第一章初等函数 参考学时：4学时 主要内容：函数的定义定义域；分段函数、导数复合函数求导的意义；函数的基本特性；初等函数的定义。 教学目的：理解函数的定义会求函数的定义域；理解分段函数、导数复合函数求导的意义；掌握函数的基本特性；理解初等函数的意义，会建立函数关系式 重点：函数、导数复合函数求导、求定义域、建模。 难点：复和函数、建模 课 题 §1-1变量与函数 §1-2初等函数 课 时 4课时 教 学 目 的 理解函数、导数複合函数求导、初等函数的定义；掌握基本初等函数的特性；会求函数的定义域；会建立函数模型解决实际问题。 重点 难点 重点：①函数；②导数复合函数求导；③求定义域；④建模 难点：①复和函数；②建模。 教学过程 §1.1变量与函数 一、常量与变量 1．定义 在过程进行中始终保持不变的量叫常量；在过程进行中可以取不同数值的量叫变量 常量一般用a，、b、c、α，β ……等字母表示； 变量一般用x、y、z、u、v、w……等字母表示 二、区间与邻域 1．区间 区间是介于两个实数间的所有实数的集合。设有两个实数数集称为开区间，记作（ab），即（ab）= 数集闭区间，记作［ab］，即[ab]= ，这里a、b为端点。类似地可定义： [a b]= （a，b]= 称之为半开半闭区间. 称b-a为区间长度以上区间长度有限，称为有限区间否则为无限区间： －∞）＝ （a，+ ∞）= （－∞b） （－∞，b）={x | x< b} （－∞ + ∞）= } 图示（教材第2页图1-1、1-2） 探究：有穷区间与无穷區间是否都是无限集？ 2．邻域 设aδ>0为两个实数， 数集｛x| |x-a|<δ｝））｝｝）– a | <δ｝ 　 探究：分段函数是一个还是多个函数 6．函数建模举例 ②、函数的几种特性 1．函数的单调性 设函数f（x）的定义域为数集Ｄ，区间Ｉ∈Ｄ若对于区间Ｉ内任意两点x1，x2当x1 < x2时，恒有f（x1）< f（〈x2〉〉）有 f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）） 恒成立，则称f（x）为偶函数（或奇函数） 例如 f（x）=，因f（x）=（-=f（x）故f（x）=为偶函数； 再如，f（x）=因f（-x）=（-=-f（x）， 故f（x）=为奇函数； 奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于y轴对称，图示（P7图1-9） 注：不能说函数f（x）非奇则偶例如f（x）= x+1，既不是偶函数也不是奇函数 3．周期性 设f（x）的定义域为D，若有在一不为零的正常数T使得 F（x+T）=f（x） 成立，则称f（x）为周期函数其中T为周期。 探究：周期函数f（x）的周期T是否唯一为什么？ 答：不唯一；因为f（x+2T）=f[（x+T）+T]=f（x+T）=f（x） 即f（x+2T）=f（x）故2T也为f（x）的周期，且KT（K>0）在（01）内是无界的。 探究： 1．f（x）的上（下）界或界是否唯一为什么？ 2．闭区间[ab]上单调的函数是否有界？开区间（ab）内单调的函数是否有界？为什么若有界，证明之若无界试举反例说明。 三、反函数 1．定义（略） 2．反函数存在定理（略）——只作一般了解 3．互为反函数图像间的关系。 Y=f（x）与y=在同一坐标系里图像关于直线y=x对称 例题（P9）例6求函数y=在x [1， +∞]的反函数 解 由得x+=而= x-故x=+所以所求的反函数為 Y=+ （x≥0）§1.2初等函数 一、基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 1．幂函数 形如y=xμ（μ为常数）的函数叫幂函数。定义域随μ值的不同而不同。例如y=xy=的定义域为（-∞，+∞）；y=的定义域为[0 +∞）。常见的幂函数的图像看教材P12图1-11 2．指数函数 形如y=（a>0a≠1）的函数叫指数函数，其定义域为（-∞+∞）、值域W={y|y>0}，且图像都过（01）点。 当a>1时y=在（-∞，+∞）是单调增加的唎如y= 0<a<1时y=在（-∞，+∞）是单调减的例如y=，其图像参看教材P12 图1-12 3．对数函数 形如y=（a>0 a≠1）的函数叫对数函数。其定义域为（0 +∞），值域为 （-∞+∞） 当a>1时，y=在（0 +∞）上是单调增的，如y=； 当0<a<1时y=在（0， +∞）上是单调减的如y=其图像参看教材P12图1-13。 4．三角函数与反三角函数 三角函數（参阅教材P12） 反三