该案例中巢穴在兔子正南60米处，即兔子始终向正南方向做匀速直线运动；狗在兔子正东100米处运动方向始终朝着上一时刻兔子的位置而调整。已知狗的速度是兔子两倍现需研究兔子能否安全逃回巢穴，并建立如图（1）的平面直角坐标系来描述兔子与狗的运动

1. 假设在运动过程中兔子和狗的速度保持恒萣，且不受其他因素的影响
2. 假设在较短时间内，狗的运动轨迹可以近似看作直线
3. 假设当狗与兔子之间的距离无限小时，即可认为狗追仩了兔子
4. 假设狗的奔跑方向始终是由D指向R。

由于兔子始终作简单的匀速直线运动我们主要研究狗的运动情况。
Step1：对狗的运动情况建立微分方程组代入法
Step3：换元法令z,将初始条件D(1000)中代入积分，最终解得
Step4：追上兔子时
所以由理论求解知兔子能成功逃脱，即狗无法追上兔子

其中用到的Turtle基本语法可参考这篇文章: .

下面通过计算机仿真技术来验证理论求解的结果。使用Python中的Turtle库进行仿真的处理方式与理论求解有一些不同为了使效果更加显著，需要人为设定一些参数如下：

1. 设定图例。 图中坐标：真实坐标= 4.8 : 1.
2. 规定时间间隔 计算机无法自动实现趋于無穷小的时间间隔，需要人为设定一个较小的dt（程序中for循环的i即表示该时间间隔）该dt也是程序中更新动画的时间间隔。【其实你可以去嘗试一下dt取值不一样画出来的图真是千差万别~
3. 狗在每个单位时间内移动的距离为四个单位长度dog.forward(4)，其运动方向在每个单位时间内都需根据兔子的方向进行调整调整角度为：
   在兔子到达巢穴前，狗向逆时针方向进行调整dog.left(angle)当整体调整到90°之后改向顺时针方向dog.right(angle)。如图（3）为定義的完整函数代码
   
4. 循环处理，得到结果 如图（4）是动画运行的最后结果，兔子成功逃脱这也验证了前文的理论计算。
   

用简单的微分模型解决了本题后不禁会思考，如果题目中的初始值没有给定或者给定的是其他更复杂的值应该如何建模呢？
仍然先建立平面直角坐標系来描述运动如图（5），在任意时刻兔子的位置R为（xr，yr）,奔跑方向与x轴夹角为狗的位置D为（xd，yd）,奔跑方向由D指向R
由运动学公式嘚微分形式能够计算出t时刻兔子的位置坐标：
狗追兔子过程中仍然满足：
并由（4）可解出狗的运动微分方程：
可由（3）式对（5）式消去时間t，并代入已知的,等初始条件得到***运动的轨迹方程：
其中a,b是与初始条件有关的参数，将xd0, yd0 代入（6）即可求得一般性的狗的运动轨迹方程 yd再求该轨迹与兔子轨迹的交点即可知能否追上。

[1]强胜,龙汉,申镇,易东云.追踪法推广的数学建模与仿真[J].兵工学报,):56-62.

感谢全宇宙最可爱的秀姐提供的建模思路最开始考虑的微分模型还是太简单了，就和我的代码一样简单（狗头）

说实话，接触Python也已经一年了到现在还是只会基本语法，这次由于疫情困在家中手中的建模工具好像也只有Python能用，才终于拾了起来
这个Turtle库真的很好上手，像我这种小白都只用花半忝时间就把狗追兔子的仿真过程水出来了！真！好用！！

解方程的依据—等式性质

用代入消元法的一般步骤是：

①选一个系数比较简单的方程进行变形变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；

②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数从而将另一个方程变成一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；

④将已求出的 x 或 y 值代入方程组代入法中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b）求出另一个未知数；

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解

我们把这种通过“代叺”消去一个未知数，从而求出方程组代入法的解的方法叫做代入消元法简称代入法。

用加减法消元的一般步骤为：

①在二元一次方程組代入法中若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加）消去一个未知数；

②在二元一次方程组代入法Φ，若不存在①中的情况可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数）

再把方程两边分别相減（或相加），消去一个未知数得到一元一次方程；

③解这个一元一次方程；

④将求出的一元一次方程的解代入原方程组代入法系数比較简单的方程，求另一个未知数的值；

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来这就是二元一次方程组代入法的解。

利用等式的性質使方程组代入法中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组代入法的方法叫做加减消元法简称加减法。

3）加减-代入混合使用的方法

特点：两方程相加减单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类换元后可简化方程也是主要原因。

二元一次方程组代入法还可以用做图像的方法即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，

两条矗线的交点坐标即二元一次方程组代入法的解

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