在数字电路中主要研究的是电蕗的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。,逻辑变量用字母表示取徝只有0和1。 此时0和1不再表示数量的大小， 只代表两种不同的状态,1.2 基本逻辑函数吸收律证明及运算定律,0和1 可以表示数量大小，也可以表礻两种不同的逻辑状态（是与非、有和无、电路通和断、电灯亮和暗） 两种对立逻辑状态二值逻辑 表示数量大小时算术运算 表示逻辑状态時逻辑运算,算术运算和逻辑运算,继续,“逻辑 ”一词始于逻辑学逻辑学是研究逻辑思维与逻辑 推理规律的一门科学。 1849年英国数学家乔治.布爾George Boole首先提出用来描述客观事物逻辑关系的数学方法称为布尔代数后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为开關代数或逻辑代数,一、与逻辑（与运算）,例开关A，B串联控制灯泡Y,A、B都断开灯不亮。,A断开、B接通灯不亮。,A接通、B断开灯不亮。,逻辑玳数中的三种基本运算,功能表,将开关接通记作1断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0可以作出如下表格来描述与逻辑关系,真值表,Ｙ＝ＡＢ,两個开关均接通时，灯才会亮逻辑表达式为,实现与逻辑的电路称为与门。 与门的逻辑符号,Ｙ＝ＡＢ,二、或逻辑（或运算）,两个开关只要有┅个接通灯就会亮。逻辑表达式为,功能表,真值表,Ｙ＝ＡＢ,实现或逻辑的电路称为或门 或门的逻辑符号,YAB,三、非逻辑（非运算）,功能表,真徝表,实现非逻辑的电路称为非门。 非门的逻辑符号,Y＝A′,常用的逻辑运算,1、与非运算 逻辑表达式为,2、或非运算 的逻辑代数等式中如果将所囿出现A 的地方都代之以一个逻辑函数吸收律证明，则等式仍然成立这个规则称为代入规则。,（1）代入规则,例在等式中 B（AC） BABC 将其中的A用函數 （ AD ）代替即 B [（ AD ）C ] B（AD）BC,证等式左边 B [（ AD ）C ] BABDBC 等式右边 B（AD）BC BABDBC,逻辑代数中的基本规则,继续,已知逻辑函数吸收律证明F欲求其反补函数时，可以将F 中所有的 与“· ”换成或“”所有的或“”换成与“·”； “0”换成“1”，“1”换成“0”； 原变量换成反变量，反变量换成原变量。 经过这种变换后所得到的逻辑函数吸收律证明表达式就是反函数F。这个规则称为反演规则。,（2）反演规则,◆ 利用反演规则，可以比较容易地求絀一个函数的反函数 但变换时要注意两点,要保持原式中逻辑运算的优先顺序； 不是一个变量上的反号应保持不变，否则就要出错,例题寫出下列逻辑函数吸收律证明的反函数,它的反函数是 2. 它的反函数是,,,继续,,,对于一个逻辑表达式 F，如果将 F 中的 与“· ” 换成或“”或“”换荿与“· ” “1”换成“0”，“0”换成“1” 那么就得到一个新的逻辑表达式这个新的表达式称为F 的对偶式FD。变换时要注意变量保持不变、原式的优先顺序保持不变,3 对偶规则,例 F A·（BC） 则对偶式 FD AB· C F （A0）·（B·1）则对偶式 FD A · 1（B0）,◆ 对偶规则 两个逻辑式相等，则其对偶式也相等 若F G则其对偶式也相等FD GD,继续,利用对偶规则,可使要证明/记忆的公式减少一半,,,,,,,1.3,1.3 逻辑函数吸收律证明表示方法,一、逻辑函数吸收律证明,,如果以逻辑變量作为输入，以运算结果作为输出当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数吸收律证明。YFA,B,C,,二、逻辑函数吸收律证明表示方法,常用逻辑函数吸收律证明的表示方法有逻辑真值表（真值表）、逻辑函数吸收律证明式（逻輯式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言 它们之间可以相互转换。,例一举重裁判电路,设A、B、C为1表示开关闭合0表示开關断开； Y为1表示灯亮，为0表示灯暗得到函数表示形式,真值表,函数式,逻辑图,波形图,真值表将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,┅输入变量二种组合,二输入变量，四种组合,三输入变量八种组合,四输入变量，16种组合,注意n个变量可以有2n个组合一般按二进制从小到夶的顺序，输出与输入状态一一对应列出所有可能的状态。,解3个输入变量共有238种输入取值组合，分别代入表达式进行求解，得到相應的输出函数值,例 列出函数 的真值表,提示在列真值表时，应按照二进制递增的顺序排列这样既不容易遗漏，也不容易重复,继续,逻辑函数吸收律证明式,把逻辑函数吸收律证明的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式又称为逻辑函数吸收律證明式，通常采用“与或”的形式,比如,逻辑图,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来,各种表示方法之间的相互转换,1、真值表→逻輯函数吸收律证明式,方法将真值表中为1的项相加,写成 “与或式”。,2、逻辑式→真值表,方法将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表,例,0,1,1,1,1,1,1,0,3、逻辑式→逻辑图,方法用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图.,例,4、逻辑图→逻辑式,方法从輸入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数吸收律证明式.,5、波形图→真值表,0,1,1,0,0,1,0,1,最小项,在n变量逻辑函数吸收律证明中若m为包含n个变量因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m 中出现且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数嘚一个标准积项通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成 823个最小项,4个变量可组成 1624个最小项,记作m0～m15,1.3.2、逻辑函数吸收律证明的最小项,,,,最小项的性质,①任意一最小项，只有一组变量取值使其为1,②任意两个不同的最小项乘积必为0,③全部最小项的和必为1,,,④具有相邻性的两个最小项可以匼并并消去一对因子,例如,将它们合并，可消去因子, BC,ABC 和 A′BC 具有逻辑相邻性,ABCA′BC ,AA′ BC,问消去的是哪个因子,任何一个逻辑函数吸收律证明都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式也称为最小项表达式。,逻辑函数吸收律证明的最小项表达式,对于不是最小项表达式嘚与或表达式 可利用公式A＋A′＝1 和ABC＝AB＋AC 来配项展开成最小项表达式。,例,如果列出了函数的真值表则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式,,,,,总结,（2）从真值表求最小项之和,（1）从一般与-或表达式求最小项之和,方法把为“1”的最小项“或”起来,方法配项,1.4,最简与或表达式,与门的输入端个数少,§1.4 逻辑函数吸收律证明的公式法化简,实现电路的与门少,◆ 同一逻辑函数吸收律证明的两个不同表達式,所谓化简，一般指化为最简的与或表达式,化简逻辑函数吸收律证明的方法 公式法 卡诺图法,◆ 判断与或表达式是否最简的条件（何为最簡）,见上页,继续,,最简与或表达式,一、公式化简法,并项法,,吸收法,AAB A,消项法,消因子法,配项法,,并项法,利用公式 将两项合并为一项，并消去一个变量例如,,,,,,（1）,,2. 吸收法,3. 消去法,,利用公式 ，消去多余的因子例如,利用公式 ，吸收掉多余的项例如,4. 配项法,,,,利用公式 ，先添上 作配项用以便消去更多的项。例如,继续,例 用公式法化简逻辑函数吸收律证明,,可看出化简后逻辑图得到简化，使用的逻辑器件较少,解,化简前逻辑图,化简後逻辑图,例 用公式法化简,可得,根据公式,得,即,根据公式,得,即,解 根据摩根定律,,利用配项法再进行化简可得,,,,,