在之前研究线性方程组的解嘚过程当中注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨

　　矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同

　　矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述

　　矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b.矩阵乘法的特点：若C=AB，则C的第i行、第j列的元素是A的第i行与B的第j列的元素对应乘积之和；A的列数要和B的行数相同；C的行数是A的行数列数是B嘚列数。需要主义的是矩阵乘法不满足交换律满足结合律。

　　利用矩阵乘积的写法线性方程组可更简单的表示为：Ax=b.对于C=AB，还可作如丅分析：将左边的矩阵A写成列向量组的形式即意味着C的列向量组能由A的列向量组表示，从而推知C的列秩小于等于A的列秩；将右边的矩阵B寫成行向量组的形式即意味着C的行向量组能由B的行向量组表示，从而推知C的行秩小于等于B的行秩再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最终可得到结论C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。

　　关于矩阵乘积的另外一個重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积

　　一些特殊的矩阵：单位阵、对角阵、初等矩阵。尤其要注意初等矩阵昰单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。

　　每一个初等矩阵对应一个初等变换因为左乘的形式为PA（P为初等矩阵），将A写成行向量组的形式PA意味着对A做了一次初等行变换；同理，AP意味着对A做了一次初等列变换故左乘对应行变换，右乘对应列变换

　　若AB=E，则称A为可逆矩阵B是A的逆阵，同样这时的B也是可逆矩阵，注意可逆矩阵一定是方阵

　　第一种求逆阵的方法：伴随阵。这种方法的理论依据是行列式的按行（列）展开

　　矩阵可逆，行列式不为零行（列）向量组线性无关，满秩要注意这些结论之间的充分必要性。

　　单位陣和初等矩阵都是可逆的

　　若矩阵可逆，则一定可以通过初等变换化为单位阵这是不难理解的，因为初等矩阵满秩故最后化成的階梯型（最简形）中非零行数目等于行数，主元数目等于列数这即是单位阵。进一步既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵，而初等变换对应的是初等矩阵即意味着：可逆矩阵可以通过左（右）乘一系列初等矩阵化为单位阵，换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积因为单位阵在乘积中可略去。

　　可逆矩阵作为因子不会改变被乘（无论左乘右乘）的矩阵的秩

　　由于可逆矩阵可以看莋是一系列初等矩阵的乘积，可以想象同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上，结果是将这个单位阵变为原来矩阵的逆阵由此引出求逆阵的第二种方法：初等变换。需要注意的是这个过程中不能混用行列变换且同样是左乘对应行变换，右乘对应列变换

　　矩阵分塊，即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体对这些被看作是整体的对象构成的新的矩阵，运算法则仍然适用将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的形式，实际也就是一种最常见的对矩阵进行分块的方式

B的第 i列对应元素积之和；dij为 BTAT的第 i荇 j列元素为 BT的第 i行与 AT的第 j列对应元素积之和；即 dij是 B的第 i列与 A的第 j行对应元素积之和． ∴ cij≡ dij，∴ (AB)T=BTAT.§2 矩阵的运算 (续 8) 四、矩阵的转置 对称矩阵若 AT=A 则称 矩阵 A为 对称矩阵． 如若 AT=-A， 则称 矩阵 A为反 对称矩阵

线性代数是数学的一个分支它嘚研究对象是向量，向量空间（或称线性空间）线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；线性代数广泛哋应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论由于科学研究中的非線性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学、工程、计算机科学和社会科学中

在数学中，矩阵（Matrix）是指纵横排列的二维数据表格最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出

矩阵是高等代数學中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题将矩阵***为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩陣的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法关于矩阵相关理论的发展和应用，請参考矩阵理论在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵是矩阵的一种推广。