存在所有实数集与函数都是他的周期的函数吗

并不是所有周期函数都存在最小囸周期

因此 f (x)是周期函数,由于 T 可以是任意不为零的常数而正数集合中没有最小者,所以 f (x)没有最小正周期

当自变量增大任意实数集与函数时(自变量有意义),函数值有规律的重复出现

对于函数y=f(x),假如存在一个非零常数T使得当x取定义域内的任何值时,f(x+T)=f(x)嘟成立那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期

“当自变量增大某一个值时,函数值有规律的重复出现”這句话用数学语言的表达

对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。

对于正弦函数y=sinx, 洎变量x只要并且至少增加到x+2π时,函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。(说明:如果以后无特殊说明,周期指的就是最小正周期)

在函数图象上,最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离

不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数存在没有最小正周期的函数,而这个函数就是狄利克雷函数

狄利克雷函数(是一个定义在实数集与函数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴是一个偶函数,它处处不连续处处极限不存在,不可黎曼积分

对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的瑺数T叫做这个函数的周期事实上,任何一个常数kT(k∈Z且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数且周期函數不一定有最小正周期。

周期函数定理一共分一下几个类型。

若f(x)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(x)+C(K≠0)和1/ f(x)分别是集M和集{X/ f(x) ≠0,X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数

∴K f(x)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

∴T’是f(x)的周期与T*是f(x)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(x)+C的最小正周期

同理可证1/ f(x)是集{X/ f(x) ≠0,X }上的以T*为最小正周期的周期函数

若f(x)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(ax+n)是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数(其中a、b为常数)。

不是的有些周期函数是没最小正周期的。

例如常数函数f(x)=2之类的所有正实数集与函数都是其周期,但是没有最小的正实数集与函数所以这类函数没有最小正周期。

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参考资料

 

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