考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）因为函数y=f（x）为偶函数，所以可由定义得f（-x）=f（x）恒成立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（-1）=f（1），化简即可，但必须检验．（Ⅱ）分x≥12，x＜12，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”．（Ⅲ）先整理f（x-1）≥2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x＞1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集．
解：（Ⅰ）解法一：因为函数f（x）=-x2+2|x-a|又函数y=f（x）为偶函数，所以任取x∈R，则f（-x）=f（x）恒成立，即-（-x）2+2|-x-a|=-x2+2|x-a|恒成立．…（3分）所以|x-a|=|x+a|恒成立，两边平方得：x2-2ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0…（5分）&&& 解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，所以f（-1）=f（1），得|1-a|=|1+a|，得：a=0所以f（x）=-x2+2|x|，故有f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数…（5分）（Ⅱ）若a=12，则f(x)=-x2+2|x-12|=-x2-2x+1，x＜12-x2+2x-1，x≥12．…（8分）由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1]和[12，1]…（10分）（Ⅲ）不等式f（x-1）≥2f（x）化为-（x-1）2+2|x-1-a|≥-2x2+4|x-a|，即：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x2+2x-1（*）对任意的x∈[0，+∞）恒成立．因为a＞0．所以分如下情况讨论：①0≤x≤a时，不等式（*）化为-4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x2+2x-1，即x2+4x+1-2a≥0对任意的x∈[0，a]恒成立，因为函数g（x）=x2+4x+1-2a在区间[0，a]上单调递增，则g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得a≤12，又a＞0所以0＜a≤12…（12分）②a＜x≤1+a时，不等式（*）化为4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x2+2x-1，即x2-4x+1+6a≥0对任意的x∈（a，1+a]恒成立，由①，0＜a≤12，知：函数h（x）=x2-4x+1+6a在区间（a，1+a]上单调递减，则只需h（1+a）≥0即可，即a2+4a-2≥0，得a≤-2-6或a≥6-2．因为6-2＜12所以，由①得6-2≤a≤12．…（14分）③x＞1+a时，不等式（*）化为4（x-a）-2[x-（1+a）]≤x2+2x-1，即x2+2a-3≥0对任意的x∈（a+1，+∞）恒成立，因为函数φ（x）=x2+2a-3在区间（a+1，+∞）上单调递增，则只需φ（a+1）≥0即可，即a2+4a-2≥0，得a≤-2-6或a≥6-2，由②得6-2≤a≤12．综上所述得，a的取值范围是6-2≤a≤12．…（16分）
点评：本题是函数的综合题，考查了函数的重要性质--奇偶性和单调性，同时考查了函数恒成立的一个常用结论：a＞f（x）恒成立，只要a＞f（x）的最大值；a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）的最小值．还重点考查了数学中一个重要数学数学方法--分类讨论．本题属于难题．
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科目：高中数学
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阅读如图的程序框图，该程序运行后输出的S的值为．
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已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a＞0，a≠1)是奇函数．（1）求m的值；（2）求f（x）的反函数f-1（x）；（3）讨论f（x）的单调性，并用定义证明；（4）当f（x）定义域区间为（1，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f(-x)+f(x)=loga1+mx-x-1+loga1-mxx-1=loga1-m2x21-x2=0，对定义域内的任意x恒成立，∴1-m2x21-x2=1，即(m2-1)x2=0．解得m=±1，经检验m=-1成立．（2）由（1）可得：y=logax+1x-1，由x+1x-1＞0，解得x＞1或x＜-1．∴函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}．由y=logax+1x-1，化为ay=x+1x-1，解得x=ay+1ay-1（y≠0），∴f-1(x)=ax+1ax-1(x≠0，a＞0，a≠1)．（3）由（2）可知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），设g(x)=x+1x-1，任取x1＜x2＜-1或1＜x1＜x2，∵g(x1)-g(x2)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)＞0，∴g（x1）＞g（x2），∴函数g(x)=x+1x-1在(-∞，-1)或(1，+∞)上单调递减，∴当a＞1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增．（4）∵1＜x＜a-2，∴a＞3，由（3）可知f（x）在（1，a-2）上单调递减．∴f(a-2)=1，即logaa-1a-2=1，化简得a2-4a+1=0，解得a=2+3．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a＞0，a≠1)是奇函数．（1）求m的值；（2）求..”主要考查你对&&反函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。 反函数的一些性质：
（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性； （2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数； （3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性） （4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意； （6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， 如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。 （7）还原性：。 求反函数的步骤：
（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）； （2）将x，y互换得y =f-1（x）； （3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）； 另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
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