这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~如图，D、E、F分别为等边△ABC中边BC、AC、AB的中点，M是BC边上一动点（不与D点重合），△EMG是等边三角形，连接CG、DG．下列结论：①$S_{四边形AFME}$=$\dfrac{1}{2}$$S_{\Delta ABC}$；&②△FBM∽△MCG；③CG∥AB；&④DG=FM．其中结论正确的是（　　）
已用时：00:00:0【解答】解：
（1）PM=PN，PM&PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，&ACB=&ECD=90&．
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，&EAC=&CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM，
∵&NPD=&EAC，&MPN=&BDC，&EAC+&BDC=90&，
∴&MPA+&NPC=90&，
∴&MPN=90&，
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
&ACB=&ECD=90&．
∴&ACB+&BCE=&ECD+&BCE．
∴&ACE=&BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，&CAE=&CBD．
又∵&AOC=&BOE，
&CAE=&CBD，
∴&BHO=&ACO=90&．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PM∥BD；
PN=AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴&MGE+&BHA=180&．
∴&MGE=90&．
∴&MPN=90&．
∴PM&PN．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（3）PM=kPN&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴&ACB=&ECD=90&．
∴&ACB+&BCE=&ECD+&BCE．
∴&ACE=&BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴=k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PN=AE．
∴PM=kPN．
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2013届高考历史一轮复习课时训练：第一单元考点1 夏商西周的政治制度和秦朝中央集权制度的形成（人教版）
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解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD　(2)四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形　(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形　 【点评】　在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法． [对应训练] 4．(2015?南京)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H. (1)求证：四边形EGFH是矩形； (2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路． 由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证?MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件_________________，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证______________，___________________，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，___________________，即可得证． FG平分∠CFE GE＝FH ∠GME＝∠FQH ∠GEF＝∠EFH (2)***不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证?MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE＝FH，∠GME＝∠FQH.故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，∠GEF＝∠EFH，即可得证　 22.不认真画图导致错误
试题　在△ABC的两边AB，AC上向形外作正方形ABEF，ACGH，过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于点M，求证：FM＝MH. 错解 证明：如图，∵四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形，∴AF＝AB，AH＝AC.又∵∠FAH＝∠BAC，∴△AFH≌△ABC，∴∠5＝∠2.∵∠3＋∠1＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠5.∵∠1＝∠4，∴∠4＝∠5.∴AM＝FM.同理，AM＝MH，故FM＝MH. 正解　 证明：分别过F，H画FK⊥MD，HL⊥MD，垂足为K，L.∵四边形ACGH是正方形，∴AC＝AH，∠CAH＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵AD⊥BC，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.又∵∠HLA＝∠ADC＝90°，∴△AHL≌△CAD，∴HL＝AD.同理：△AFK≌△BAD，∴FK＝AD，∴FK＝HL.又∵∠FMK＝∠HML，∠FKM＝∠HLM＝90°，∴△FMK≌△HML，∴FM＝MH
剖析　上述解法错在将∠BAC画成了直角(题中没有这个条件)，从而导致∠FAH，∠BAC和∠1，∠4分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误． * 第22讲　矩形、菱形与正方形 第五章　图形的性质(一) 1．矩形的概念、性质及判定
概念 有一个角是________的平行四边形叫矩形 性质 (1)矩形的四个角都是直角； (2)矩形的对角线______________________； (3)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有____条对称轴； 判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)______________是直角的四边形是矩形； (3)对角线___________的平行四边形是矩形 直角 互相平分且相等 2 三个角 相等 2．菱形的概念、性质及判定 概念 有一组邻边_________的平行四边形叫菱形 性质 (1)菱形的四条边都相等； (2)菱形的对角线___________________且每一条对角线都平分________________； (3)菱形既是_______对称图形，又是轴对称图形，有____条对称轴； (4)菱形的面积S＝____(a，b为对角线长) 判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)四条边都________的四边形是菱形； (3)对角线______________的平行四边形是菱形 相等 互相垂直平分 一组对角 中心 2 相等 互相垂直 3.正方形的概念、性质及判定 概念 四条边都相等，四个角都是直角的四边形 性质 (1)正方形的对边平行，四边都相等； (2)正方形的四个角都是直角； (3)对角线互相________________且相等，每条对角线平分一组对角； (4)面积S＝a2(a表示正方形的边长) 判定 (1)有一组_______相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； (2)有一组邻边相等的_______是正方形； (3)有一个角是直角的_______是正方形； (4)____________相等且互相垂直的平行四边形是正方形 垂直平分 邻边 矩形 菱形 对角线 1．一个防范 在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法． 2．三种联系 (1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)可判定为矩形． (2)平行四边形与菱形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形． (3)菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)． 3．选择、填空中小规律 1．(2015?沈阳)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是(　　) A．平行四边形
B．菱形 C．矩形
D．正方形 2．(2014?鞍山)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DE⊥BC于点E，则DE的长为(　　) A．2.4
D．6 B C 3．(2013?本溪)在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，AC，AF，则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有(　　) A．1个
D．4个 C A
5．(2015?朝阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为(　　) A．1或2
B．2或3 C．3或4
D．4或5 A 解析：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M.∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM＝B′M＝x，则AM＝7－x，又由折叠的性质知AB＝AB′＝5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到AM2＝AB′2－B′M2，即(7－x)2＝25－x2，解得x＝3或x＝4，则点B′到BC的距离为2或1　 C
7．(2015?丹东)在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____． 8．(2014?丹东)如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____． 20 9．(2015?鞍山)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E在线段BC上(点E不与点B，C重合)，过点E作EM⊥OB于点M，EN⊥OC于点N，则EM＋EN的值为___________． 10．(2015?盘锦)如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为__________． 11．(2015?朝阳)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是____．(只填写序号) ③ 证明：∵BD＝CD，DE＝DF，∴四边形BECF是平行四边形，当AB＝AC时，∵D是BC的中点，∴AF是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴平行四边形BECF是菱形　 12．(2014?葫芦岛)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D(不与点B重合)在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF. (1)求证：△AEF≌△BED. (2)若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形． 解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，又∵∠BED＝∠AEF，∴△AEF≌△BED(ASA)　(2)∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形　 13．(2015?铁岭)如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别在边CD，AB上． (1)若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长． 14．(2015?朝阳)问题：如图(1)，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝CB，∠DCE＝45°，试探究AD，DE，EB满足的等量关系． 【探究发现】　小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH＝90°，∠ECH＝∠ECB＋∠BCH＝∠ECB＋∠ACD＝45°. 根据“边角边”，可证△CEH≌___________，得EH＝ED. 在Rt△HBE中，由________定理，可得BH2＋EB2＝EH2，由BH＝AD，可得AD，DE，EB之间的等量关系是___________________． △CED 勾股 AD2＋EB2＝DE2 矩形
【例1】　(2015?内江)如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O. (1)求证：△ABD≌△BEC； (2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【点评】　利用平行线的相关性质找到对应角相等，再结合已知条件来证三角形全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便． [对应训练] 1．(本溪模拟)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE. 证明：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G点，可证：△CGB≌△CED，∴CG＝CE.又∵∠G＝∠A＝∠CEA＝90°，∴四边形CGAE是矩形，∴CG＝AE，∴CE＝AE
【例2】　(2015?巴中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD，BC分别交于点M和点N. (1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由； (2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长． 【点评】　菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． [对应训练] 2．(2015?甘南州)如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H. (1)求证：CF＝CH； (2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论． 正方形
【例3】　(朝阳模拟)如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于E，F两点，垂足为Q，过点E作EH⊥AB于点H. (1)求证：HF＝AP； (2)若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段EQ的长． 【点评】　正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点． [对应训练] 3．(2014?扬州)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE，FG相交于点H. (1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由； (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形． 解：(1)FG⊥ED.理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠GFE＋∠DEB＝90°，∴∠FHE＝90°，∴FG⊥ED　(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＋∠CBE＝180°，∴∠BCG＝90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形
特殊平行四边形综合题
【例4】　(沈阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE. (1)求证：CE＝AD； (2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． *
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