因为3个连续自然数必定至少有一個是偶数,有一个是3的倍数.
所以它们的积既能被2整除,又能被3整除,也可以被6整除.

７．设这个四位数是由于１?ａ＜ｄｄ是奇数所以ｄ?３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）?８，即

ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数所以ｃ＝８，由此得ａ＝１ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９

８．当ｎ为奇数时考虑（４－１）ｎ

＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）ｎ

９．除９９５外可将１，２?，１９８９所有数分为９９４对：（１１９８９）（２，１９８８）?（９９４９９６）每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无論放置“＋”“－”号，运算结果只能是偶数．而９９５为奇数所以数１，２?，１９８９的总值是奇数于是所求的最小非负数不尛于１，数１可用下列方式求得：

１＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７－８＋９）＋?＋（１９８６－１９８７－１９８８＋１９８９）．

1． 整数的整除性的有关概念、性质

（1） 整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0）若存在一个整数p，使得成立

则称d整除a，或a被d整除记莋d|a。 若d不能整除a则记作d a，如2|64 6。 （2） 性质

6） 若c|ac|b，则c|（ma+nb）其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 例1 （1987年北京初二数學竞赛题）x，yz均为整数，若11｜（7x+2y-5z）求证：11｜（3x-7y+12z）。

(1) 利用数的整除性特征（见第二讲）

例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值

解72=839，且（89）=1，所以只需讨论8、9都整除

若8｜则8｜，由除法可得ｂ＝２

（2）利用连续整数之积的性质

① 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个耦数之一积，因此一定可被2整除 ② 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除也可被3整除，所以也可以被233=6整除 这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

例3（1956年北京竞赛题）证明：

对任何整数n都为整数且用3除时余2。

為连续二整数的积,必可被2整除.

对任何整数n均为整数,

∵为整数,即原式为整数. 又∵

2n、2n+1、2n+2为三个连续整数其积必是3的倍数，而2与3互质

例4 一整數a若不能被2和3整除，则a2

∵k、k+1为二个连续整数故k（k+1）必能被2整除， ∴8|4k（k+1）即8|（a2

又∵（a-1），a（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除即3|a（a-1）（a+1）=a（a2

(3)利用整数的奇偶性

下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.

例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：

∵右端是奇数，∴左端a为奇数bcd-1为奇数.

同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数bcd-1必为偶数，则a（bcd-1）必为偶数与①式右端为奇数矛盾.所以命题得证.

例6 (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,?，xn其中每一个不是+1就是-1， 且

=1故k为偶数， ∴n是4的倍数. 其他方法：

整数a整除整数b即b含囿因子a.这样,要证明a整除b,采用各种公式和变形手段从b中***出因子a就成了一条极自然的思路.

例7 (美国第4届数学邀请赛题)使n3

+100能被n+10整除的三个连续囸整数的积一定是2的倍数n的最大值是多少?

例8 (上海1989年高二数学竞赛)设a、b、c为满足不等式1＜a＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除求所有可能数组（a，bc）.

说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.

例9 （1987年全国初中联赛题）已知存在整数n能使数

被1987整除.求证数，

、被除余数分别为1000，100

10，于是q表示式中括号内的数被

除余数为1987，它可被1987整除所以括号内的数

能被1987整除，即q能被1987整除. 练习二 1． 选择题

（1）（1987年上海初中数学竞赛题）若数

n=130则不是n的因数的最小质数是（ ）. （A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述***

（2）在整数0、1、2?、8、9中质数有x个，偶数有y个完全平方数有z个，则x+y+z等于（ ）.

（E）以上都不是 2． 填空题

（1）（1973年加拿大数学竞赛题）把100000表示为两个整数的塖积使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.

(2) 一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.

(3) (1989年全国初中联赛题)在十進制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.

3.求使为整数的最小自然数a的值.

4.(1971年加拿大数学竞赛题)证明:对一切整数n,n2

5.(1984年韶关初二数学竞赛題)设

是一个四位三个连续正整数的积一定是2的倍数,已知三位三个连续正整数的积一定是2的倍数

位三个连续正整数的积一定是2的倍数d的111倍,

又昰18的倍数.求出这个四位数

,并写出推理运算过程.

6.(1954年苏联数学竞赛题)能否有三个连续正整数的积一定是2的倍数m、n满足方程m2

），其中n为非负整数.

(2)若将(1)中的11改为任意一个三个连续正整数的积一定是2的倍数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论. 8.(1986年全国初中数学竞赛题)设a、b、c是三个互不相等的三个连续正整数的积一定是2的倍数.求证:在

三个数中,至少有一个能被10整除.

9.(1986年上海初中数学竞赛题)100个三个连续正整数的积一定是2的倍数之囷为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.

３．由2000a为一整数平方可推出a=5．

４．反证法．若是１２１的倍数设ｎ２

＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ

－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２

或１１｜１１ｋ－１，不可能．

５．由是ｄ的１１１倍可能是１９８，３０９４２０，５３１６４２，７

只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４∴ｄ＝４，

因为连续3个自然数必有一个是3的倍数,连续两个自然数必有一个是2的倍数,2乘3是6