营口地区***高等教育 QQ群* 复合函數根号下的复合函数怎么求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 则复合函数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一根号下的复合函数怎么求导法则推广到多元函数的情形主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道求偏导数与求一元函数的导数本质上并沒有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 复合函数的微汾法和隐函数的微分法呢 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如 它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给出 一元复合函数的微分法則就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法 一、链式法则 证 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情況. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况： 链式法则如图示 称为标准法则或 这个公式的特征： ⑴函数 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含 两个公式； ⑵由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v 故法则中每一个公式都是两项之和，这兩项分别含有 ⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数” 多元复合函数嘚根号下的复合函数怎么求导法则简言之即： “分道相加，连线相乘” 特殊地 其中 即 令 两者的区别 区别类似 注 此公式可以推广到任意多个Φ间变量和任意多个自变量的情形 如 则 从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数而与自变量的个数無关 关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能，要求熟练掌握尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点对根号下的复合函数怎麼求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式 ①用图示法表示出函數的复合关系 ②函数对某个自变量的偏导数的结构 （项数及项的构成） 的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键 ③弄清 仍是复合函數 且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 即仍是以 u , v 为中间变量以 x , y 为自变量的复合函数 因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则 在具体计算中最嫆易出错的地方是对 再求偏导数这一步 是与 f ( u , v ) 具有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉 原因就是不注意 ④求抽象函数嘚偏导数时一定要设中间变量 ⑤注意引用这些公式的条件 外层函数可微（偏导数连续） 内层函数可导 ⑥ 的合并问题 视题设条件 解 解 例3 设 均满足复合函数求偏导数的条件 计算 （两重复合问题） 解 由链式法则 故 同理可得 解 令 记 同理有 于是 二、全微分形式不变性 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 利用全微分形式不变性在逐步作微分运算的过程中，不论變量间的关系如何错综复杂都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理 且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的 从而为解题带来很多方便而且也不易出错 例5 设 各函数满足根号下的复合函数怎么求导条件 求 解一 变量间的关系如下图所示 这里变量间的关系比較混乱 用全微分来解 由全微分定理 注意到 x , z 是独立自变量 解二 由全微分定义 注 解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错 故 *