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如图，已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD = ∠CBD = 15°，E 为AD 延长线上的一点. 且 CE=CA.&(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC=DM. 求证：ME=BD.
题型：证明题难度：中档来源：同步题
解：(1)在等腰直角△ABC中，&&&&∵∠CAD=∠CBD= 15°，&&&&∴∠BAD=∠ABD= 45°-15°= 30°，.&&&&∴ BD= AD ,∴ △BDC≌△ADC,&&&&∴∠DCA= ∠DCB=45°.&&&&由∠BDM = ∠ABD+∠BAD = 30°+30°= 60°，&&&&∠EDC= ∠DAC+∠DCA= 15°+45°= 60°，&&&&∴∠BDM=∠EDC，&&&&∴DE平分∠BDC. &&&&(2)如图.连接 MC. &&&&∵DC=DM，且∠MDC= 60°，&&&&∴△MDC是等边三角形. 即 CM=CD. &&&&又∵EMC=180°-∠DMC = 180°- 60°= 120°；&&&&∠ADC= 180°-∠MDC= 180°-60°= 120°，&&&&∴∠EMC=∠ADC. &&&&又∵CE=CA，&&&&∴∠DAC =∠CEM =15°，∴△ADC ≌△EMC,∴ ME=AD= DB.
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线..”主要考查你对&&全等三角形的性质，等边三角形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
全等三角形的性质等边三角形
全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
发现相似题
与“如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线..”考查相似的试题有：
170654216971153502414869111691205978如图，点D是△ABC内一点，点E是△ABC外的一点，A，D，E共线，且∠1=∠2，∠3=∠4，图中有与∠ACB相等的角吗？如果有，请找出来，并说明理由．
喷喷小万84
有，∠AEB=∠ACB．理由如下：∵∠3=∠4，∴四点A、B、C、E共圆（在一条边的同一侧，该边所对的两个角相等，则四点共圆）．∴∠AEB=∠ACB．
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扫描下载二维码如图，在三角形ABC中，E是AC延长线的一点，D是BC上的一点.求证：角1=角E+角A+角B&&&
这伤狠美339
因为角BCE等于角A加角B，角1等于角BCE加角E，所以得证。
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扫描下载二维码如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°． （1）求证：AD=BD；（2）E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；（3）当BD=2时，AC的长为______．（直接填出结果，不要求写过程）
伤不起nTd4
（1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°．∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=30°．∴AD=BD．（2）证明：在DE上截取DM=DC，连接CM，∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，∴△ACD≌△BCD．∴∠ACD=∠BCD=45°．∵∠CAD=15°，∴∠EDC=60°．∵DM=DC，∴△CMD是等边三角形．∴∠CDA=∠CME=120°．∵CE=CA，∴∠E=∠CAD．∴△CAD≌△CEM．∴ME=AD．∴DA+DC=ME+MD=DE．即AD+CD=DE．（3）延长CD交AB于点H，则CH⊥AB，∵∠HBD=30°，BD=2，∴BH=BDocos30°=．∴AC=BC=BH÷sin45°=．
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（1）因为△ABC为等腰直角三角形，∠CAD=∠CBD=15，易证AD=BD；（2）在DE上截取DM=DC，连接CM，易证△ACD≌△BCD，再根据角与角之间的关系，求得△CMD是等边三角形，则AD+CD=DE可证；（3）用解直角三角形求得AC的长．
本题考点：
解直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
考点点评：
本题把全等三角形的判定、等腰三角形的判定和解直角三角形结合求解．综合性强，难度较大，考查学生综合运用数学知识的能力．
扫描下载二维码D为三角形ABC内一点,E为三角形ABC外一点,且角1=角2,角3=角4.三角形ABC与三角形DBE相似吗
追问：你用的是SAS?但在我的题里,对照一下,你的思路对不上.我的里面如果用SAS,是求出AB/BD=BE/BC.追问：AB/BD=BE/BC与你的BA/BC=BD/BE能否互相转化?回答：相似三角形的判定定理：两角相等；对应边成比例且夹角相等即可证明． 追问：你写的是一个三角形的两边之比等于另一个的两边之比,这样也可以么 回答：可以.不是证明三角形相似了吗
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