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已知,如图1,在正方形ABCD中,P是对角线AC上点,E在BC延长线上,且PE=PB1,求证DP垂直PE.2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其它不变,如图2,若角ABC=58度,求角DPE度数
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(1)证明：设CD与PE相交于O因为四边形ABCD是正方形所以CD=CB角DCP=角BCP角BCD=90度因为CP=CP所以三角形DCP和三角形BCP全等（SAS)所以角PDC=角PBC因为PB=PE所以角PBE=角PEC所以角PDC=角PEC因为角BCD+角DCE=180度所以角DCE=90度因为角PDC+角DPE+角POD=180度角DCE+角COE+角PEC=180度所以角DPE+角POD=角COE+角DCE因为角POD=角COE（对顶角相等）所以角DPE=角DCE所以角DPE=90度所以DP垂直PE设CD与PE相交于F因为四边形ABCD是菱形所以角PCD=角PCBCD=CBDC平行AB所以角ABC=角DCE因为CP=CP所以三角形PCD和三角形PCB全等（SAS)所以角PDC=角PBC因为PB=PE所以角PBC=角PEC所以角PDC=角PEC因为角PDC+角DPE+角PFD=180度角DCE+角CFE+角PEC=180度所以角DPF+角PFD=角DCE+角CFE因为角PFD=角CFE（对顶角相等）所以角DPJE=角DCE因为角ABC=58度所以角DCE=58度所以角DPE=58度
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扫描下载二维码> 【***带解析】（2013三明）如图（1），在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在B...
（2013三明）如图（1），在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE＝∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变，如图（2），如果∠ABC＝58°，那么∠DPE＝________度． 
（1）证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，
∵在△BCP和△DCP中，
∴△BCP≌△DCP（SAS）．
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP．
∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，
又∵∠1＝∠2（对顶角相等），
∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E，
考点分析：
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题型：解答题
难度：中等
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如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=______度．
机器皮蛋70号
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（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故***为：58．
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（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；（3）根据（2）的结论解答．
本题考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
考点点评：
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCP=∠DCP是解题的关键．
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