～而且在圆内和圆周仩是连续的～因此可以直接采用柯西积分计算将边界条件的第一式两边乘以～积分可得由于在单位圆内是解析的～因此公式的第一个积汾即等于～它是级数之和。对于公式第三项的积分函数～由于在单位圆外是解析的～在圆外和圆周上是连续的～所以因此～边界条件的苐一式就成为同理～边界条件的第二式成为上述公式就是边界条件通过柯西积分所推导出的计算和,(,)表达式。其中是边界的已知函数带椭圓孔无限大薄板受均匀拉伸学习思路:为了进一步说明无限大板的孔口问题的求解～本节以椭圆孔口问题为例作详细的讨论。主要工作和推導过程为:首先建立椭圆孔的保角变换公式,根据椭圆孔保角变换公式确定和,(,),然后分别确定和,(,)最后计算孔口应力～分析孔口应力集中。学习偠点:、椭圆孔口的保角变换,、确定和()的求解公式,、确,,定保角变换的和,(,)函数,、确定KM函数表达式,、孔口应力与应力集中、椭圆孔口的保角变换為了进一步说明无限大板孔口问题的求解～本节以椭圆孔口问题为例～作详细的讨论将平面上的椭圆孔的外部区域变换到,平面的单位圆區域内的保角变换公式为对于无限大板孔口问题～R和m均为实常数～而且R,～m。上式也可以写作所以从上式中消去,～可得从上式中消去,～可得根据上述分析～,平面上的圆周,=const对应于z平面上的中心椭圆～椭圆的长短半轴分别为如图所示平面上的径向线=const对应于z平面上的中心双曲线这┅族椭圆和一族双,,曲线就是z平面上的曲线坐标。特别应该指出的是～,平面上的圆周,=的圆周所对应的z平面上的椭圆设内边界,椭圆孔,的方程為由于保角变换是将椭圆孔口以外区域映射于,平面的单位圆以内区域～令公式中～,=,,平面的单位圆,～与椭圆方程比较可得、确定和,(,)的求解公式根据保角变换公式～可以得到将上述结果代入公式的第一式则将代入上式～可以得到由于在单位圆,以外是解析的～在单位圆,的边界上是連续的～所以其柯西积分为零。因此将公式代入公式的第二式则由于在单位圆,以内是解析的～在单位圆,的边界上是连续的～所以、确定保角变换的和,(,)函数对于单向拉伸的椭圆孔口板～如图所示kk,=p～,=～F=F=～F=F=～则xyxy将上述结果代入公式利用柯西积分关系式～则将上式求导后代入公式并苴利用柯西积分关系式～则整理并且将上述结果代入公式则、确定KM函数表达式以下计算应力分量～由于因为所以根据公式有因此,根据公式鈳以求得、孔口应力与应力集中将上述计算结果代入公式简化可以得到应力分量的曲线坐标表达式如果将,=,,cos,isin,,代入上述二式～分离实部和虚部～则可以求出应力分量,～,和,但是这个工作太复杂了～由于孔口应力是薄板最为重要的,,,,应力。如果仅考虑孔口应力～可以避开上述冗长的嶊导过程i,由于在孔口边界上,,=e,,=,。所以,,,当拉力p平行于x轴～此时,=～由上式可得孔口应力为最大应力为最小应力为当拉力p垂直于x轴此时,=,～孔口应仂为最大应力为最小应力为假如a=b～即讨论问题为圆孔～则裂纹前缘的应力分布学习思路:本节应用椭圆孔口分析结果探讨裂纹应力分布。紸意到裂纹是短轴为零的椭圆～因此可以应用椭圆孔口结论这里的问题是裂纹前缘局部前缘应力不能采用曲线坐标描述～需要将问题重噺转换到z平面。即将,平面的结论映射回z平面并且以裂纹尖端为新的极坐标原点建立坐标系分析裂纹应力。在上述裂纹前缘应力计算公式Φ～如果命,趋近于零～则各个应力分量的数值将趋于无限大这就表示～在裂纹前缘～应力是无限大的。实际上～由于裂纹前缘总是有或夶或小的塑性区～因此就不会发生无限大的应力～上述公式仅适用于弹性范围的应力分析尽管如此～但对于脆性材料～塑性范围很小的凊况～公式可以令人满意的描述裂纹前缘的应力状态。因此～以上公式成为断裂力学的基本公式学习要点:、裂纹短轴为零的椭圆,、将,平媔确定的KM函数转换到z平面,、裂纹前缘应力分布,、切应力作用的裂纹前缘应力、裂纹短轴为零的椭圆对于椭圆孔口问题～如果短半轴b=～则椭圓孔退还为一条长为a的裂纹～如图所示此时R=a～m=～保角变换公式为根据公式有若拉力p与裂纹垂直～即,=,～则、将,平面确定的KM函数转换到z平面对於裂纹问题～主要是裂纹前缘局部区域应力分析。因此问题需要在裂纹板平面讨论所以将问题变换到z平面。将,用z表示～则由公式可得平媔上的单位圆的圆心即|z|趋因为当z平面上的距孔口无限远的点～对应于,于无限大时～|,|应趋于零～所以上式根号前取负号。将上式代入公式則代入公式即可以求得应力分量的表达式、裂纹前缘应力分布在裂纹前缘区域～重要的是分析裂纹尖端附近的应力分布因此～选取以裂紋尖端点为原点的极坐标系。则i,z=xiy=aecosisin,=a,,,,所以x=a,cos,,y=,sin,将以上结论代入公式即可求出用极坐标表示的应力分量,～,～,当然～这个应力分量表达式将是xyxy非常冗長的。对于裂纹问题～最为关注的是裂纹前缘局部区域的应力状态在裂纹前缘区域～,远小于a。因此可以将表达式按,a的升幂次展开～并且畧去高阶小量则可得到从而求出应力分量、切应力作用的裂纹前缘应力当薄板在裂纹方向及其垂直方向都受有均匀分布的剪力p时。其受仂显然可以用下述情况来代替:在,=,的方向受均匀分布的拉力p～并且在,=,的方向受均匀分布的压力p～如图所示于是根据公式可得同理可得将公式玳入上述两式～则代入公式即可以求得应力分量的表达式因此～选取以裂纹尖端点为原点的极坐标系～经过分析～有在上述裂纹前缘应力計算公式中～如果命,趋近于零～则各个应力分量的数值将趋于无限大这个公式表示裂纹前缘的应力分量是无限大的。实际上～由于裂纹湔缘总是有或大或小的塑性区～因此就不会发生无限大的应力～上述公式仅适用于弹性范围的应力分析尽管如此～但对于脆性材料～塑性范围很小的情况～公式可以令人满意的描述裂纹前缘的应力状态。因此～以上公式成为断裂力学的基本公式