超好玩硬币游戏，你都会玩吗？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
超好玩硬币游戏，你都会玩吗？
怎么样赢硬币正反面的游戏？注定获胜的赌博
本文作者:方弦
出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。来几局三国杀？是个不错的提议，但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？死理性派想说的是，会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬币，随随便便就能玩一整天。不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，哦，前提是你得懂点数学。
在所有二人游戏中，最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了（好吧，在所有二人数学游戏中）。据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用硬币玩。
这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。
游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且数量相同的硬币，就能确保获胜。一个优势策略是，先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚硬币，这样的话，离胜利就不远了。
有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题，也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。
把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的，而如果没有正确地操作，一个安全的棋局就会变成不安全的。
如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这个棋局就是不安全的。
回到我们上面说的那个流行版本上，可以看到在初始状态，它的二进制表示如下图
可以看到，第 2 列之和为奇数，所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬币，第 1 行就变成了 1 ，从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。
把棋局转化成上面这个二进制表格，根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候，恐怕对手没那么宽容，让你不断画表格，在脑子中计算，一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了：在两行里留下同样多的硬币，总能赢。在此之后，让每行硬币数量保持相等就可以了。
尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究，它因此产生了很多变体。1910 年美国数学家穆尔就提出了一个，它规则与尼姆游戏相同，只不过玩家可以从不超过指定数 k 的任意多行里拿掉硬币。有趣的是，它同样可以通过二进制来分析，只要把安全棋局定义为：二进制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。
后选择一定赢的硬币游戏
对于粗心大意和无知的人来说，这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。
抛三次硬币看最后哪一面朝上，结果无非只有这 8 种：
正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
这个游戏的规则是，对手有优先选择权。首先对手在这 8 种组合中选一种作为他的组合，然后你选一组作为自己的组合。双方选定后，随便选一个人来连续抛硬币，直到他的或你的组合出现为止，谁的组合先出现谁就算赢。
这个游戏看上去没有什么问题，不管哪种组合，它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想，那他可就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，使自己的获胜概率至少提高到 2／3 !
如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合，这时候我们只要选择“反正正”，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？
如果前三次就抛出了“正正正”的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中：
……反正正正……
可以看到，当出现“反正正”的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。
你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信，来看看死理性派的
是如何颠覆你对世界的认识的吧。
硬币正反不一样
通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。
尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？
***是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。
这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为 （1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。
《明知其输而博赢的概率分析》
《科学美国人 趣味数学集锦之二》
你可能感兴趣
显示所有评论
全部评论(125)
机械电子工程、消费产品设计专业
真烦正。。。。表格里的
有机会玩玩看。
最流行的版本明明是第一行一个第二行两个第三行三个第四行四个。
智能科学专业
不好玩啊这些游戏。。。。。。
正在学概率论的飘过~~
我喜欢以前玩过的一个在纸上随机布点然后画三角形的游戏~
这玩法比死理性派的文章都难……
听没意思的…尤其是第一个，没法玩…
我还是乖乖上当受骗吧...
头脑简单的只有--闪...
硬币中的概率分析啊哈哈0 0
炮姐说：老娘一个硬币崩死你！
????硬???很多次，但是?是不是很清楚。。。感??里也??清啊= =|至少我是?看懂。。。??是不是先手的人可以必?啊？
好奇妙啊。明天糊弄别人去。
第一个不理解。害怕矩阵...
对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊
电脑游戏什么的在死理性派面前都弱爆了。。。
小狡猾阿，挺好玩的！
给水排水专业
我还是比较喜欢用硬币变小魔术哄女生的男生…而不是玩什么该死的数学游戏…（我要被追打了么）
很不错，可以骗妹纸啦~~~
引用chiefoforc的回应：对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊是的。谢谢。已更正。
有意思，哈哈……
正反0.....
我经常用硬币的铸造年份来演示排序。。。我这样学会了快速排序和归并排序铸造年份不知道？硬币正面最下方（指新式硬币）的4位数字
显示所有评论
(C)2017果壳网&&&&京ICP证100430号&&&&京网文[-239号&&&&新出发京零字东150005号&&&&
违法和不良信息举报邮箱：&&&&举报***：您还可以使用以下方式登录
当前位置：&>&&>& > 两人在家有什么好玩的？
好玩的两人游戏 两人在家有什么好玩的？
相关解答一：有没有什么两人在家玩刺激游戏 啪啪啪！！！！！！！相关解答二：夫妻两人在家能玩什么 小游戏 4399有俩人一起玩的街机，很好玩的，还能联络感情夜深了就玩XXO就行相关解答三：两人麻将怎么玩？ 跟四人麻将胡法一样，但有许多新的番种比如：百万石、红孔雀、东北新干线 牌里只能有万子牌和番子两类牌相关解答四：在家有什么好玩的两人游戏，不是电脑游戏 在家有什么好玩的两人游戏，不是电脑游戏届堡谈策匪说驳五黑船锦骆撇叛乐作香周渣迹贯炉呀妨鸣我想我们会在一起的我觉得自己很幸福，我不再是一常孤独流浪的鱼，我有岸可度，岸的一端你在那。相关解答五：适合两人在家玩的游戏(两个女孩)12-------15 叠叠乐啦~！UNO啦~！真心话大冒险啦~！都可以啊.............相关解答六：大家推荐一个适合两人玩的桌游吧？ 两人玩的，首先推荐你玩【开膛常杰克】专属2人的侦探类推理游戏；最近很火，正在玩的【暗杀神】也非常适合2人玩，他是款2到4人的游戏，轻策略的，上手很容易，稍微贵点点，不过很不错的一款；喜欢简单欢乐的话【德国心脏病】【卡卡颂】【车票之旅】【步步为营】这些都很不错的欢乐类桌游；个人比较喜欢策略点的，【酱爆市场】这款2人经营类的策略桌游挺不错的，你也可以了解一下；还有像【奥卡okko】【克苏鲁的召唤】【萨兰王法典】都可以看看。如果想购买的话给你推荐 淘宝店铺 合江亭桌游，老板挺厚道的，我买过啦，呵呵。祝你游戏愉快哦，记得选我哦。
PS：楼上说的 卡坦岛 确实是款很经典的策略桌游，但是需要3人以上才能玩。相关解答七：可以两人玩的好游戏 推荐： 《热血传奇》堪称网游玩家无人不晓的一代经典，分道士、战士、法师三个职业。 《传奇世界》由盛大公司自我研发的2D网游，和热血传奇类似，拥有道士战士法师三个职业，游戏非常平衡。 《辉煌》是一款以幻想大陆为背景的全3D网络游戏，采用全新图形技术，游戏画面可自由转换，3D视觉效果感炫目，情节丰富离奇。
《混乱冒险》在线游戏是一个以科幻为题材，内容叙述人类为寻求救援之地，而出发进行大移动，犹如叙事史诗般浩大的全3D多人在线游戏。
《街头篮球》中玩家自己作为队员直接参与比赛，每个玩家只能扮演一个队员，拥有多人互动的对战模式，精彩刺激的技术动作以及简单的操作。 很好玩的游戏，就是有些卡
《劲乐团》是韩国O2Media游戏公司开发的一款MMOMPG (Massive Multi Online Music Play Game) 游戏。它是世界上第一款以MP3音乐为游戏平台的休闲音乐游戏。
《劲舞团》玩过跳舞机么？劲舞团可以说是跳舞机的网络版，一起来展示自己吧！ "巨商"这款游戏并不以练功，打怪物为主轴。玩家以类似商人的角色，在各大陆间交易，"买低卖高"的商业行为来进行整个游戏。
《雷霆战队II》目前免费运营，玩家可以像玩CS那样在网络上与FPS玩家较量***法、团队意识。 《猎人MM》是一款Q版风格，面向女性玩家的宠物网络游戏。
《冒险岛》是由盛大免费运营的一款Q版网游，画风可爱，操作、任务系统都属上品。 《美丽世界》于日免费，是一款以现代都市为背景的3D网游。玩家可以在游戏里进行飚车、打架、打工挣钱等行为。 《猛将》是由久游网自主研发的第三人称45度角3D游戏。以三国题材为主线，游戏中用户将以普通武将的身份，参与到乱世风云之中。
《梦幻国度》是一款2D网游，画面风格清新、唯美，人物采用Q版造型卡通可爱。采用即时的战斗模式；拥有丰富的换装系统，人物的发型，衣服，武器都可以变更。 ……
3D网游： 《密传》是一款充满浓厚东方神话色彩的网络游戏。以印度神话为背景，以天龙八部的文化为主线。
《命运》是一款免费3D奇幻网络游戏，拥有细致而真实化的画面、宽广的世界和刺激的战斗系统。
《魔剑》欧美风格全3D网游，以“永无休止的战争”作为游戏的主旋律，倍受玩家推崇的游戏。
《跑跑卡丁车》是一款泡泡堂角色们登场的卡丁车竟速游戏。玩家可以在竟速模式中体验到刺激的漂移感觉，也可以体会到使用多样道具的乐趣。 《泡泡堂》是由盛大公司免费运营的一款Q版休闲网游，拥有极高的人气。 3D奇幻浪漫史诗网游 《骑士2.0》内测于2月25日开放,游戏界面、操作性、魔法光效、场景地图等等重新刻画加工
《骑士》于日开始免费，以全3D绘图技术制作，拥有细腻的人物设定、精致的自然环境、炫丽的魔法效果。
《热血江湖》采用新一代的3D引擎，营造了一个清新亮丽的江湖世界,拥有幽默生动的游戏元素、多样变化的物品装备，丰富的职业和灵活的成长方式。
《热血英豪》是由盛大运营的一款免费Q版网游，游戏采用类似于泡泡堂的游戏大厅和开房间方式进行战斗。
《日月传说》山东省自主研发的首款网游，有剑宗，气宗，魔宗三个派别。 绿色休闲网络游戏 《盛大富翁》,是一款以掷骰子、买土地等各种手段，使对手破产，自己胜利的一款休闲游戏
《丝路传说》以丝绸之路为背景，是一款结合了中国、波斯、罗马等古代文明的3D幻想类网游，不存在固定的职业。所有玩家自由行动、自由成长。 《天方夜谭》是一款幻想卡通风格的MMORP......余下全文>>相关解答八：两人斗地主怎么玩 洗好牌,随便拿出一部分不用,只用剩下的就可以了.相关解答九：ps2鬼武者2好玩吗?????????可以两人玩的吗!! 鬼武者2还行吧..玩家评价褒贬不一。主人公是柳生十兵卫（松田优作的形象）。单人游戏，不能双人。操作上有点蛋疼，类似生化危机一样的行走方式，左右控制转身，前后控制前进后退，不熟悉生化危机系列的玩家，玩鬼武者2一开始挺蛋疼的。整体剧情还行吧..如果追求爽快感的话还是新鬼武者最好，而且可以双人，但必须是通关一次后才能双人。相关解答十：虫虫大作战怎么改改玩家两人对战时间对战时间? 这是无法改变的，除非你会编程弄一个破解器什么的百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆
欢迎转载：
推荐： 　　　& 有什么好玩的网页游戏吗？现在的页游都好傻X ...
查看: 12078|回复: 24
性别男&UID560124&帖子3271&主题287&精华2&龙晶16 &龙威0 &积分45&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分45&好友0&注册时间&
晚上搜了几个页游，结果全都是那种很二的，大家有好玩的页游吗？
山河犹在，国泰民安
性别女&UID531568&帖子6496&主题19&精华0&龙晶0 &龙威0 &积分8&阅读权限90&好友0&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分8&好友0&注册时间&
性别男&UID456204&帖子21762&主题0&精华0&龙晶17 &龙威0 &积分57&阅读权限150&好友150&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分57&好友150&注册时间&
WOD。本版最长的帖子之一
不傻X。不过对新手比较不友好
性别男&UID560124&帖子3271&主题287&精华2&龙晶16 &龙威0 &积分45&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分45&好友0&注册时间&
舰娘？什么？看不大懂，姑娘
山河犹在，国泰民安
性别女&UID531568&帖子6496&主题19&精华0&龙晶0 &龙威0 &积分8&阅读权限90&好友0&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分8&好友0&注册时间&
什么？看不大懂，姑娘
就是最近宅男们经常讨论的一款网页游戏
性别男&UID560124&帖子3271&主题287&精华2&龙晶16 &龙威0 &积分45&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分45&好友0&注册时间&
WOD。本版最长的帖子之一
不傻X。不过对新手比较不友好这个好像不是页游吧？
山河犹在，国泰民安
性别男&UID560124&帖子3271&主题287&精华2&龙晶16 &龙威0 &积分45&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分45&好友0&注册时间&
就是最近宅男们经常讨论的一款网页游戏这游戏好玩吗？
山河犹在，国泰民安
性别男&UID456204&帖子21762&主题0&精华0&龙晶17 &龙威0 &积分57&阅读权限150&好友150&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分57&好友150&注册时间&
这个好像不是页游吧？world of dungeons
地下城世界
性别女&UID531568&帖子6496&主题19&精华0&龙晶0 &龙威0 &积分8&阅读权限90&好友0&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分8&好友0&注册时间&
这游戏好玩吗？
讨论的比较火，估计还行吧，其他网页游戏可从来没见人讨论过。
性别男&UID560124&帖子3271&主题287&精华2&龙晶16 &龙威0 &积分45&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分45&好友0&注册时间&
world of dungeons
地下城世界多谢，我去试试
山河犹在，国泰民安
性别男&UID633689&帖子269&主题42&精华0&龙晶1 &龙威0 &积分2&阅读权限70&好友0&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分2&好友0&注册时间&
***战世界..空中网本来打算运营现在没声了，可以连美服
性别女&UID594419&帖子4649&主题148&精华2&龙晶3 &龙威0 &积分22&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分22&好友0&注册时间&
推荐冒险与挖矿！快来加咱好友让咱蹭个好友邀请！QQ空间的..
性别男&UID447824&帖子608&主题1&精华0&龙晶0 &龙威0 &积分2&阅读权限70&好友0&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分2&好友0&注册时间&
将神，一点都不二，虽然开局是傻瓜式教程，但是后面开始就需要用脑了
性别男&UID223854&帖子4671&主题25&精华0&龙晶6 &龙威0 &积分21&阅读权限100&好友4&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分21&好友4&注册时间&
什么？看不大懂，姑娘
这个是说的是舰队collection
11区的一个卡牌类页游，要翻墙，没有中文版，要略懂日语
性别男&UID384356&帖子697&主题0&精华0&龙晶0 &龙威0 &积分1&阅读权限50&好友0&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分1&好友0&注册时间&
舰娘玩的就是二次元废萌，人设和CV是最大的卖点。分不清二次元和三次元界限的玩家慎入。
优点是不黑钱，真良心。虽然最近的婚戒有点点黑钱的嫌疑。不过在下相信90%的天朝rmb玩家根本玩不到结婚。
缺点是很浪费时间和精力，过图捞船赌船看rp，有钱也没用。玩家互动极少。总的来说就是个网页的养成收集类游戏。
性别男&UID560124&帖子3271&主题287&精华2&龙晶16 &龙威0 &积分45&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分45&好友0&注册时间&
推荐冒险与挖矿！快来加咱好友让咱蹭个好友邀请！QQ空间的..我试试，怎么加
山河犹在，国泰民安
性别男&UID560124&帖子3271&主题287&精华2&龙晶16 &龙威0 &积分45&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分45&好友0&注册时间&
推荐冒险与挖矿！快来加咱好友让咱蹭个好友邀请！QQ空间的..美女，为什么我的QQ游戏没有搜到“冒险与挖矿”？是不是名字给错了？
山河犹在，国泰民安
性别女&UID594419&帖子4649&主题148&精华2&龙晶3 &龙威0 &积分22&阅读权限100&好友0&注册时间&最后登录&
精华2&龙威0 &积分22&好友0&注册时间&
我试试，怎么加QQ空间的应用
性别男&UID420340&帖子1553&主题70&精华0&龙晶-5 &龙威0 &积分-7&阅读权限0&好友0&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分-7&好友0&注册时间&
仙侠道,很有中国风的回合制页游.
一方晴朗 朋友两三
只闻花香 不谈喜悲
喝茶读书 不争朝夕
性别男&UID21108&帖子2787&主题391&精华0&龙晶0 &龙威0 &积分4&阅读权限70&好友9&注册时间&最后登录&
精华0&龙威0 &积分4&好友9&注册时间&
舰娘玩的就是二次元废萌，人设和CV是最大的卖点。分不清二次元和三次元界限的玩家慎入。
优点是不黑钱，真良心。虽然最近的婚戒有点点黑钱 ...
开放注册了吗？没抢到号，好久没关注了
Powered by