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& （江苏专用）2017届高考数学理一轮复习同步集训：第12章 概率、随机变量及其概率分布 12.2 古典概型
（江苏专用）2017届高考数学理一轮复习同步集训：第12章 概率、随机变量及其概率分布 12.2 古典概型
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资料概述与简介
（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.2 古典概型 理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)所有的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的．
3．如果1试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　)
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　×　)
(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　√　)
(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(　√　)
(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(　√　)
1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．
解析　基本事件的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，
所以所求概率P＝＝.
2．(2014?陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.
3．(2015?课标全国Ⅰ改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．
解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.
4．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．
解析　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P＝1－＝.
5．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．
解析　从6个数字中任取2个数字的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是.
题型一　基本事件与古典概型的判断
例1　袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，
又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．
思维升华　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点----有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．
　下列试验中，是古典概型的个数为__________．
①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；
③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．
解析　①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，
所以不是古典概型．
②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型．
③符合古典概型的特点，是古典概型问题．
题型二　古典概型的求法
例2　(1)(2015?广东)袋***有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为__________．
解析　从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.
(2)(2015?江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解析　基本事件共有C＝6种，
设取出两只球颜色不同为事件A.
A包含的基本事件有CC＋CC＝5种．
(3)(2014?四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解　①由题意知，(a，b，c)所有的可能为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
②设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
1．本例(2)中，将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．
解　基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，
所以P(A)＝＝.
2．本例(2)中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
解　基本事件数为CC＝16种，
颜色相同的事件数：CC＋CC＝6种，
所求概率为＝.
思维升华　求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
　将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．
解　由题意，先后抛掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为.
∵事件包含的基本事件数m＝3×3＝9.
∴P()＝＝，则P(B)＝1－P()＝，
因此，两数中至少有一个奇数的概率为.
(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”．
又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种．
∴P(C)＝＝，
从而P()＝1－P(C)＝1－＝.
∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率为.
题型三　古典概型与统计的综合应用
例3　从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知体重的平均值为________ kg；若要从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________．
***　64.5　
解析　由频率分布直方图可知，体重在[40,50)内的男生人数为0.005×10×100＝5，同理，体重在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]内的人数分别为35,30,20,10，所以体重的平均值为
＝64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内选取的人数分别为12×＝6,12×＝4,12×＝2，则两人体重不在同一组内的概率为＝.
思维升华　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．
　(2014?山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品***抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
六审细节更完善
典例　(14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n (1)基本事件为取两个球
↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)
把取两个球的所有结果列举出来
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
↓两球编号之和不大于4
(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)
{1,2}，{1,3}
↓利用古典概型概率公式求解
(2)两球分两次取，且有放回
↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)
基本事件的总数可用列举法表示
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)
↓(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)
n ↓(将复杂问题转化为简单问题)
计算n≥m＋2的概率
n≥m＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)
↓注意细节，P1＝是n≥m＋2的概率，需转化为其对立事件的概率
n 解　(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3},2个．因此所求事件的概率P＝＝.[6分]
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[8分]
又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.[12分]
故满足条件n 1－P1＝1－＝.[14分]
温馨提醒　(1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4，即两球编号之和小于或等于4等；第(2)问，有先后顺序．
(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将求事件n90°的概率是_________．
解析　∵(m，n)?(－1,1)＝－m＋nn.
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
5．如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是________．
解析　从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C?C?C＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝.
6．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是________．
解析　语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A＝120种摆放方法．
故所求概率为1－＝.
7．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．
解析　由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.
若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.
所以基本事件共有8种．
又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为.
8．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.
解析　1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8……依次列出m的可能的值，知7出现次数最多．
9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
解　(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．
a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，
所以事件a⊥b的概率为＝.
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，
共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种，其概率为＝.
10．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率．
解　(1)由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×＝1.
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)记“抽到小学、中学各一所”为事件A，
则事件A共有基本事件m＝C?C＝6(种)抽法，
又从6所学校任抽取2所有n＝C＝15(种)抽法．
因此，所求事件的概率P＝＝＝.
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
11．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．
解析　如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为＝.
12．在二项式(＋)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为________．
解析　注意到二项式(＋)n的展开式的通项是Tr＋1＝C()n－r()r依题意有C＋C2－2＝2C2－1＝n，即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，因此n＝8，因为二项式(＋)8的展开式的通项是，其展开式中的有理项共有3项，所以所求的概率等于＝.
13．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．
解析　基本事件数为6×6＝36，
编号之和为4的有：10种，
所求概率为＝.
14．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．
解　(1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．
甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.因为<，所以此游戏不公平．
15．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求取球2次即终止的概率；
(3)求甲取到白球的概率．
解　(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C.
由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P＝＝，
则n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球．
(2)设事件A为“取球2次即终止”．取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，
P(A)＝＝＝.
(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．
所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋＋＝.
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(2005　黑龙江)如图所示，有6张纸牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是________．
***：8/15解析：
解　从中任摸两张共有种不同结果，其中点数之和为奇数的结果4×2=8种，故点数之和为奇数的概率为．
科目：初中数学
(2005　黑龙江)在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5m，在地面上的影长为2m，同时一古塔在地面上的影长为40m，则古塔高为
A．60mB．40m
C．30mD．25m
科目：初中数学
(2005　黑龙江)已知抛物线经过点(1，2)与(－1，4)，则a＋c的值是________．
科目：初中数学
(2005　黑龙江)甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有
A．3种B．4种C．6种D．12种
科目：初中数学
(2005　黑龙江)为了了解业余射击队队员的射击成绩，对某次射击比赛中每一名队员的平均成绩(单位：环，环数为整数)进行了统计，分别绘制了如下统计表和频率分布直方图，请你根据统计表和频率分布直方图(图)回答下列问题：
(1)参加这次射击比赛的队员有多少名？
(2)这次射击比赛平均成绩的中位数落在频率分布直方图的哪个小组内？
(3)这次射击比赛平均成绩的众数落在频率分布直方图的哪个小组内？
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