关于欧拉通路、欧拉回路的一些定义：

（1）经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路（起点和终点不一定要一样）。
（2）如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个），则为欧拉回路。
（3）具有欧拉回路的无向图G称为欧拉图。

D是一个有向图，D的基图（把D的有向边改为无向边）是连通的
（1）经过D的每条边一次并且仅一次的路径称为有向欧拉通路（起点和终点不一定一样）。
（2）如果有向欧拉通路是回路（起点和终点一样），那么称为有向欧拉通路。
（3）具有有向欧拉通路的有向图D称为有向欧拉图。

关于欧拉通路、欧拉回路的判定：

无向图G存在欧拉通路的充分必要条件：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的节点）或者无奇度结点。
推论1：当无向图G是有两个奇度的连通图时，G的欧拉通路必定以这两个结点为端点。
推论2：当无向图G是无奇度的连通图时，G必有欧拉回路。
推论3：无向图G存在欧拉回路的充分必要条件：G为无奇度结点的连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的节点）或者无奇度结点。

有向图D存在有向欧拉通路的充分必要条件：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等（情况1）；或者除了两个定点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中，一个顶点的出度与入度之差为1，另一个出度与入度只差为-1（情况2）。
推论（1）：情况1说明存在的是有向欧拉回路。
推论（2）：情况2说明存在的是有向欧拉通路，通路以出度与入度之差为1的顶点作为起点，以出度与入度之差为-1的顶点作为终点。
推论（3）：有向图D存在有向欧拉回路的充分必要条件：D的基图为连通图，并且所有顶点的出入与入度都相等。

摘 要 摘 要 早在公元1407年，Ph山PPeNaude写了一封信向b泊nhradEuler请教了一 个问题:，’一个正整数写成不同正整数的和一共有几种方法?，’这就是数学上产 生重大影响的Naude问题。 Eule讨瞬决了Naude问题，但是他并不因此而满足。Euler还证明了另外一 些关于分拆的结果。其中最著名的结果就是Euler定理:一个正整数的每个 不同部分各不相同的分拆个数等于该正整数的每个部分都为奇数的分拆的个 数。Euler定理在整个-q级数的研究领域中起着举足轻重的作用，并推动着组合 数学学科的发展。 本文主要研究了Euler定理和Euler五角数定理与-q级数相关联的一些结 果，给出了一个从古到今比较广泛的综述。首先，我们给出了一些基本的概念 和基本定理作为准备知识。其次，我们给出了Euler定理，并从不同的角度给出 了证明，我们还给出了Euler定理的应用和推广，其中有21世纪最新得到的一些 结果。接着，我们把Euler恒等式做了归纳总结。然后，我们讨论了Euler五角 数定理，给出了三种不同的证明方法，包括从即Ivesrte恒等式和Jacbo注元积 恒等式的推论得出Euler五角数定理。最后，我们研究了Euler五角数定理的应 用并讨论了Euler循环定理。