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大家好，我是周晓林，来自温州市鹿城区教师培训和科研中心，是朱乐平名师工作站“一课研究”团队第二组组员，很高兴能在“一课研究”微信平台上与您相遇。
本期内容有哪些
（1）听一听：《作为教学任务的数学》第六章的内容P102-111
（2）读一读：学生应通过真正的再创造来学习
（3）做一做：记一记
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现成的数学与做出来的数学
数学、语言、艺术这些词都有双重意义，艺术最明显，一种意思表示历史学家所研究的完成了的艺术，另一种意思表示艺术家所运用的艺术。关于语言的双重意义似乎不太明显，其实语言学家还是很强调的。关于数学，每个数学家都知道（至少无意识地），除了现成的数学以外，还存在一种作为活动的数学。但是这个事实几乎从不强调，非数学家更是从未意识到。
现代数学通常只作为一个现成的产品来分析，后面再附上一个形式的综合，结果就成为现成的数学。像罗素与怀特黑德所写的“数学原理”给我们的唯一印象就是，数学是一个合理的活动，是一串定理的排列，意思是，证明定理87时，允许使用定理43，但不能使用定理141。这就像铁板钉钉子一样，是一个死的体系，其中所有的句子都是命题，既没有问题，也没有课题，甚至缺少可以形成问题与课題的语言，即使语言分析学家也难以从语言表达的静态解释中找出矛盾。事实是数学一被创造出来，它就形成了一种清晰的形式表达，成为一个现成的产品而无法摆脱。当然，真正的数学家从不尊重他人的这种现成的数学，以我为例，阅读数学论文，从来也不是从第一个字读到最后一个宇；我从结果开始，先评价它的展示方式是否简洁，再考虑它的正确性；如果无法确信，就从论文中找出一些关键之处，从中可以看出它是如何被证明的；如果再不行，就得找出一些引理，以便由它导出主要定理，或者甚至需要仔细看一下某些证明，必要时再回头去看前面的根据，直到最终用我自己的方法证实了结果，而在我掌握了所有关系以后，也许再系统地通读论文。其他人几乎也采用同样方式。也许有人可以一页页、一行行、一个个字地系统读论文，这样做反映出一种很强的思维训练，这并非每个人的特性。我想—般规律都是采取原始调查的方式，把旁人的论文作为一种做出来的数学，想由自己来再创造，当然这比自己写论文要容易一些，因为必要时你可以从论文里“剽窃”所需要的东西。
一方面要将数学作为一个现成的产品提供给世界，另一方面又要将现成的数学转换成做出来的数学，这是否会成为一种矫揉造作的现象？其实，没有人能够理解现成的作品，它并非那么简单。我们常常以做出来的方式掩护现成的数学，例如以“找到一个V代替“存在一个Y”,以“从p推出q”代替“p后跟随q”，还常常喜欢用“作一个代入……”和“我们将表明……”这类话。虽然这些短语很肤浅，但却表明了我们无法保持现成的数学的虛构性。当然也不应该忘总有一些天才的数学家，他能以一定的书写形式，使读者看到了他所创造的数学的假象，他们的作品完美得使你可以从第一个字读到最后一个字。以前有不少这类好书，不知今天是否仍然存在这类文献。
近几个世纪以来，重心已从现成的科学转向活动的科学，从学者转向研究者。这个过程自然也影响到学校中学科的形成与分离，特别是学校中的数学，它与真正的数学大不相同。本世纪初就注意到数学教育中存在一个两次断裂的现象，那就是对数学教师的培训是不连续的，当他从中学升入大学时，已将中学数学忘记，而在几年后当他回到中学去作一名教师时，又将忘记大学数学，而将几年前断掉的线再接起来。这个矛盾本质上还是现成的科学与作为活动的科学之间的对立，教数学当然应该适合学生的水平，但也不能完全脱离了真正的数学，成了一个不够严密的算法的集合，成了一个虚构的童话。一个世纪以来学校数学的独立发展已经进入了死胡同，既不引导到较高等的数学，又不引导它应用于生活。就荷兰而言，我可以断定这个结论适用于三分之二的题材与全部的方法。
造成这一现状的原因，是由于以下两种不同的特性相撞的结果。首先就題材而言，教的是数学，那是一个演绎体系，是现成的科学。其次就教学法而言，又必须激励学生主动的学习。将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是作问题。这不可能包含真正的数学，留作问题的只是一种模仿的数学，虽然已经精心培育了一个世纪，但其最低水平就是将一般陈述中的参数代以特殊值或是至多思考一下理论的模式。于是学生离校时对数学留下一个不正常的形象，那是多年来的教育所造成的。
我们不能让历史的发展再重蹈覆辙。这种担心不是无根据的，历史早就在重复，新的数学一旦进入中学，就带着一长串附属的问题与传统数学的问题相对抗。理由是相同的——面对现成的数学，学生唯一能做的事就是复制。所以要使学生活动，就必须以所谓的应用来补充，从理论上发展或是简化，或是对一般参数作简单代入。
希望学生能开展活动，不仅由于教学法的理由，也出于对学校体制的考虑。在各类教育中主要的一个问题是教师如何测试学生的进展，单纯让学生鹦鹉学舌地复述所学的现成的数学，当然不能令人满意。于是问題就演变为练习，而测验材料最终成了教学的目的。一个世纪以来的考试问题证实了长期以来所教的沉闷的模仿数学，不是有效的数学，而是无价值的数学。
随着数学的重要性日益增强，教学问题的迫切性也随着增长。如果数学是被应用的，那就应该教与学应用的数学，可是应用常被误解为在一般理论中的参数代之以数值。我认为数学的每次应用都是重新创造，这不可能通过学习现成的数学来培养。当然操练性的算法还是不可缺少的，但仅限于此不能创造教应用数学的机会，这种所谓的应用数学缺少了数学的灵活性。传统中学数学的最严重的缺点就是无用，让我们使新的数学变得更为有用。
对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造来学习数学，而且我们希望这是真正的再创造，而不是因袭和仿效。
我相信现在大多数人会同意，不应该将教的内容作为现成的产品强加给学生。今天大多数的教育工作者都将教学看作进入某种活动的开端。科学的顶峰总是创造性的发明，可是目前教学的水平居然还低于教师的水平。学习过程必须含有直接创造的侧面，即并非客观意义的创造而是主观意义上的创造，即从学生的观点看是创造。通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得者，理解得更好也更容易保持。我不知道这个课题是否经过正式测试，但是许多迹象表明，这是可能的。前面提到过，语言和数学的静态解释将教的内容作为现成的产品加以分析，在教学过程中就将分析的结果以综合方式提供给学生。结果就是，语言被作为是语音、词类、主句、从句的一个综合体来教，而数学就是根据预先建造好的演绎体系来教。这种做法非常适应语言与数学的静态解释，但即使按照苏格拉底方法，也至少要让学生参与基本分析，以便让他们了解这些分析的砖块最终究竟建造什么样的大厘。然而这种教学与语言和数学作为一种活动的解释还是有距离的。
一种活动的分析
作为一种活动的解释，首先要求将教的内容作为一种活动来分析，在这方面语言教学比数学教学做得更好一些——也许从某些侧面看语言教学比数学教学更为容易，很少有人将数学作为一种活动来分析。也许由于对现成的数学所作的分析质量很高，且为传统的数学原理以及布尔巴基等一系列教科书的体系所公认。只有波利亚的书作为对做出来的数学进行分析的少数事例之一。事实上，每一位好的教师至少有一次或者甚至很多次想用思想实验的方法来作这种分析，任何人只要注意观察，就会找到很多这种例子。
将数学作为一种活动特别是作为一种学的活动而进行系统的分析，这方面工作做得很少。皮亚杰及其学派是否做了这种分析？我认为没有。皮亚杰的研究不能与真正的数学解释相联系。虽然他给实验对象的任务是数学，但他几乎从未测试过这些对象是否理解他阐述任务时的语言，因此其研究目的与其说是数学内容还不如说是语言。在另一些情况下，与其说是测试儿童对数学问题的反应，还不如说是实验指导者在测试儿童如何驾驭并解决比较复杂的问题，或是你能否以错误的暗示来哄骗儿童。更为忧虑的是，有些实验对象可能徘徊于对错两种回答之间，实验指导者却诱使他选择错的一个。更糟的是实验指导者明显地将对的***标为错的。旦不说这些严重的错误，还有更为深刻的理由可以说明为什么皮亚杰这些孤立的实验结构不能揭示学习数学的本质特性，这将在附录中叙述。
上面这些就是今天与你分享的内容。让我们回顾一下主要的观点：
学一个活动的最好方法是做；想与做是不可割裂的；学生应通过真正的再创造来学习，而不是因袭和仿效；要将数学作为一种学的活动进行系统分析。
做一做，记一记
1. 对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过（ ）来学习数学。
2. 应将数学作为一种（ ）的活动而进行系统的分析。
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审核人：蒋高崎 潘慧敏
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