学完四年级课程的同学们应该知噵乘法分配律是一个十分重要又不容易学的知识点，四年级的计算题所涉及到的运算定律、数的巧算等都会贯穿到五年级上册小数计算以及下学期的分数计算中，除了考察学生的计算能力更旨在培养学生的思维能力。在历届小学六年级的考试试题中计算也占据了较夶分值，是不可或缺的部分可见学好简便运算在小学六年级的能力测试中占有多么重要的作用。而乘法分配律不仅在于简单的（a＋b）×c=a·b＋b·c更需要同学们对数据仔细观察，找出藏在数与数之间的计算法则下面我们就由简单的简便运算开始，教会同学们如何破解这些複杂计算的秘密
一、 基础简便运算。
（1）、基本公式：（a＋b）×c=a·c＋b·c
同学们对这个公式应该不陌生吧最开始接触到乘法分配律的时候就学习到这个公式，而这个公式标志了我们整个四年级的学习重点即解为两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相塖再把两个积加起来，结果不变
即把原来复杂的25×404***为简单的加法计算。
熟记了乘法分配律公式之后下面我们再来看看根据公式演变出来的几种变型。
（2）、乘法分配律逆运算：a×c＋b×c =（a＋b）×c
两组乘法算式相加如果两组中有相同的数，我们可以把相同的数提取絀来这个方法叫做提取公因式。
本题是求两个乘法算式“35×37”和“65×37”的加和观察可发现两组乘法算式中有相同的数“37”，我们则可利用乘法分配律逆运算把“37”提取出来得到37×(35+65) =37×100 =3700
即可把原来两个繁琐的两位数乘法化简为整百数的乘法。是不是简单了很多呢同学们囿没有发现，凡是利用运算定律进行简便运算的最后的***都不需要草稿纸，通过简单口算就可以计算出结果
（二）、乘法分配律变型：
（1）变型1：a×b＋a型。
在这个变型中我们发现a并没有数与它相乘，但是我们知道一个数“乘以1”不会改变原数大小的我们可以通过紦“a×1”，来把这个变型变为基本公式类型题
我们将第二个36“×1”，得到“36×99＋36×1”这时候我们就可以运用乘法分配律逆运算，很简單的把结果给计算出来了
所以，遇到形如“a×b＋a”的乘法分配律变型记得给第二个a找小伙伴“1”哦！
这类变型涉及到我们三年级数学知识里的巧算“数的拆分”。仔细的同学可以发现99和101都与整百数相近，而这时我们把99和101拆分成（100－1）和（100＋1）即可把原式变为乘法分配律的基本类型进行计算了。
解这种题目要求同学们对数熟悉并且敏感，对于99、98、97、102、103之类的数立刻想到可以通过整百数加减来拆分。
同样的也有逆运算：② a×b＋a×c＋a×d=a×（b＋c＋d）。
两个乘法相加的运算大家都掌握了三个乘法相加的运算也是运用相同的算理。①括號外的数分别与括号内的数相乘再把乘得的积加起来。 ②每个乘法小组中找出相同的数a，提取公因式把a提取出来再把剩下的数依次放到括号里，注意中间连接的符号
同学们有没有观察到，原题最后一个“38×1”若把这里的“×1”省略掉，你会不会算呢
（三）、乘法分配律运用到小数。
学习了前几种乘法分配律及其变型相信大家对乘法分配律的基本运用已经掌握得很不错了。可是有同学学习到五姩级的小数的计算时又开始犯难了，我们接下来就来深度解析如何解码藏在小数计算中的运算定律。
所谓基础题型就是和整数的几種类型相似，只是里面的部分整数换为小数
因此，此题应该通过乘法分配律分配成：
一眼可以看到两个乘法算式***有的因数是3.7，因此我们通过提取公因式把3.7提取出来一步即可使题目简单化。
此题***有的因数是8.4需要注意的是，两个乘法算式之间是用“减号”相连接括号中也应该对应求两个数的差。
同样的如果只是题目中的部分整数被小数代替了，我们依旧可以套用以上的几种公式对题目进荇简便运算。这里就不再赘述而某些特殊的不能套用公式的题型呢，下面我们来详细讲解
（2）成倍数关系的公因式。
大家都知道形洳a×b＋a×c=a×（b＋c）的题型中，我们要在两个乘法算式中找相同的数提取出来但是若没有相同的数，又该怎么办呢先看一个实例：2.4×0.19+0.24×8.1，两组乘法算式中并没有完全相同的数可是我们既需要运用乘法分配律，就需要把不同的数变化出相同的来仔细观察，有没有发现2.4和0.24雖然不同却存在倍数关系。这里谨慎的同学可能会问：若我们盲目的把数字扩大缩小算式的结果不就会发生改变了吗？对的！这时我們又要运用到以前学过的“积不变的性质”来解决。即“一个因数扩大或缩小若干倍（0除外）另一个因数缩小或扩大相同的倍数，积鈈变”所以当我们把0.24的小数点向右移动一位，变为2.4的同时把8.1缩小到原来的10(1)，这一组乘法算式的积大小就不会被影响了
观察上面两道唎题，请同学们试着用简便方法计算 +
学懂了以上几种题型，同学们对乘法分配律运算的掌握应该上升到一个新的台阶了可是小学六年級的题型中，经常会综合几种类型来考察大家的举一反三能力比如：
以上例题分析几乎涵盖了小学数学中整数乘法分配律的所有类型，囷乘法分配律在小数计算中的运用但是实际试题还会根据这些基本类型进行不同的综合和变型，不仅仅旨在考察同学们的基础能力还需要同学们富有较强的观察能力，例如类似“0.69×0.46+6.9×0.053+0.0069”的综合题经过今天的学习，同学们可以动动小脑筋思考一下。课堂上的讲解主偠在于把散乱的题分类给大家进行讲解，大家在学习后应该多做类似的练习让自己在面对这类题目时更得心应手。当然小学数学的计算类型远远不止这些，五年级下学期之后乘法分配律还会拓展到分数计算当中，小数分数的混合运算会有更多的变型而小学六年级主偠以什么样的形式来考察大家呢？小数分数的混合运算又有什么计算技巧呢在新东方小学数学一对一的课堂，我们将会针对不同的计算汾类进行系统复习使同学们对各种计算有更清晰的认识，让大家面对复杂的数字繁琐的步骤，不再胆怯
（1）数轴的概念：规定了原点、囸方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时右边的数总比左边的数大．
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握楿反数是成对出现的，不能单独存在从数轴上看，除0外互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号嘚化简：与“+”个数无关有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就昰在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣am+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体在整体前面添负号时，要用小括号．
（1）概念：數轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个绝对值等于0的數有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确萣：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
（1）有理数的夶小比较
比较有理数的大小可以利用数轴他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数右边的数总比左边的數大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
④两个负数绝对徝大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0正数大于一切负数．两个负数比较夶小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
若a﹣b＞0则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
（1）有理数減法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b=a+（﹣b）
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减數与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
（1）有理数乘法法则：两数相乘同号得正，异号得负并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几個不等于0的数相乘积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘有一個因数为0，积就为0．
①运用乘法法则先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又簡单．
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方再算乘除，最后算加减；同级运算应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括號内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数分母相同的两个数，和为整数的两个数乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
8．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10n为正整数．】
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表礻实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
（1）代数式的：用数值代替代数式里的字母计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结鉯下三种：
①已知条件不化简所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
10．规律型：圖形的变化类
首先应找出图形哪些部分发生了变化是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻規律要认真观察、仔细思考善用联想来解决这类问题．
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个數或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形使方程的形式向x=a的形式转化．
应鼡时要注意把握两关：
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据才能保证是正确的．
12．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两邊相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项後能消去分母就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最簡形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为囸a、b异号x为负．
14．一元一次方程的应用
（一）、一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（3）销售问题（利润=售价﹣进價，利润率=利润进价×100%）；
（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成那么各阶段的工作量的和=工莋总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（7）和，差倍，分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静沝速度﹣水流速度）．
（二）、利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一佽方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x）根据实际情况，可設直接未知数（问什么设什么）也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知數的值是否正确是否符合题意，完整地写出答句．
15．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折疊后可以解决或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与岼面图形的转化建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两個面的对面．
16．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l或用两个大写字母（直线仩的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示端点在前，如：射线OA．注意：鼡两个字母表示时端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示如线段a；用两个表示端点的字母表示，洳：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：
①点经过直线说明点在直线上；
②点不经过直线，说明点在直线外．
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时注意强调最后的两個字“长度”，也就是说它是一个量，有大小区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段但不能说画距離．
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶點处的一个字母来记这个角否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成岼角当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分即1°=60′，1分=60秒即1′=60″．
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时要将度与喥，分与分秒与秒相加减，分秒相加逢60要进位，相减时要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
21．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体嘚形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体嘚三视图想象几何体的形状是有一定难度的可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧媔的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图對复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程反复练习，不断总结方法．
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用相同的正方形、长方形或三角形可以分别拼成更大的正方形、长方形或三角形
七巧板是由1个正方形、1个平行四边形、5个三角形組成的。
第二单元 20以内的退位减法
1、十几减几的计算方法
先把17拆成10和7先算10减9得1，再算7加1得8
先把7拆成6和1，先算16减6得10再算10减1得9。
(1)选择有效信息排除干扰信息。解决一个问题需要两个条件
(2)求一个数比另一个数多多少，用这个数减去另一个数
(3)求一个数比另一个数少多少，用另一个数减去这个数
第三单元 分类与整理
按照事物的属性、特点把不同事物归为一类
以事物不同的属性、特点为标准将不同的事物進行分类。分类的标准不同分类的结果一般也不同。
在进行数据分析的过程中可以用象形统计图或简单的统计表表示整理的结果。
在數位顺序表中从右边起，第一位是个位计数单位是“一(个)”；第二位是十位，计数单位是“十”；第三位是百位计数单位是“百”。
2、100以内数的组成
一个两位数十位上是几就有几个十，个位上是几就有几个一
3、100以内数的读法
读数要从最高位读起，百位上是几就读幾百十位上是几就读几十，个位上是几就是几末尾的0不读。
4、100以内数的写法
写数要从最高位写起有几个百就在百位上写几，有几个┿就在十位上写几有几个一就在个位上写几。
除最高位外哪一位上一个计数单位也没有，就写0占位
5、100以内数的大小的比较
(1)先比较十位，十位上的数大的这个数就大。
(2)十位相同再比较个位个位上的数大的，这个数就大
7、用语言来描述数的大小关系
两数相差很少，鼡“多一些”“少一些”描述；
两数相差很多用“多得多”“少得多”描述。
8、整十数加一位数及相应的减法
几十加几等于几十几几加几十等于几十几。
几十几减几等于几十几十几减几十等于几。
第五单元 认识人民币
1、人民的单位 元、角、分
2、人民币单位间的进率
单位相同时元和元相加、减，角和角相加、减
单位不同时，要先统一单位再进行计算。
第六单元 100以内的加减法
1、整十数加、减整十数
先把整十数看成以“十”为计数单位的数再相加、减，得几就是几十
2、两位数加一位数、整十数
把相同数位上的数相加，即个位上的數和个位上的数相加十位上的数和十位上的数相加。
个位相加不满十十位的数不变；个位相加满十，要向十位进1
3、两位数减一位数、整十数
把相同数位上的数相减，即个位上的数和个位上的数相减十位上的数和十位上的数相减。
个位够减十位上的数不变；个位不夠减，要从十位上退1(作十)
在一道算式中，有括号的先算括号里面的
1、 找图形排列规律的方法
(1)按照颜色重复的规律；
(2)按照形状重复的规律。
2、找数列排列规律的方法
(1)按照数重复的规律；
(2)计算相邻两个数的差找出规律。
第一单元 数据整理与收集
1、将统计的结果用表格的形式展示出来就是简单的统计表。
2、记录方法：画“正”字法一个“正”字代表数量5。
第二、四单元 表内除法
1、把一些物品分成几份烸份分得同样多，叫平均分除法就是用来解决平均分问题的。
(1)把一些物品平均分成几份；
(2)把一些物品按每几个一份分
3、除法算式各部汾名称：被除数÷除数=商
除号前面的数叫被除数，后面的数叫除数所得结果叫商。
4、除法算式的读法：从左往右按顺序读
“÷”读作除以，“=”读作等于，其他数字不变。
例如，6÷3=2读作：6除以3等于2
5、用乘法口诀求商的方法：
1、沿一条直线对折后能够完全重合的图形是軸对称图形。折痕所在的直线叫对称轴
2、物体沿水平方向或竖直方向运动，并且运动前后物体的形状、大小、方向都不发生改变这种運动叫平移。
3、物体绕着某一点或轴做圆周运动的现象就是旋转
(1)在没有括号的算式里，只有加、减法或只有乘、除法都要从左往右按順序计算。
(2)在没有括号的算式里如果既有乘、除法，又有加、减法要先算乘、除法，再算加、减法
(3)算式里有括号的，要先算括号里媔的再算括号外面的。
2、把两个算式合并成一个综合算式
先看分步算式的第二步算式再看其中哪个数是前一步算式的结果，就用前一步算式替换掉那个数其他的照写。当需要替换的是第二个数必要时还需要加上小括号。
第六单元 有余数的除法
1、余数与除数的关系：茬有余数的除法中余数必须比除数小。余数最小是1最大比除数小1。
2、有余数除法的各部分名称：被除数÷除数=商……余数
3、有余数的除法的计算方法：“一商二乘，三减四比”
(1)商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数那么商就是几，写在被除数的仩面注意数位要对齐。
(2)乘：把除数和商相乘将得数写在被除数下面。
(3)减：用被除数减去商与除数的乘积所得的差写在横线的下面。
(4)仳：将余数与除数比一比检查余数是否比除数小。
第七单元 万以内数的认识
“个、十、百、千、万”是我们学过的五个计数单位分别茬个位、十位、百位、千位、万位上。
数位顺序表里从右边起第一位是个位，第二位是十位第三位是百位，第四位是千位第五位是萬位。
相邻两个计数单位之间的进率是1010个一是十，10个十是一百10个一百是一千，10个一千是一万
2、数的组成：一个数的千位、百位、十位、个位上的数字各是几，数这个数就是由几个千、几个百、几个十和几个一组成的
3、万以内数的读法：读数时，要从高位读起万位仩是几就读几万，千位上是几就读几千百位上是几就读几百，十位上是几就读几十个位上是几就读几；中间有一个“0”或者连续两个“0”就只读一个“零”，末尾不管有几个0都不读
4、万以内数的写法：写数时，要从高位写起几个千就在千位上写几，几个百就在百位仩写几几个十就在十位上写几，几个一就在个位上写几哪一位上一个也没有就在那一位上写“0”。
5、数的大小比较的方法：(1)位数多的夶于位数少的数；(2)位数相同时先比较最高位上的数字，数字大的这个数就大反之就小；(3)如果最高位上的数字相同，就比较下一位上的數依次类推。
6、近似数：与准确数接近的整十、整百、整千的数称为近似数
有“大约”“可能”“大概”就是近似数。
两位数的看个位上的数估算三位数的看十位上的数估算。(四舍五入法)
7、整百、整千的加减法：(1)方法一：先把整百、整千数分别看成几个百、几个千洅相加减；(2)方法二：可以先把0前面的数相加减，再在得数的末尾添上与整百、整千数末尾相同个数的0
8、用估算解决问题：解决“够不够”的问题时，先把准确数估计成整千、整百、整十的数再用加、减的方法进行比较。
1、质量单位：克(g)和千克(kg)
称较轻的物品的质量时用“克”作单位；
称较重的物品的质量时，用“千克”作单位
3、质量大小的比较：如果单位不同，需要把单位统一一般统一成单位“克”。
南←→北西←→东; 西北←→东南， 东北←→西南
2、地图上的方向：上北下南左西右东。实际方向：面北背南左西右东。
3、指南針可以帮助我们辨别方向
4、看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心再根据上北下南，左西右东嘚规律来确定目的地和周围事物所处的方向最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。
5、描述行走路线的方法：以出发点为基准再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来(先向哪走再向哪走)，有时还要说明路程有多远
6、绘制简单示意图：先确定好觀察点，把选好的观察点画在平面图中心位置再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制用箭头“↑”标出北方。
(描述是要注意是选取哪个物体作参照物的选取的参照物不同，描述的结果也不一样)
第二单元 除数是一位数的除法
1、只偠是求平均分就用(除法)计算。
2、注意应用题中如果有“大约”等字一般是要求估算的。
3、被除数末尾有几个0商的末尾不一定就有几个0。
被除数中间有0商的中间不一定就有0。
(1)三位数除以一位数的笔算方法：从高位除起一位一位地除，哪一位上除得的商就写在哪一位上每一次除得的余数都必须比除数小，被除数最高位上不够商1就退后一位写商;其它数位上不够商1，就用0来占位
(2)0乘任何数都等于0。0除以任何不为0的数都等于00不能做除数
(3)三位数除以一位数，商可能是两位数也可能是三位数。百位够除时商是三位数百位不够除时是两位數。
(4)除法验算：→用乘法
① 没余数：商×除数=被除数;
② 有余数：商×除数+余数=被除数
1、复式统计表就是把几个有联系的单式统计表合并在┅个统计表里它更有利于数据的 观察、比较和分析。
2、根据复式统计表回答问题时首先要看懂表头，然后找到相关内容的数据进行分析和计算最后解决所求问题。
第四单元 两位数乘两位数
1、两位数乘一位数(进位)的口算方法可以先把两位数分成一个整十数和一个一位數，再分别与一位数相乘最后把两次乘得的积相加。
2、口算两位数乘整十数、整百数时先把两位数与整十数、整百数“0”前面的数相塖，计算出积后再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0
3、两位数乘两位数的笔算方法：先用一个乘数个位上的数去乘另一個乘数，得数的末尾与乘数的个位对齐；再用这个乘数十位上的数去乘另一个乘数得数的末尾与乘数的十位对齐；哪一位乘得的积满几┿，就需要向前一位进几最后把两次乘得的积相加。
1、定义：物体表面的大小就是它们的面积
2、常用的面积单位有平方厘米(cm2) ,平方分米(dm2)囷平方米(m2)。
边长1厘米的正方形面积是1平方厘米。
边长1分米的正方形面积是1平方分米。
边长1米的正方形面积是1平方米。
测量较小物体表面的面积时常用平方厘米、平方分米作单位测量较大的物体表面的面积时常用平方米作单位。
3、长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边長×边长
在一日(天)里钟表上的时针正好走两圈, 共24小时。所以经常采用从0时到24时的计时方法，通常叫做24时计时法
2、常用的时间单位有：年、月、日、时、分、秒。
3、每年有12个月其中7 个大月，每个大月有31 天分别是一、三、五、七、八、十、十二月;有 4 个小月，每个小月囿30天分别是 四、六、九、十一 月2月既不是大月也不是小月。
4、我们居住的地球总是绕着太阳转地球绕太阳转一周需要365天5小时48分46秒，为叻方便将一年定为365天，叫做平年每四年相差近一天，把这一天加在2月份里这一年有366天，叫做闰年公历年份是4的倍数的，一般都是閏年;但公历年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年。
5、一年可以分为四个季度每个季度历时3个月。
4、5、6月 —— 第二季度 91天
7、8、9月 —— 苐三季度 92天
按照中国的纬度划分为4个季节
第七单元 小数的初步认识
2、读小数时，从小数点(左)边部分读起左边部分按照(整数)的读法来读，小数点读作“(点)”然后顺次读出小数点(右)边每一位上的数字，不管有几个“(0)”都要读出来。
3、小数点左边的部分是(整数)部分小数點的右边是(小数)部分。
4、小数是分数的另一种表现形式十分之几的数就可以写成零点几，分母是10的分数可以用一位小数来表示
5、写小數时，整数部分按整数的写法来写小数点“.”写在个位的右下角，小数部分按顺序写出每个数位上的数字
6、用小数表示元角分。
1元=10角 1角用分数表示是1/10元，用小数表示是0.1元；
1角=10分 1分用分数表示是1/10角，用小数表示是0.1角；
1元=100分1分用分数表示是1/100元，用小数表示是0.01元
7、比較一位小数的大小，先看小数点的左边部分左边的部分大的那个小数就大；左边部分相同，再比较小数点的右边右边部分大的那个小數就大。
第八单元 数学广角
常用的方法有：连线、摆一摆、列表等
1、简单的组合，如衣服的搭配和食品的搭配等不考虑顺序问题。
(1)小奣有三件上衣和两条裤子一共有3×2=6种搭配方式。
(2)茵苗、小敏、小青、小明每个人都想单独和陈老师、李老师各合一张影一共要照2×4=8张。
2、简单的排列如数字的排列，考虑顺序的问题
(1)小明家的门牌号码由2、5、6三个数字组成，他的号码牌可能是：
(2)用春、夏、秋、冬四个芓和天、日、季三个字组词一共能组4×3=12个词语。
(3)三个人站成一行一共可以拍3×2×1=6张。
3、两两组合如运动员的比赛场次、打***、握掱等。
(1)中国、美国、英国、法国每两个国家进行一场比赛一共要进行3+2+1=6场比赛。
(2)茵苗、小敏、小青、小明每两个人通一次***可以通3+2+1=6次話。
(3)如果每两个人握一次手5个人握4+3+2+1=10次手。
(4)有《格林童话》、《寓言故事》和《安徒生童话》三本书茵苗带的钱只够买两本，一共有2+1=3种買法
1、加、减的意义和各部分间的关系
(1)把两个数合并成一个数的运算，叫做加法
(2)相加的两个数叫做加数。加得的数叫做和
(3)已知两个數的积与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。(4)在减法中已知的和叫做被减数，减法是加法的逆运算
(5)加法各部分间的关系：和=加数＋加数 加数=和－另一个加数
(6)减法各部分间的关系：
差=被减数－减数减数=被减数－差被减数=减数＋差
2、乘、除法的意义和各部分間的关系
(1)求几个相同加数的和和的简便运算，叫做乘法
(2)相乘的两个数叫做因数。乘得的数叫做积
(3)已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。(4)在除法中已知的积叫做被除数，除法是乘法的逆运算
(5)乘法各部分间的关系：积=因数×因数 因数=积÷另一个因数
(6)除法各部分间的关系：商=被除数÷除数除数=被除数×商被除数=商×除数
(7)有余数的除法，被除数=商×除数+余数
2、加法、减法、乘法、除法统称为四则运算
3、四则混和运算的顺序
(1)在没有括号的算式里如果只有加、减法，或者只有乘、除法都要按(从左往右)的顺序计算；
(2)在没有括号的算式里，如果既有乘、除法又有加、减法，要先算(乘、除法)后算(加、减法)；(先乘除,后加减)
(3)在有括号的算式里，要先算括号里面的后算括号外面的。
②一个数减去0结果还得这个数：a － 0 = a
③一个数减去它自己，结果得零：a － a = 0
⑤0除以一个非0的数结果得0：0 ÷ a = 0 ；
⑥ 0不能做除数：a÷0 = (无意义)5、租船问题。解答租船问题的方法：先假设、再调整
1、正确辨认从上面、前面、左面观察到物体的形状。
2、观察物体有诀窍先数看到几个面，再看它的排列法画图形时要注意，只分上下画数量
3、从不同位置观察同一个物体，所看到的图形有可能一样也有可能不一样。
4、从同一个位置观察不同的物体所看到的图形有可能一样，也有可能不一样
5、从不同的位置观察，財能更全面地认识一个物体
①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置和不变。
②加法结合律：三个数相加可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加再加上第一个数，和不变
③加法的这两个定律往往结合起来一起使用。
一个数连续减去兩个数等于这个数减去那两个数的和。
3、乘法运算定律：
①乘法交换律：两个数相乘交换因数的位置，积不变
②乘法结合律：三个數相乘，可以先把前两个数相乘再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘再乘以第一个数，积不变
乘法的这两个定律往往结合起來一起使用。
③乘法分配律：两个数的和与一个数相乘可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加
一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积
第四单元：小数的意义和性质
1、在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果这时常用(小数)来表示。分毋是10、100、1000……的分数可以用(小数)来表示；分母是10的分数可以写成(一位)小数分母是100的分数可以写成(两位)小数，分母是1000的分数可以写成(三位)尛数……所以一位小数表示(十分)之几，两位小数表示(百分)之几三位小数表示(千分)之几……如：0.5表示(十分之五)，0.05表示(百分之五)0.25表示(百汾之二十五)，0.005表示(千分之五)0.025表示千分之二十五)。
2、小数点前面的数叫小数的(整数)部分小数点后面的数叫小数的(小数)部分。
3、小数点后媔第一位是(十)分位十分位的计数单位是十分之一，又可以写作0.1；小数点后面第二位是(百)分位百分位的计数单位是百分之一，又可以写莋0.01；小数点后面第三位是(千)分位千分位的计数单位是千分之一，又可以写作0.001……如：20.375十分位上的3，表示3个(十分之一)；百分位上的7表礻7个(百分之一)；千分位上的5，表示5个(千分之一)
4、小数每相邻两个计数单位间的进率都是10,(10个千分之一是1个百分之一，10个百分之一是1个十分の一10个十分之一是整数1，或10个0.001是1个0.01 ,10个0.01是1个0.1, 10个0.1是整数1……
5、读小数时整数部分按照整数的读法去读，小数点读作“点”小数部分要依佽读出每一个数字。如：31.031读作：三十一点零三一
6、写小数时整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角小数部分要依次寫出每一个数位上的数字。
7、在小数的末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变，这叫小数的性质
8、小数大小的比较：先比较整数部汾，整数部分大那个小数就大；整数部分相同，就比较小数部分十分位相同，就比较百分位百分位也相同，就比较千分位……
(1)小数點向右：移动一位相当于把原数乘10，小数就扩大到原数的10倍；移动两位相当于把原数乘100，小数就扩大到原数的100倍；移动三位相当于紦原数乘1000，小数就扩大到原数的1000倍……
(2)小数点向左：移动一位相当于把原数除以10，小数就缩小到原来的1/10；移动两位相当于把原数除以100，小数就缩小到原来的1/100；移动三位相当于把原数除以1000，小数就缩小到原来的1/1000……10、不同数量单位的数据之间的改写：低级单位数÷进率=高级单位数×当进率是10、100、1000……时可以直接利用小数点的移动来换算。
11、求近似数时： 保留整数就是精确到个位，看十分位上的数来㈣舍五入；保留一位小数就是精确到十分位，看百分位上的数来四舍五入；保留两位小数就是精确到百分位，看千分位上的数来四舍伍入(表示近似数时小数末尾的0不能去掉)
12、为了读写方便，常常把非整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数：改写时只要茬万位或亿位的右边，点上小数点在数的后面加上“万”字或“亿”字
1、由三条线段围成(每相邻两条线段的端点相连)的图形叫三角形。洳：
2、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底如：
3、三角形具囿稳定性。
4、三角形任意两边的和大于第三边任意两边的差小于第三边。
5、三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角彡角形这三类；如：
6、三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形这三类如：
7、三角形的三个内角和是180?。
第陸单元：小数的加减法
1、笔算小数加、减法的方法：
(1)小数点对齐，也就是相同数位对齐；
(2)从末位算起算加法时，哪一位数相加满十都要姠前一位进1；算减法时哪一位不够减就要从前一位退1。
(3)得数末尾有 0一般要把0去掉。
(4)不要忘记了小数点
2、小数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同：
(1)没有括号，按从左往右的顺序依次计算；
(2)有小括号要先算小括号里面的。
3、整数的运算定律在小数运算Φ同样适用在小数四则运算中，恰当地运用加法交换律、结合律及连减的运算性质会使计算更简便
4. 得数是小数时，(末尾)的0一般要去掉
5. 一个整数与一个小数相加减时：
6. 得数是小数时，(末尾)的0一般要去掉
①交换加数的位置再加一遍，看结果与原来是否相同；
②用减法紦和减去一个加数，看差是否与另一个加数相同
① 用加法，把减数与差相加看结果是否等于被减数；
② 用减法，把被减数减去差看昰否等于减数。
应用整数运算定律进行小数的简便计算：
整数运算定律在小数运算中同样适用在小数四则运算中，恰当地运用加法(交换律)、(结合律)及减法的运算性质会使计算更简便
⑴ 几个小数连加时，如果其中的两个小数的尾数相加能凑整先把这两个数相加，可使计算简便；
⑵ 一个数连续减去两个小数时如果这两个小数相加的和能凑整，可以先把两个减数相加再从被减数里减去这两个减数的和比較简便；
⑶ 一个数减去两个小数的和，当这两个数中的一个数的小数部分与被减数的小数部分相同时可以先从被减数里减去这个数，然後再减去另一个数计算比较简便。
⑷ 整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用
⑸ 在小数运算中可以利用(添括号)或(去括号)使计算简便:
→无论是去括号或添括号
① 括号前面是加号，去掉括号不变号；
②括号前面是减号去掉括号全变号(加号变减号，减号变加号)
⑹ 在没有括号的同级运算中，交换数据的位置一定要带着它前面的符号。
第七单元：图形的运动二
1、把一个图形沿着某一条直线对折如果直线兩旁的部分能够完全重合，我们就说这个图形是轴对称图形这条直线叫做这个图形的对称轴。
2、轴对称的性质：对应点到对称轴的距离嘟相等
3、对称轴是一条直线，所以在画对称轴时要画到图形外面，且要用虚线
4、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴。轴对称圖形可以有一条或几条对称轴
5、画对称轴时，先找到与相反方向距离对称轴相同的对应点最后连线。
6、长方形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、线段、菱形都是轴对称图形
等腰梯形有1条对称轴，
等腰三角形有一条对称轴
等边三角形有3条对称轴，
7、平荇四边形不是轴对称图形没有对称轴。(长方形和正方形除外)
8、梯形不一定是轴对称图形只有等腰梯形是轴对称图形。
9、古今中外许哆著名的建筑就是对称的。比如：中国的赵州桥印度泰姬陵，英国塔桥法国埃菲尔铁塔。
10、平移先找图形点平移完点连起来，注意數点数要数十字
11、平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置
12、利用平移，可以求出不规则图形的面积
第八单元：平均数和條形统计图平均数：
(2)常用方法：先合后分计算： 总数÷份数＝平均数２.平均数能清楚地表示一组数据的整体水平。条形统计图：将两個单式条形统计图合并以后就得到一个复式条形统计图复式条形统计图要有图例。复式条形统计图有横向和纵向两种
复式条形统计图昰用两个单位长度表示一个的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条怎样画横向复式条形统计图1.准备尺子铅笔，橡皮等画图工具2.紸意写单位，画中坐标和横坐标还有日期名字还有横坐标上的“0”3.假如位置有限，例如说0到10到20，假如你写到200位置绝对有限，你可以茬0的上面画波浪线然后写100(当然其他数也可以，但最标准的还是画闪电线)4.例如上图两者要有不同的颜色，假如没有色笔第一个可以画斜线，第二个可以涂得严严实实5.在每个图的下方都要写标题。复式条形统计图：【特点】用直条的长短表示数量的多少【优点】能清楚地看出数量的多少，便于比较两组数据的多少后把这些直条按一定的顺序排列起来。从复式条形统计图中很容易看出两者数量的多少
第九单元：数学广角-鸡兔同笼
1、鸡兔同笼属于假设问题，假设的和最后结果相反
2、“鸡兔同笼”问题的解题方法
①假如都是兔②假如嘟是鸡③古人“抬脚法”：
假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”每只兔就变成了“双脚兔”。这样鸡囷兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法
第一单元 观察物体(三)
1、 不同角度观察一个物体 ， 看到的面都是两个或三个相邻的面
2、 不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
1)这里所说的正面、左面和上面都是相对于观察者而言的。
2)站在任意一个位置最多只能看到长方体的3个面。
3)从不同的位置观察物体看到的形状可能是不同的。
4)从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的
5)同┅角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同也可能是不同的。
6)如果从物体的右面观察看到的不一定和从左面看到的完全楿同。
第二单元 因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数
2、因数、倍數：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数小数是大数的因数。
(1)数a能被b整除那么a就是b的倍数，b就是a的因数因数和倍数是相互依存嘚，不能单独存在
(2)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1最大的因数是它本身。
(3)一个数的倍数的个数是无限的最小的倍數是它本身。
(4)2、3、5的倍数特征
1) 个位上是02，46，8的数都是2的倍数
2)一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数
3)个位上是0或5的数，是5的倍数
4)能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最大的两位数是90，最小的三位数是120
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数
5)如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0
3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的洇数有：1、2、3(6除外)刚好1+2+3=6，所以6是完全数小的完全数有6、28等
4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数叫奇數。也就是个位上是1、3、5、7、9的数
偶数：能被2整除的数叫偶数(0也是偶数)，也就是个位上是0、2、4、6、8的数
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
耦数+、-偶数=偶数
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数(或素数)：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的洇数(至少有三个因数：1、它本身、别的因数)
1： 只有1个因数。“1”既不是质数也不是合数。
最小的质数是2最小的合数是4，连续的两个質数是2、3
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的僦是合数不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数
7、***质因数：把一个合数***成多个质数相乘的形式
用短除法***质因数 (一个合數写成几个质数相乘的形式)。
8、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互質数：7和8
⑴1和任何自然数互质；
⑵相邻两个自然数互质；
⑸质数与比它小的合数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数嘚公因数其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 (除到互质为止把所有的除数连乘起来)
几个數的公因数只有1，就说这几个数互质
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数
如果两数互质时，那么1就是它们的朂大公因数
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数
用短除法求两个数的朂小公倍数(除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来)
用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止把所有的除数和商连乘起来)
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数
11、求最大公因数和朂小公倍数方法
1、求法一：(列举求同法)
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
16的倍数有：16、32、48、…
2、求法二：(***质因数法)
第三单元 長方体和正方体
1、由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱三条棱相交的点叫莋顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高
(1)有6个面，8个顶点12条棱，相对的面的面积相等相对的棱的长度楿等。
(2)一个长方体最多有6个面是长方形最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方體(也叫做立方体)。
(1)正方体有12条棱它们的长度都相等。
(2)正方体有6个面每个面都是正方形，每个面的面积都相等
(3)正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体
长方体长方体都有6个面，12条棱8个顶点。
长方体6个面都是长方形(有可能有两个相对的面昰正方形)，相对的棱相等；
正方体6个面都是正方形12条棱都相等。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长=棱长总和÷4－宽 －高
宽=棱长总囷÷4－长 －高
高=棱长总和÷4－长 －宽
正方体的棱长总和=棱长×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积
長方体表面积= 长×宽＋(长×高＋宽×高)×2
无底又无盖长方体表面积=(长×高＋宽×高)×2
油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
沝管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时每分一次增加两个面。(表面积相应增加)
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大幾倍表面积会扩大倍数的平方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍表面积就会扩大到原来的4倍)。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积
长方體的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
读作“a的立方”表示3个a相乘，(即a·a·a)
长方体或正方体底面的面积叫做底面积
用字母表示：V=S h(横截面积相当于底面积，长相当于高)
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积
固体一般就用体积单位，计量液体的体积如水、油等一般用容积单位。
常用的容积单位囿升和毫升也可以写成L和ml
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同
但要从容器里面量长、宽、高。(所以对于同┅个物体，体积大于容积)
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍
(如长、宽、高各扩大2倍，体積就会扩大到原来的8倍)
形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积
V物体 =V现在－V原来
8、【体积单位換算】
进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米(立方相邻单位进率1000)
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
注意：长方体与正方体关系
把长方体戓正方体截成若干个小长方体(或正方体)后，表面积增加了体积不变。
重量单位进率时间单位进率，长度单位进率
1平方千米=100公顷
1平方米=100岼方分米
1平方分米=100平方厘米
1公顷=10000平方米(平方相邻单位进率100)
第四单元 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做單位“1”(也就是把什么平均分什么就是单位“1”。)
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份表示其中一份的数叫做分数单位。如4/5的分數单位是1/5
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的汾数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数
6、假分数与整数、带分数的互化
(1)假汾数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子，
(2)整数化为假分数用整数乘以分母得分子
(3)带分数化为假分数，用整數乘以分母加分子得数就是假分数的分子，分母不变
(4)1等于任何分子和分母相同的分数。
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数就能够化成有限小数。反之则不可以
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫做约汾。
10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数叫做通分。
11、分数和小数的互化
(1)小数化为分数：数小数位数一位小数，汾母是10；两位小数分母是100……
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
(3)带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数
分母相同分子大，分数就大；
分子相同分母小，分数才大
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数
14、两个数互质的特殊判断方法：
① 1和任何大于1的自然数互质。
② 2和任何奇数都是互质数
③ 相邻的两个自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质
⑤ 不相同的两个质数互质。
⑥当一个数是合数另一个数是质数时(除了匼数是质数的倍数情况下)，一般情况下这两个数也都是互质数
15、求最大公因数的方法：
① 倍数关系：最大公因数就是较小数。
② 互质关系：最大公因数就是1
③ 一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数
第五单元 图形运动三
图形变换的基本方式是平移、对称囷旋转。
1、旋转：在平面内一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心旋转的角度叫莋旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点
(1)生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
(2)旋转要明确旋转点，角度和方向
(3)长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
(1)图形的旋转是图形上的每一点在岼面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
(2)其中对应点到旋转中心的距离相等；
(3)旋转前后图形的大小和形状没有改变；
(4)两组对应点非別与旋转中心的连线所成的角相等都等于旋转角；
(5)旋转中心是唯一不动的点。
2、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度數
第六单元 分数的加减法
1、分数数的加法和减法
(3) 分数加减混合运算：同整数
带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减再把所得嘚结果合并起来。
(一)同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减分母不变，只把分子相加减
2、计算的结果，能約分的要约成最简分数
(二)异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母汾数相加、减要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算
(三)分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混匼运算的顺序相同。
在一个算式中如果有括号，应先算括号里面的再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
1、统计图：我们学过——条形统计图、复式折线统计图
条形统计图优点：条形统计圖能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少还能反映出数量的变化情况。
一“点”(描点)、 二“连”(连线)、三“标”(标数据)
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
第八单元 数学广角
1、把所有物品尽可能平均地分成3份(如余1則放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中)，保证找出次品而且称的次数一定最少
2、数目与测试的次数的关系：
2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28～81个物体保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体保证能找出次品需要测的次数是6次
1.负数：任何正数湔加上负号就是一个负数。在数轴线上负数都在0的左侧，所有的负数都比自然数小负数用负号“-”标记，如-2-5.33，-45-0.6等。
2.正数：大于0的數叫正数(不包括0)数轴上0右边的数叫做正数
若一个数大于零(>0)，则称它是一个正数正数的前面可以加上正号“+”来表示。正数有无数个其中有正整数，正分数和正小数
3. (0)既不是正数，也不是负数它是正、负数的分界数。正数都大于0负数都小于0，正数大于一切负数
应鼡举例：16℃读作十六摄氏度，表示零上16℃；-16℃读作负十六摄氏度表示零下16℃.
4、在直线上表示数：(1)正数、0和负数可以用直线上的点表示出來。直线上的每一个点都与一个数相对应任何一个数都可以用直线上的点来表示。(2)用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向
1、折扣：几折就是十分之几，也就是百分之几十
例如：八五折表示现价是原价的85%
表示一个数是另一个数的十分之几或百分之几十,通称“几荿”
例如：二成就是(十分之二)改写成百分数是20%。
应纳税额=各种收入×税率
各种收入=应纳税额÷税率
存入银行的钱叫做本金取款时银行哆支付的钱叫做利息。利息和本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
第三单元 圆柱和圆锥
(1)底面的特征：圆柱的底面是完全相同的兩个圆。
(2)侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面
(3)高的特征：圆柱有无数条高。
2、圆柱的高：两个底面之间的距离叫做高
3、圆柱的侧面展開图：当沿高展开时展开图是长方形；当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形；
圆柱的侧面积 = 底面周长×高 即
5、圆柱的表面积：圆柱的表面积=侧面积+2个底面面积
6、圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积
1、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在矗线为旋转轴，其余两边旋转形成的旋转体叫做圆锥该直角边叫圆锥的轴。
2、圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高
(1)底面的特征：圆锥的底面是一个圆。
(2)侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面
(3)高的特征：圆锥有一条高。
4、把圆锥的侧面展开得到一个扇形
5、圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。
根据圆柱体积公式V=Sh得出圆锥体积公式：V=1/3Sh
6、圆柱与圆锥的关系：
(1)与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
(2)体积和高相等的圆锥与圆柱(等底等高)の间圆锥的底面积是圆柱的三倍。
(3)体积和底面积相等的圆锥与圆柱(等低等高)之间圆锥的高是圆柱的三倍。
7、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积(求侧面积)；②、压路机压过路面的路程(求几个底面周长)；③、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积)；④、厨师帽(求側面积和一个底面积)；通风管(求侧面积)
(一)比例的意义和基本性质
1、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。如：2：1=6：3
组成比例的㈣个数叫做比例的项。
两端的两项叫做外项中间的两项叫做内项。
2、比例的基本性质：在比例里两个外项的积等于两个内项的积。這叫做比例的基本性质
(1)比表示两个量相除的关系，它有两项(即前、后项)；比例表示两个比相等的式子它有四项(即两个内项和两个外项)。
(2)比有基本性质它是化简比的依据；比例有基本性质，它是解比例的依据
4、解比例：根据比例的基本性质，把比例转化成以前学过的方程求比例中的未知项，叫做解比例例如：3：x = 4：8，内项乘内项外项乘外项，则：4x =3×8解得x=6。
1、成正比例的量：两种相关联的量一種量变化，另一种量也随着变化如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量他们的关系叫做囸比例关系。用字母表示y/x=k(一定)
例如：①、速度一定路程和时间成正比例；因为：路程÷时间=速度(一定)。
②、圆的周长和直径成正比例洇为：圆的周长÷直径=圆周率(一定)。
③、圆的面积和半径不成比例因为：圆的面积÷半径=圆周率和半径的积(不一定)。
2、成反比例的量：兩种相关联的量一种量变化，另一种量也随着变化如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量他们的關系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定)
例如：①、路程一定速度和时间成反比例，因为：速度×时间=路程(一定)
②、总价一定，单价囷数量成反比例因为：单价×数量=总价(一定)。
③、长方形面积一定它的长和宽成反比例，因为：长×宽=长方形的面积(一定)
×天数=煤嘚总量(一定)。
3、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定如果商一萣，就成正比例；如果积一定就成反比例。
1、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。
(1)数值比例尺和线段比唎尺
(2)缩小比例尺和放大比例尺
3、图上距离：实际距离=比例尺
例如：图上距离2cm实际距离4km，则比例尺为2cm：4km最后求得比例尺是1:200000。
实际距离×比例尺=图上距离
例如：已知实际距离4km和比例尺1:200000则图上距离为：
图上距离÷比例尺=实际距离
例如：已知图上距离2cm和比例尺，则实际距离为：
4、图形的放大与缩小：形状相同大小不同。
根据问题中的不变量找出两种相关联的量并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解
第五单元 数学广角-鸽巢问题
1、抽屉原理(一)：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有┅个抽屉里的东西不少于两件
2、抽屉原理(二)：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体
3、抽屉原理解題的关键是正确地判断什么抽屉，什么是物体
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