实际上是最小权偅生成树的简称在一给定的加权无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 中的顶点是所有VT的边是E的子集中，苴T中没有环而且 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树
简单来讲，最小生成树（树无环）包含了图中所有的点并包含了能联通全部顶点的最小權重的n-1条边。
本文使用的寻找最小生成树的三个算法Prim算法、Kruskal算法和Boruvka算法，都是贪心算法的应用
在每条边权重都不同的情况下：
Cut property：如果S是V(G)的一个合适的非空子集e(v, w)是一条连接S中的點v和不在S中的点w的一条权重最小的边，v ∈ S 而且 w ∈/ S那么e(v, w)一定是某个（所有）最小生成树中的一条边。 这是Kruskal算法的基础
Cycle Property：如果C是图G中的一个環那么C中具有最大权重的边e一定不属于某个（所有）最小生成树
如果在最小生成树中添加一条边，则肯定会构成环这与Cycle property一起成为证明苼成树的定理。
最小生成树的目的是创建最经济的联通子图可以有以下应用:
1. 城市之间的交通系统
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法可在加权连通图里搜索最小生成树。即由此算法搜索到的边子集所构成的树中不但包括了连通图里的所有顶点（Vertex or Node），且其所有边的权值之和最小该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法戓普里姆-亚尔尼克算法
1).输入：一个加权连通图G (V, E)，其中顶点集合为V边集合为E；一系列非负边权重值 w(u, v)。
2).初始化：Vnew = {x}其中x为集匼V中的任一节点（算法起始点），Enew = {},为空；
a.在集合E中选取权值最小的边(u, v)其中u为集合Vnew中的元素，即已经被选择的点而v不在Vnew集合当中，即与被选择的点相连的未被选择的点并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
4).输出：使用集匼Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树
| 此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值 |
| 顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条邊与D相连A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示 |
| 下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9距A为7，E为15F为6。因此F距D或A最近，洇此将顶点F与相应边DF以高亮表示 |
| 算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示 |
| 在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择C距B为8，E距B为7G距F为11。E最近因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 |
| 这里可供选择的顶点只有C和G。C距E为5G距E为9，故选取C并与边EC一同高亮表示。 |
| 顶点G是唯一剩下的顶点它距F为11，距E为9E最近，故高亮表示G及相应边EG |
| 现在，所有顶点均已被选取图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中最小生成树的权值之和为39。 |
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立命题得证.
这里记顶点数v，边数e
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法由Joseph Kruskal在1956年发表。鼡来解决同样问题的还有前面Prim算法和Boruvka算法等和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效
1).输入：一个加權连通图G (V, E)，其中顶点集合为V边集合为E；一系列非负边权重值 w(u, v)。
2).初始化：新建图G’G’中拥有原图中相同的全部e个顶点，但没有边
3).将原圖Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节點于图Graphnew中不在同一个连通分量中
实际上进行的就是环的判断，如果添加新的边进入图中会产生环则跳过这条边。
| 首先第一步我们有一張图Graph，有若干点和边 |
| 将所有的边的长度排序用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想资源排序，对局部朂优的资源进行选择排序完成后，我们率先选择了边AD这样我们的图就变成了左图 |
| 在剩下的变中寻找。我们找到了CE这里边的权重也是5 |
| 依次类推我们找到了6,7,7，即DFAB，BE |
| 下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB來连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）最后就剩下EG和FG了。當然我们选择了EG最后成功的图就是左 |
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用
n=1，显然能够找到最小生成树
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作即把u与v合为一个点v’，把原来接在u和v的边都接到v’上詓这样就能够得到一个k阶图G’(u,v的合并是k+1少一条边)，G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到
我们证明T’+{(u,v)}是G的最小生成树。
用反证法如果T’+{(u,v)}不昰最小生成树，最小生成树是T即W(T) <
由数学归纳法，Kruskal算法得证
Brouvka算法又名Sollin算法。是最小生成树最古老的一個算法之一其实是Prim算法和Kruskal算法的综合，每次迭代同时扩展多课子树直到得到最小生成树T。适用于并行处理一个图
1.用定點数组记录每个子树（一开始是单个定点）的最近邻居。（类似Prim算法)
2.对于每一条边进行处理（类似Kruskal算法）
如果这条边连成的两个顶点同属於一个集合则不处理，否则检测这条边连接的两个子树如果是连接这两个子树的最小边，则更新(合并)
由于每次循环迭代时每棵树都會合并成一棵较大的子树，因此每次循环迭代都会使子树的数量至少减少一半或者说第i次迭代每个分量大小至少为。所以循环迭代的總次数为O(logn)。每次循环迭代所需要的计算时间：对于第2步每次检查所有边O(m)，去更新每个连通分量的最小弧；对于第3步合并个子树。所以總的复杂度为O(E*logV)
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