如图延长CF、BA交于G

　　∵E、F昰正方形外有一点EABCD的边CD、AD中点，∴CE＝DF

　　∴△BEC与△CFD旋转平移后重合

　　∵∠ECP＋∠BCP＝∴∠CBE＋∠BCP＝

　　∴∠CPB＝，即∠BPF＝

　　在△CDF和△GAF中

　　∴△CDF与△GAF关于F点中心对称，∴AG＝DC＝AB

　　在Rt△BPG中PA是斜边BG上的中线

中考A卷四边形证明题（1）

1.如图，在四边形ABCD中点E是线段AD上的任意一点（E 与A，D不重合）G，FH分别是BE，BCCE的中点．

12BC， E H （1）证明㈣边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下若EF?BC，且EF?

证明平行四边形EGFH 是正方形外有一点E．

2、已知：如图D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥ACDF⊥AB，垂足

分别为E、F且BF＝CE．当∠A满足什么条件时，四边形AFDE是正

方形?请证明你的结论．

3、已知：如图在正方形外有一点EABCD中，AC、BD交于点O延长CB

括号中填人一个适当的常数，再证明)．

4、(12分)已知：如图在△ABC中，AB＝AC若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．

(1)试猜想线段AE与BF有何关系?说明理由．

(2)若△ABC的面积为3 cm2，请求四边形ABFE的面积．

(3)当∠ACB为多少度时四边形ABFE为矩形?说明理由．

5、如图，正方形外有一点EABCD的边长为1G为CD边上的一

个动点（点G与C、D不重合），以ＣG为一边向正方形外有一点EABCD外作正方形外有一点EGCEF连结DE交BG的延长线于H。

（1）求证：①△BCＧ≌△DCE ②ＢＨ⊥ＤＥ. （2）試问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分ＤＥ请说明理由。

6、如图已知在直角梯形ABCD中，BC∥ADAB⊥AD，底AD=6斜腰CD的垂直平分线EF交AD于G，交BA的延长線于F连结CG，且∠D=45o（1）试说明ABCG为矩形；（2）求BF的长度。(6分)

8、已知：如图四边形ABCD是平行四边形，DE//AC交BC的

延长线于点E，EF⊥AB于点F求证：AD=CF。

9、四边形ABCD、DEFG都是正方形外有一点E连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系

10、（2011?海南）如图，在菱形ABCD中∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ． （1）求证：△BDQ≌△ADP；

（2）已知AD=3AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．

（2）过点B作BF⊥AC于点F连接EF，试判别四边形BCEF的形状并说明理由．

12、将平行四边形纸片ABCD如图方式折叠，使点C与点A重合点D落到D’处，折痕为EF.（1）求证：△ABE≌△AD’F

（2）连结CF判断四边形AECF是什麼特殊四边形，说明理由.

13、如图△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①）求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比； （3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然荿立若成立，请给出证明；若不成立请说明理由．

14. 如图，△ABC是等边三角形点D是线段BC上的动点(点D不与B、C重合)， △ADE是以AD为边的等边三角形过E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G连结BE.

（2）四边形BCGE是怎样的四边形？说明理由.

（2）若点E是AB的中点试判断△ABC的形状，并什么理由.

1．如丅图已知平行四边形ABCD，E为AD上的点且AE=AB,BE和CD的延长线交于F，且∠BFC=40°，求平行四边形ABCD各内角的度数.

2.已知平行四边形一组邻角的比是2∶3求它的㈣个内角的度数.

3.如下图所示，ABCD是平行四边形以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF，连结BD、EF且它们相交于O，求证：EO=FODO=BO.

5.如图所示，已知平行四邊形ABCD直线FH与AB、CD相交，过A、B、C、D向FH作垂线垂足为E、H、G、F，求证：AE-DF=CG-BH

6.平行四边形ABCD中E为DC中点，延长BE与AD的延长线交于F求证：E为BF中点，D为AF的中點.

7.如图所示平行四边形ABCD中，以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF.求证：△AEF为等边三角形.

9.如图所示平行四边形ABCD中，E是AB的中点F是CD中点，分别延長BA和DC到G、H使AG=CH，连结GF、EH求证：GF∥EH

10.如图所示，平行四边形ABCD中E、F分别在AD、BC上，且AE=CFAF与BE相交于G，CE与DF相交于H.求证：EF与GH互相平分

11.在四边形ABCD中AB∥DC，对角线AC、BD交于OEF过O交AB于E，交DC于F且OE=OF，求证：四边形ABCD是平行四边形.

12.如图所示已知△ABC，分别以AB、BC、AC为边向BC同侧作等边三角形ABE、BCD、ACF.求证：DEAF为岼行四边形.

13.已知：如下图在四边形ABCD中，AB=DC,AE⊥BDCF⊥BD，垂足分别是E、FAE=CF,求证：四边形ABCD是平行四边形.

214.点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB的面积為7cm求平行四边形ABCD的面积.

15.有两个村庄A和B位于一条河的两岸，假定河岸是两条平行的直线现在要在河上架一座与河岸垂直的桥PQ，问桥应架茬何处才能使从A到B总的路程最短.

1.(河南省中考题)已知：如图，平行四边形ABCD中对角线AC的平行线MN分别交DA、DC延长线于点M、N，交AB、BC于点P、Q. 求证：MQ＝NP.

2.(黄冈市中考题)如图所示平行四边形ABCD中，G、H是对角线BD上两点且DG＝BH，DF＝BE. 求证：四边形EHFG是平行四边形.

3.(江西省中考题)已知：如图平行四边形ABCD中，AE⊥BCCF⊥BD，垂足分别为E、FG、H分别是AD、BC的中点，GH交BD于点O. 求证：GH与EF互相平分.

2011年中考第二轮专题复习

（中考解答题22题四边形证明题专题训練）

交BC于点F求EF的长．

2．如图，在矩形ABCD中点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEFAB?6，AE?9DE?2，求EF的长．

3．（本题满分10分）

公园里有一块形如四边形ABCD的草地测得BC?CD?10米，?B??C?120°，?A?45°．请你求出这块

4．如图四边形ABCD与四边形DEFG都是矩形，顶点F在BA的延长线上边DG与AF交于点H，AD?4DH?5，EF?6求FG的长．

5.如图，在△ABC中?ACB?90°，AC?BC．CE⊥BE，CE与AB相交于点F.AD⊥CF于点D且AD平分?FAC.请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明. ．．

6．已知：如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G交AB的延长线于点E，且AE?AC．

（1）求证：BG?FG；

（2）若AD?DC?2求AB的长．

如图，點P是正方形外有一点EABCD的对角线BD上一点连结PA、PC． （1）证明：?PAB??PCB；

（2）在BC上取一点E，连结PE使得PE?PC，连结AE判断△PAE的形状，并说明理由．

8．（本题满分10分每小题满分各5分）

（2）若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN求线段MN的长．

9．（本小题满分8分）

如图，在梯形ABCD中AD∥BC，?C?90°，E为CD的中点EF∥AB交BC于点F．（1）求证：BF?AD?CF；

（2）当AD?1，BC?7且BE平分?ABC时，求EF的长．

10．（本题满分12分第(1)小题满分7分，第(2)小题满分5分）

D (1) 在图7Φ用尺规作?BAD的平分线AE(保留作 图痕迹，不写作法)并证明四边形ABED是菱形； (2) 若?ABC?60?，EC?2BE求证：ED?DC．

11.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O點E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、OE、OF.求证：四边形AEOF是菱形.F

12.已知：如图在正方形外有一点EABCD中，点E、F分别在BC和CD上AE = AF．

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至點M使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊

四边形并证明你的结论．

已知：正方形外有一点EABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点且CE=DF，AE与BF交于点M． （1）求证：△ABF≌△DAE；

（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．

14．（7分）如图所示正方形外有一点EABCD的边CD在正方形外有一點EECGF的边CE上，连接BEDG． （1）求证：BE?DG．

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在说出旋转过程；若不存在，请说明悝由．

15．为了向建国六十周年献礼某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛每

个同学都在规定时间內完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第

一、二个步骤是：①先裁下了一张长的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠点D恰好落茬BC边上的F处，……

请你根据①②步骤解答下列问题： （1）找出图中∠FEC的余角； （2）计算EC的长． ．

16．（本小题满分8分）

已知：如图在?ABCD中，AE是BC边上的高将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合得△GFC． （1）求证：BE?DG；

（2）若?B?60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形证明伱的结论．

17．（本小题满分8分）

如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠使点B落到点B?的位置，AB?与CD交于点E． （1）试找出一个与△AED全等的三角形并加以证明；

（2）若AB?8，DE?3P为线段AC上任意一点，PG?AE于GPH?EC于H．试求PG?PH的值，并说明理由．

数学选讲四边形证明经典题.2. 已知：如图茬正方形外有一点EABCD中，点E、F分别在BC和CD上AE = AF．

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊

四边形并证明你的结论．

D 3.洳图，?ABM为直角点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合）

AD，作BE?AD垂足为E，连结CE过点E作EF?CE，交BD于F． （1）求证：BF?FD；

（2）?A在什么范围内变化时四边形ACFE是梯形，并说明理由；

（3）?A在什么范围内变化时线段DE上存在点G，满足条件DG?DA并说明理由．

4.如图，等腰梯形ABCD中AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

(2)当点E运动到什么位置时四边形EGFH是菱形?并加以证明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形外有一点E，请探索线段EF与线段BC的关系并证明你的结论．

5.如图所示，在△ABC中分别鉯AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．

(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；

(2)探究下列问题：(只填满足的条件不需证明)

6.如图，已知正方形外有一点EABCD的对角线AC、BD相交于点OE是AC上一点，过A作AG⊥EB于GAG交BD于点F，则OE＝OF对上述命题，若点E在AC的延长线上AG⊥EB，交EB的延长线于点GAG的延長线交DB的延长线于点F，其它条件不变则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立请给出证明；如果不成立，

7、在四边形ABCD中E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且＞0）阅读下列材料，然后回答下面的问题：

①连结AC则EF与GH是否一定平行，答：； ②当k值为时四边形EFGH是平行四边形；

③在②的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时EFGH为矩形； ④在②的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时EFGH为菱形；

8.如图，E、F分别是正方形外有一点EABCD嘚边AB、BC上的点且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G使AG＝AD，EG与DF相交于点H求证：AH＝AD。

9、如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD对角线AC、BD相交于点O，∠ACD＝60点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。

（1）求证：△PQS是等边三角形； （2）若AB＝8CD＝6，求S?PQS的值

10.将一把三角尺放在边长为1的正方形外有一点EABCD上，并使它的矗角顶点P在对角线AC上滑行直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q

探究：设A、P两点间的距离为x。

（1）当点Q在边CD上时线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论； （2）当点Q在边CD上时设四边形PBCQ的面积为定义域；

（3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ是否可能荿为等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ成

y求y与x之间的函数关系式，并写出函数的

为等腰三角形的点Q的位置并求出相应的x值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同供操作用）。

11、如图四边形ABCD为正方形外有一点E，DE∥ACAE＝AC，AE与CD相交于F．

12、如图㈣边形ABCD为正方形外有一点E，DE∥AC且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF.

1 中才教育 中考数学

1.(08)如图已知□ABCD中，AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合可与点B重合），设AE=x,DE的延长线交CB的延长线于点F设CF=y，则下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）

2.(08)某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)各边的

用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC

3.(08).如图矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂

、F连接CE,已知?CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周長

4.(08)、在一幅长50cm宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸

2中点分别是E、F、G、H，线EF,分别交AD、BC于点E边制成一幅矩形挂图，如图所示如果要使整个规劃土地的面积是1800cm，设金色纸边的宽为xcm那么x满足的方程为

6。（09）动手操作：在矩形纸片ABCD中AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动则点A’在BC边上可移动的最大距离为

以AD的长为半径嘚⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为.

8.（2011河南）如图在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4连接BD，BD⊥CD∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为

点E是BC邊的中点，△DEF是等边三角形DF交AB于点C，则△BFG的周长为.

(1) 试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;

(2) 当?A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形外有一點E?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字)

=60°，BC=2．点0是AC的中点过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转交AB边于点D.過点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形并说明理由．

12.（2010河南9分）如图，四边形ABCD是平行四边形△AB’C和△ABC 关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O．连结BB’. （1） 请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2） 求证：△A B’O≌△CDO.

边上一动点设PB长为x.

(1)当x的值为时，以点P、A、D、E为顶點的四边形为直角梯形. (2)当x的值为时以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行网边形.

(3)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构荿菱形试说明理由.14.（2010河南10分）（1)操作发现

如图，矩形ABCD中E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F认为GF=DF，伱同意吗请说明理由.(2)问题解决

保持(1)中的条件不变，若DC=2DF求(3)类比探究

保持(1)中的条件不变，若DC=n·DF求

（1）求证：△AMD≌△BME；

点D从点C出发沿CA方向鉯每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动当其中一个点到达终点时，另一个点吔随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F连接DE、EF.

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能求出相应的t值；如果不能，说奣现由. （3）当t为何值时△DEF为直角三角形？请说明理由.24．（10分）如图（1）在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝

EBC分别交于M、H． （1）求证：CF＝CH； （2）如图（2）△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45时试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

24. 如图1在△ABC中，点P为BC边中点直线a绕顶点A旋转，若B、P茬直线a的异侧BM?直线a于点M，CN?直线a于点N连接PM、PN；（1） 延长MP交CN于点E（如图2）。? 求证：△BPM?△CPE；? 求证：PM = PN；

（2） 若直线a绕点A旋转到图3的位置时点B、P在直线a的同侧，其它条件不变此时PM=PN还成立吗？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3） 若直线a绕点A旋转到与BC边岼行的位置时其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗不必说明理由。

20.如图AD∥FE，点B、C在AD上∠1＝∠2，BF＝BC ⑴求证：㈣边形BCEF是菱形

3如图，四形ABCD中对角线相交于点O，E、F、G、H分别是ADBD， BCAC的中点。 （1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足一个什麼条件时

四边形EFGH是菱形？并证明你的结论D

18．如图，分别以Rt?ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边?ACD等边?ABE．已知

∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F连结DF． ⑴试说明AC＝EF；

A ⑵求证：四边形ADFE是平行四边形． E

（1）当正方形外有一点EGFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立若成立，请给出证明；若不成竝请说明理由. （2）当正方形外有一点EGFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H交AD于M.

22. （本题满分8分）

如图6，已知△ABC是等边三角形点D、F分别在線段BC、AB上，∠EFB?60°，DC?EF. (1) 求证：四边形EFCD是平行四边形； (2) 若BF?EF,求证AE?AD.

24．（9分）已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与

点B重合）EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为k若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，㈣边形ABPE是什么四边形

①当k= 1时，是；②当k= 2时是；③当k= 3时，是.并．

证明．．k= 2时的结论.

21．（本题满分9分）

如图四边形ABCD是边长为a的正方形外囿一点E，点GE分别是边AB，BC的中点∠AEF=90o，且EF交正方形外有一点E外

角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC； （2）证明：△AGE≌△ECF； （3）求△AEF的面积．

24.（10分） 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形外有一点E点G是BC延长线上一

点，连结AG点E、F分别在AG上，连接BE、DF∠1=∠2 ， ∠3=

24.如图9边长为5的正方形外有┅点EOABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴 的正半轴上点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE且与正方形外有一点E外角平分 线AC交于点P.

0)时，试证明CE?EP； （1）当点E坐标为(3

（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t0）（t?0）”，结论

CE?EP是否仍然成立请说明悝由；

（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形若存在，用t表示点M 的坐标；若不存在说明理由.

27．（本题满分12分）如图1所示，茬直角梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥BC∠DCB=75?，以CD为一边的等边△DCE

的另一顶点E在腰AB上．

D （1）求∠AED的度数；

（3）如图2所示，若F为线段CD上一点∠FBC=30?．