第八章．群；2.证明：群G是交换群的充要条件是对任意a,b?；(ab)2?abab?aabb?a2b2；?充分性：若对任意a,b?G，有(ab)2?a2；ba?ebae?a?1(ab)2b?1?a?1a；因此群G是交换群；4.设G是n阶有限群；证明：任取a?G，考虑a生成的循环群a；qnqkk从而存在正整数k，使得n?qk；6.设G是一个群；证明：首先证明c
第八章．群 2. 证明：群G是交换群的充要条件是对任意a,b?G，有(ab)2?a2b2。 证明：?必要性：若G是交换群，则对任意a,b?G，有ab?ba，从而 (ab)2?abab?aabb?a2b2。 ?充分性：若对任意a,b?G，有(ab)2?a2b2。那么 ba?ebae?a?1(ab)2b?1?a?1a2b2b?1?eabe?ab。 因此群G是交换群。
4. 设G是n阶有限群。证明：对任意元a?G，有a?e。 证明：任取a?G，考虑a生成的循环群a。不妨设a?q。根据拉格朗日定理，有q|n，qnqkk从而存在正整数k，使得n?qk。因为a?e（否则a?q），所以a?(a)?e?e。 n 6. 设G是一个群。记cent(G)?{a?G|(?b?G)ab?ba}。证明：cent(G)是G的正规子群。 证明：首先证明cent(G)是G的子群。任取a1,a2?cent(G)，b?G。计算 ?1?1?1?1?1ba1a2?a1ba2?a1(b?1)?1a2?a1(a2b?1)?1?a1(b?1a2)?1?a1a2(b?1)?1?a1a2b。 ?1因此，a1a2?cent(G)，从而cent(G)是G的子群。 1再证明cent(G)是G的正规子群。任取a?G, x?a centG(?)a 。那么存在y?centG(，使得)x?aya?1。由y的交换性，有x?aya?1?aa?1y?ey?y?cent(G)。从而a cent(G) a 7. 设a是群G的一个元素。证明：映射?:x?axa是G到自身的自同构。 证明：（1）任取x,y?G。计算 ?1?1?cent(G)，cent(G)是G的正规子群。 ?(xy)?a(xy)a?1?axeya?1?axa?1aya?1??(x)?(y)
因此?是同态映射。 （2）若x,y?G，且?(x)??(y)。那么axa?1?aya?1，从而 x?a?1axa?1a?a?1aya?1a?y， 因此?是单射。 （3）任取c?G。由于?(a?1ca)?a(a?1ca)a?1?ece?c，故?是满射。 综上所述，映射?:x?axa是G到自身的自同构。
8. 设H是群G的子群。在G中定义关系R:aRb?ba?H。证明： （i）R是等价关系。 （ii）aRb的充要条件是aH?bH。 证明：（i）任取a?G。既然H是群G的子群，那么e?H。因此aa?e?H，这说明aRa，即R满足自反性。 取a,b?G满足aRb。那么ba?H。根据H是群G的子群以及逆元的性质，我们有?1?1?1?1a?1b?(b?1a)?1?H，这说明bRa，即R满足对称性。 取a,b,c?G满足aRb，bRc。那么ba?H，cb?H。根据H是群G的子群，我们有ca?(cb)(ba)?H。 从而aRc成立，即R满足传递性。 综上所述R是等价关系。 （ii）即要证明：ba?H?aH?bH。 ?1?1?1?1?1?1?充分性：设aH?bH，则a?ae?aH?bH，于是存在h?H使得a?bh，左右两边同乘b，得ba?bbh?h?H。 ?1?1?1?必要性：如果b?1a?H。对任意c?aH，存在h2?H使得c?ah2。进而， c?b(b?1a)h2?bh1h2?bH， 因此，aH?bH。
同样，对任意c?bH，存在h3?H使得c?bh3，进而c?a(ba)h3?ah1h2?aH。因此bH?aH，故aH?bH。
2007年试题
1 证明：如果a是整数，则a?a能被3整除。 32 用广义欧几里德算法求最大公因子() 3 设m是一个正整数，a?b(modm)，如果d|m，证明：a?b(modd)。 4 解方程987x?610(mod2668) ?x?2(mod3)?5 解方程组?x?1(mod5) ?x?1(mod7)?6 计算3模19的指数。 ?6?7 计算??的Legendre符号 ?53?8 证明：91是对基3的拟素数。 9 设f是群G到G?的一个同态，kerf??a|a?G,f(a)?e??，其中e?是G?的单位元。证明：kerf是G的子群。 10 设a是群G的一个元素。证明：映射?:x?axa?1是G到自身的自同构。
2007年试题*** 1 证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k，k?Z
当a=3k-1，k?Z
当a=3k+1，k?Z
所以a3-a能被3整除。
875=6*140+35
140=4*35 所以()=35
3. 因为d|m，所以存在整数m'使得m?dm?。又因为a?b(modm)，所以存在整数k使得a?b?mk。该式又可以写成a?b?d(m?k)。故a?b(modd)。 4. 987x?610(mod2668) 计算最大公因式(987,2668)=1，所以原同余式有解且只有一个解。利用广义欧几??2495(mod2668)。再写出同余里德除法，求同余式987x?1(mod2668)的解为x0??610*(mod2668)。 式987x?610(mod2668)的解为x0?610*x0 5 令m1?3,m2?5,m3?7， m?3*5*7?105，M1?5*7?35,M2?3*7?21,M3?3*5?15。 分别求解同余式Mi?Mi?1(modmi)（i=1,2,3） ??1，M3??1。故同余式的解为 得到M1??2，M2?M2*1?M3?M3*1(mod105)x?M1?M1*2?M2?2*35*2?1*21*1?1*15*1(mod105)?71(mod105) 6 解：因为?(19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算ad(mod12)
因为3≡3, 3≡9, 3≡8, 3≡7, 3≡-1, 2≡1(mod13)
所以3模19的指数为18； 7
1236918?6??2??3?????????53??53??53?(53 ?(?1)2?1)/8?53??(?1)(3?1)(53?1)/4?? ?3?2?2???1?1?????1?(?1)(3?1)/8?1?3?8 证明：因为91=13*7是奇合数，
又3=729≡1(mod91)
则3=3≡(3)≡1(mod91)
则91是对于基3的拟素数。
9 对任意a,b?kerf，有f(a)?e?,f(b)?e?，从而， 691-190615f(ab?1)?f(a)f(b?1)?f(a)f(b)?1?f(a)f(a)?1?e?。
因此，ab?1?kerf，kerf是群G的子群。 10 证明：（1）任取x,y?G。计算 ?(xy)?a(xy)a?1?axeya?1?axa?1aya?1??(x)?(y) 因此?是同态映射。 （2）若x,y?G，且?(x)??(y)。那么axa?1?aya?1，从而 x?a?1axa?1a?a?1aya?1a?y， 因此?是单射。 （3）任取c?G。由于?(a?1ca)?a(a?1ca)a?1?ece?c，故?是满射。 综上所述，映射?:x?axa是G到自身的自同构。
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