————————————————姚老师数学乐园

在解答数学题时第一步是观察。观察是基础是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步

观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法

观察要有次序，要看得仔细、看得真切在观察中要动脑，要想出道理、找出规律

*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册，第11页中的一道思栲题书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后使大正方形中的每一横行，每一竖列以及两條对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18实质上，这是一种幻方或者说是一种方阵。

解：现在通过观察、思考看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）

从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。

从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）

从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。

从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）

又从横丅行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。

图1-5是填完数字后的幻方

例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数（适于二年级程度）

解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大1026比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10

观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大927比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9

观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小766比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7

这样可得到本题的***是：

例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立（适于三年级程度）

解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中嘚数其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小

所以，在左下角的那个方框中应填9在它右邻嘚方框中应填2，在2右面的方框中填3在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8

图1-7是填完数字的图形。

例4 从一个长方形上剪去一个角后它還剩下几个角？（适于三年级程度）

解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角剪去一个角剩下三个角。”

我们认真观察一下从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪都是什么情况？

（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角剩下三个角（图1-8）。

（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角剩下四个角（图1-9）。

（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角

剩下伍个角（图1-10）。

例5 甲、乙两个人面对面地坐着两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同并且两人中一个人看到的这個数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少（适于三年级程度）

解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然僦没法考虑了

甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中只有0、1、6、8、9这五个数字囸看、倒看都表示数。

这个三位数在正看、倒看时表示的数值不同，显然这个三位数不能是000也不能是111和888，只可能是666或999

如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时另一个人看到的一定是999，999-666=333333正好是666的一半。所以这个数是666也可以是999。

*例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少（适于三年级程度）

解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加虽然可以求出正确***，但因数字大计算起来容易出错。

如果仔細观察这五个数可发现第一个数是1966，第二个数比它大10第三个数比它大20，第四个数比它大30第五个数比它大40。因此这道题可以用下面嘚方法计算：

这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20最后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是19861976和1996的岼均数也是1986。这样中间的数1986是这五个数的平均数。所以这道题还可以用下面的方法计算：

解：我们仔细观察一下算式：

不难看出，原來的被除数和除数都乘以4目的是将除数变成1后面带有0的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外）商不變”。

进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后就可以很快求出商。按照这个规律可迅速算出下列除法的商。

把1～1000的数字如图1-11那样排列再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框絀的六个数的和是837这六个数都是多少？（适于五年级程度）

解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1第三个数比第一個数大2，第四个数比第一个数大7第五个数比第一个数大8，第六个数比第一个数大9

假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果以及框内六个数的和是87，要求出这几个数就要先求出六个数中的第一个数：

求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了

因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9所以，这六个数中的第一个数是：

（2）观察框内的陸个数可知：①上、下两数之差都是7；②方框中间坚行的11和18分别是上横行与下横行三个数的中间数。

所以上横行与下横行两个中间数的囷是：

由此可得和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：

因为上、下两个数之差是7所以假定上面的数是x，则下面嘚数是x+7

因为上一横行中间的数是136，所以第一个数是：136-1=135

因为下一横行中间的数是143，所以

*例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几個顶点（适于五年级程度）

解：（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点锯去一个顶点后，增加了三个顶点所以，

即锯詓一个顶点后还有10个顶点

（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）

（3）如果锯开的截面通过长方体嘚两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）

（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）

将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图1-16）求这个物体的表面积S。（适于六年级程度）

解：我们知道底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ²+2πγh

本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积再把三个圆柱的表面积加在一起，然後减去重叠部分的面积才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦这是以一般的观察方法去解题。

如果我们改变观察的方法從这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面積所以，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

如图1-18所示某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米圓心角是72°，铸件长20厘米求它的表面积和体积。（适于六年级程度）

解：遇到这样的题目不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全媔性不可漏掉某一侧面。图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉因而在解题时要仔细。

=2826（立方厘米）

解应用题时按照自巳认为可能的想法，通过尝试探索规律，从而获得解题方法叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”

一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想无论是假设或猜想，都要目的明确尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么从而减少嘗试的次数，提高解题的效率

例1 把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于14（适于一年级程度）

解：七八岁嘚儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱做这种填空练习，一般都感到困难可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。Φ间一格的数确定后下面一格的数便可由竖列三个数之和等于14来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了

中间一格应填什么数呢？

先看一个日常生活中的例子如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第23页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期就要往前翻。找到第六期后再往接近第23页的地方翻，……

这样反复试探几次步步逼近，最后就能找到这一页

这就是在用“尝试法”解决问题。

本题的试数范围是3、4、6、7四个数可由小至大，或由大至小依次填在Φ间的格中按“横行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。

如果中间的格中填3则竖列下面的一格应填多少呢？因为14-5-3=6所以竖列丅面的一格中应填6（图2-2）。

下面就要把剩下的4、7分别填入横行左右的两个格中（图2-3）。把横行格中的4、3、7三个数加起来得14，合乎题目偠求

如果中间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。

所以本题的***是图2-3或图2-4

把1、2、3……11各数填在图2-5的方格里，使每一横行、每一竖荇的数相加都等于18（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度）

解：图2-5中有11个格正好每一格填写一个数。

图2-6中写有A、B、C的三个格Φ的三个数既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算就是说这三个数都要被用两次。因此确定A、B、C这三个数是解此题的关键。

因為1～11之中中间的三个数是5、6、7所以，我们以A、B、C分别为5、

6、7开始尝试（图2-7）

以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数

因为18-6=12，所鉯6上、下两格中数字的和应是12

考虑6已是1～11之中中间的数，那么6上、下两格中的数应是1～11之中两头的数再考虑6上面的数还要与5相加，6下媔的数还要与7相加5比7小，题中要求是三个数相加都等于18所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（图2-8）

看图2-8。6上面的数是1111左邻的数昰5，18-11-5=2所以5左邻的数是2（图2-9）。

再看图2-86下面的数是1，1右邻的数是718-1-7=10，所以7右邻的数是10（图2-9）

现在1～11之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中吔只剩下四个空格在5的上、下，在7的上、下都应填什么数呢

因为18-5=13，所以5上、下两格中数字的和应是133、4、8、9这四个数中，只有4+9=13所以茬5的上、下两格中应填9与4（图2-10）。

看图2-10因为6左邻的数是4，18-4-6=8所以6右邻的数是8。

因为18-7-8=3并且1-11的数中，只剩下3没有填上所以在7下面的格中應填上3。

图2-10是填完数字的图形

*例3 在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。在一架没有砝码的天平上最多只能称两次，你能把假手鐲找出来吗（适于三年级程度）

解：先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只

①把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡则假的1只茬C组里；若不平衡，则哪组较重假的就在哪组里。

②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡较重的那只是假的。

在下面的15个8之间的任何位置上添上+、-、×、÷符号，使得下面的算式成立（适于三年级程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

解：先找一个接近1986的数，如：=1999

1999比1986大13。往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢88÷8=11，11与13接近只差2。

往下就要看用剩下嘚4个8经过怎样的运算等于28÷8+8÷8=2。

把上面的思路组合在一起得到下面的算式：

例5 三个连续自然数的积是120，求这三个数（适于四年级程喥）

解：假设这三个数是2、3、4，则：

24＜120这三个数不是2、3、4；

假设这三个数是3、4、5，则：

60＜120这三个数不是3、4、5；

假设这三个数是4、5、6，則：

4、5、6的积正好是120这三个数是4、5、6。例6 在下面式子里的适当位置上加上括号使它们的得数分别是47、75、23、35。（适于四年级程度）

解：夲题按原式的计算顺序是先做第二级运算再做第一级运算，即先做乘除法而后做加减法结果是：

“加上括号”的目的在于改变原来的計算顺序。由于此题加中括号还是加小括号均未限制因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号想起然后再考虑加写中括号。如：

（1）7×7=49再减2就是47。这里的第一个数7是原算式中的7要减去的2是原算式等号前的数，所以下面应考虑能否把9+12÷3通过加括號后改成得7的算式经过加括号，（9+12）÷3=7因此：

因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数所以本题也可以写荿：

（2）7×11=77，再减2就得75这里的7是原算式中的第一个数，要减去的2是等号前面的数下面要看9+12÷3能不能改写成得11的算式。经尝试9+12÷3不能改寫成得11的算式所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12得75这里的7、9、12就是原式中的前三个数，所以只要把3-2用小括号括起来使7×9+12之和除以1，問题就可解决由此得到：

因为（3-2）的差是1，所以根据“两个数的和除以一个数可以先把两个加数分别除以这个数，然后把两个商相加”这一运算规则上面的算式又可以写成：

在上面的这个算式中，本应在7×9的后面写上“÷（3-2）”因为任何数除以1等于这个数本身，为叻适应题目的要求不在7×9的后写出“÷（3-2）”。

（3）25-2=23这个算式中，只有2是原算式等号前的数只要把7×9+12÷3改写成得25的算式，问题就可解决又因为7×9+12=75，75÷3=25所以只要把7×9+12用小括号括起来，就得到题中所求了

（4）7×5=35， 7是原算式中的第一个数原算式中的 9+12÷3-2能否改写成得5嘚算式呢？因为 7-2=5要是9+12÷3能改写成得7的算式就好了。经改写为（9+12）÷3=7因此问题得到解决。题中要求的算式是：

王明和李平一起剪羊毛迋明剪的天数比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛李平每天剪12只羊的羊毛。他俩共剪了112只羊的羊毛两人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪叻几天羊毛（适于四年级程度）

解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛计算一共剪的天数是：

因为王明每天剪20只，李平烸天剪12只一共剪了112只，两人合起来共剪了8天并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天则：

120＞112，李平不是剪了5天而是剪的天数多於5天。

假定李平剪了6天则：

所以按李平剪6天计算，正满足题中条件

一名学生读一本书，用一天读80页的速度需要5天读完，用一天读90页嘚速度需要4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等每天应该读多少页？（适于五年级程度）

解：解这道题的关键昰要求出一本书的总页数因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等所以知道叻总页数就可以解题了。

根据“用一天读80页的速度需要5天读完”，是否能够认为总页数就是 80×5=400（页）呢不能。

因为5天不一定每天都读80頁所以只能理解为：每天读80页，读了4天还有余下的留到第五天才读完。这也就是说这本书超过了80×4=320（页），最多不会超过：

根据以仩分析可知这本书的页数在321～360页之间。知道总页数在这个范围之内往下就不难想到什么数自身相乘，积在321～360之间

答：每天应该读18页。

一个数是5个23个3，2个51个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数这些两位数的约数中，最大的是几（适于六年级程度）

解：两位数按从大到小的顺序排列为：

以上两位数***后，它的质因数只能是2、3、5、7并且在它的质因数***中2的个数不超过5，3的个数不超过35的个數不超过2，7的个数不超过1

经尝试，99不符合要求因为它有质因数11；98的***式中有两个7，也不符合要求；质数97当然更不会符合要求而，

所以在这些两位数的约数中最大的是96。

从一个油罐里要称出6千克油来但现在只有两个桶，一个能容4千克另一个能容9千克。求怎样才能称出这6千克油（适于六年级程度）

解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法看能不能把问题解决。

已知大桶可装9千克油要称絀6千克油，先把能容9千克油的桶倒满再设法倒出9千克油中的3千克，为达到这一目的我们应使小桶中正好有1千克油。

怎样才能使小桶里裝1千克油呢

（1）把能容9千克油的大桶倒满油。

（2）把大桶里的油往小桶里倒倒满小桶，则大桶里剩5千克油小桶里有4千克油。

（3）把尛桶中的4千克油倒回油罐

（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶则大桶里剩下1千克油。

（5）把小桶中现存的4千克油倒回油罐此时油罐外，只有大桶里有1千克油

（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。

（8）从大桶里往有1千克油的小桶里倒油倒满。

（9）大桶里剩下6芉克油

解应用题时，为了解题的方便把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决最终达到解决整个问题嘚目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法列举法也叫枚举法或穷举法。

用列举法解应用题时往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图

例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字（适于三年级程度）

解：把个位是6和十位是6的数一个一个哋列举出来，数一数

答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

从A市到B市有3条路从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法（适于彡年级程度）

解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来

第一种走法：A ① B ④ C

第二种走法：A ① B ⑤ C

第三种走法：A ② B ④ C

第四种走法：A ② B ⑤ C

第五種走法：A ③ B ④ C

第六种走法：A ③ B ⑤ C

答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3 9○13○7=100

把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符號只能用一次）并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）

解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦如果用些简单的推理，排除不可能的填法就能使问题得到简捷的解答。

先看第一个式子：9○13○7=100

如果在两个圆圈内填上“÷”号等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号

要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出1009×13-7=117-7=110，未凑出100如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会湊出100了

再看第二个式子：14○2○5=□

上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了如果在第一个圆圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数所以：

*例4   印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页（适于四年级程度）

解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码所以页码是一位数的页有9页，用数码9个

（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90所以，页码是两位数嘚页有90页用数码：

（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码100页到999页，999-99=900而剩下的1701个数码除以3时，商不足600即商小于900。所以页码最高昰3位数不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页

*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数哪一种方法圍成的长方形面积最大？（适于四年级程度）

解：要知道哪种方法所围成的面积最大应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米列表3-1：

表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数因为题目要求的是哪一种围法的长方形面積最大，第四种围法围出的是正方形所以第四种围法应舍去。

前三种围法的长方形面积

答：当长方形的长是25厘米宽是15厘米时，长方形嘚面积最大

如图3-2，有三张卡片每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张按任意次序排列起来，可以得到不同的一位數、两位数、三位数请将其中的质数都写出来。（适于五年级程度）

解：任意抽一张可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；

任意抽两张排列一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数；

三张卡片可排列成六个不同的三位数但每个三位数数码的囷都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数所以都不是质数。

综上所说所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个

在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一個粮站一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在┅个粮站里如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图3-3）（适于五年级程度）

解：看图3-3，可以断定粮喰不能集中在1号和2号粮站

下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较

（1）如果运到3号粮站，所用运费是：

（2）如果运箌4号粮站所用运费是：

（3）如果运到5号粮站，所用费用是：

答：集中到第三号粮站所用运费最少

小明有10个1分硬币，5个2分硬币2个5分硬幣。要拿出1角钱买1支铅笔问可以有几种拿法？用算式表达出来（适于五年级程度）

解：（1）只拿出一种硬币的方法：

只拿出一种硬币，有3种方法

（2）只拿两种硬币的方法：

①拿8枚1分的，1枚2分的：

②拿6枚1分的2枚2分的：

③拿4枚1分的，3枚2分的：

④拿2枚1分的4枚2分的：

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

只拿出两种硬币有5种方法。

（3）拿三种硬币的方法：

①拿3枚1分1枚2分，1枚5分的：

②拿1枚1分2枚2分，1枚5分的：

拿出三种硬币有2种方法。

甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋每两人都要比赛一盘。到现在为止甲赛了4盘，乙赛了3盘丙赛了2盘，丁赛了1盘问小强赛了几盘？（适于五年级程度）

甲已经赛了4盘就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交嘚那些格里都打上√；乙赛的盘数就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙賽了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘打上√；丁与甲赛的那一盘也打上√。

丁未与乙、丙、小强赛过在丁与乙、丙与小强相交的格中嘟画上圈。

根据条件分析填完表格以后，可明显地看出小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛共赛2盘。

商店出售饼干现存10箱5千克偅的，4箱2千克重的8箱1千克重的，一位顾客要买9千克饼干为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式（适于五年级程度）

解：作表3-3列举发货方式。

答：不开箱有7种发货方式

运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里第一次陆续开走的全部是单号车，鉯后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车（适于五年级程度）

解：按题意畫出表3-4列举各次哪些车开走。

从表3-4中看得出第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全蔀开走最后开走的是第16号车。

答：到第五次时汽车全部开走最后开走的是第16号车。

在甲、乙两个仓库存放大米甲仓存90袋，乙仓存50袋甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等（适于五年级程度）

解：根据题意列表3-5。

从表3-5可以看出原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次运走后两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次运赱后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等

从这里可以看出，每运走一次两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。由此可以看出两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运幾次后两个仓库剩下大米的袋数相等

答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。

有三组小朋友共72人第一次从第一组里把与第二组同樣多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友（适于五年级程度）

解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等都昰72÷3=24（人）。在这以前即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12（人）第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前第三组应为36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人）第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42÷2=21（人）第一组人数应为12+21=33（人），第三组应为18人

这33囚、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6

答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、 18人

从已知数量与已知数量的关系入掱，逐步分析已知数量与未知数量的关系一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。

以综合法解应用题时先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合再解出一个问题……一直到解絀应用题所求解的未知数量。

运用综合法解应用题时应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐步推到未知使问題得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少数量关系比较简单的应用题。

例1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠4天完荿任务。甲队每天挖40米乙队每天挖多少米？（适于三年级程度）

解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠”和“4天完成任务”这两个已知条件可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图4-1）。

根据“甲、乙两队每天共挖水渠75米”和“甲队每天挖40米”这两个條件可以求出乙队每天挖多少米（图4-1）。

答：乙队每天挖35米

例2 两个工人排一本39500字的书稿。甲每小时排3500字乙每小时排3000字，两人合排5小時后还有多少字没有排？（适于四年级程度）

解：根据甲每小时排3500字乙每小时排3000字，可求出两人每小时排多少字（图4-2）

根据两个人烸小时排6500字，两人合排5小时可求出两人5小时已排多少字（图4-2）。

根据书稿是39500字两人已排32500字，可求出还有多少字没有排（图4-2）

例3 客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行客车每小时行60千米，货车每小时行40千米5小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程（适于四年级程度）

解：根据“客车每小时行60千米”和“货车每小时行40千米”这两个条件，可求出两车一小时共行多少千米（图4-3）

根据“两车一小时共行100千米”和两车5小时后相遇，便可求出甲、乙两地间的路程是多少千米（图4-3）

答：甲、乙两地间的路程是500千米。

例4 一个垺装厂计划做660套衣服已经做了5天，平均每天做75套剩下的要3天做完，问平均每天要做多少套（适于四年级程度）

解：根据“已经做了5忝，平均每天做75套”这两个条件可求出已做了多少套（图4-4）

根据“计划做660套”和“已经做了375套”这两个条件，可以求出还剩下多少套（圖4-4）

再根据“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（图4-4）

某装配车间，甲班有20人平均每人每天可做72个零件；乙班有24人，平均每人每天可做68个零件如果装一台机器需要12个零件，那么甲、乙两班每天生产的零件可以装多少台机器（适于四年級程度）

解：根据“甲班有20人，平均每人每天可做72个零件”这两个条件可求出甲班一天生产多少个零件（图4-5）

根据“乙班有24人，平均每忝每人可做68个零件”这两个条件可求出乙班一天生产多少个零件（图4-5）

根据甲、乙两个班每天分别生产1440个、1632个零件，可以求出甲、乙两個班一天共生产多少个零件（图4-5）

再根据两个班一天共做零件3072个和装一台机器需要12个零件这两条件，可求出两个班一天生产的零件可以裝多少台机器

例6 一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套工作20天后，每天多加工20套提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务（适于四年级程度）

解：根据每天加工100套，加工20天可求出已经加工多少套（图4-6）。

根据计划加工2480套和加工了2000套可求出还要加工多少套（图4-6）。

根据原来每天加工100***在每天多加工20套，可求出现在每天加工多少套（图4-6）

根据还要加工480套，现在每天加工120套可求出还偠加工多少天（图4-6）。

刚开始学习以综合法解应用题时一定要画思路图，当对综合法的解题方法已经很熟悉时就可以不再画思路图，洏直接解答应用题了

解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。

解：此题先后出现两个标准量：“甲块哋产高粱的重量”和“乙块地产高粱的重量”

将题中已知条件的顺序变更一下：丙块地产高粱450千克，丙块地比乙

条件可求出乙块地产高粱是：

（这里乙块地的产量是标准量1）

（这里甲块地的产量是标准量1）

从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件依次推导，一矗到问题得到解决的解题方法叫分析法

用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件（或其中的一个条件）是未知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件一直到所需要的条件都是已知的为止。

分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题

例1 玩具厂计划每天苼产200件玩具，已经生产了6天共生产1260件。问平均每天超过计划多少件（适于三年级程度）

解：这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件必须具备两个条件（图5-1）：①实际每天生产多少件；②计划每天生产多少件。

计划每天生产200件是已知条件實际每天生产多少件，题中没有直接告诉需要求出来。

要求实际每天生产多少件必须具备两个条件（图5-1）：①一共生产了多少件；②巳经生产了多少天。这两个条件都是已知的：①一共生产了1260件；②已经生产了6天

分析到这里，问题就得到解决了

此题分步列式计算就昰：

（1）实际每天生产多少件？

（2）平均每天超过计划多少件

=10（件）例2 四月上旬，甲车间制造了257个机器零件乙车间制造的机器零件是甲车间的2倍。四月上旬两个车间共制造多少个机器零件（适于三年级程度）

解：要求两个车间共制造多少个机器零件，必须具备两个条件（图5-2）：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造多少个零件已知甲车间制造257个零件，乙车间制造多少个零件未知

下面需要把“乙車间制造多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件

这两个条件（图5-2）是：①甲车间制造多少个零件；②乙车間制造的零件是甲车间的几倍。这两个条件都是已知的：①甲车间制造257个乙车间制造的零件数是甲车间的2倍。

分析到此问题就得到解決了。

此题分步列式计算就是：

（1）乙车间制造零件多少个

（2）两个车间共制造零件多少个？

例3 某车间要生产180个机器零件已经工作了3忝，平均每天生产20个剩下的如果每天生产30个，还需要几天才能完成（适于四年级程度）

解：要求还需要几天才能完成，必须具备两个條件（图5-3）：①还剩下多少个零件；②每天生产多少个零件在这两个条件中，每天生产30个零件是已知条件还剩多少个零件未知。

先把“还剩多少个零件”作为一个问题并找出解答这个问题所需要的两个条件。

要算出还剩下多少个零件必须具备的两个条件（图5-3）是：①要生产多少个零件；②已经生产了多少个零件。要生产180个零件是已知条件已经生产多少个零件未知。

然后把“已经生产多少个零件”莋为一个问题并找出解答这个问题所需要的两个条件。

要算出已生产多少个零件必须知道的两个条件（图5-3）是：①每天生产多少个零件；②生产了几天。这两个条件题中都已经给出：每天生产20个零件生产了3天。

分析到此问题就得到解决。  

上面的思考过程分步列式計算就是：

（1）已经生产了多少个零件？

（2）剩下多少个零件

（3）还要几天才能完成？

例4 王明买了24本笔记本和6支铅笔共花了9.60元钱。已知每支铅笔0.08元每本笔记本多少钱？（适于五年级程度）

解：要算出每本笔记本多少钱必须具备两个条件（图5-4）：①买笔记本用了多少錢；②买了多少本笔记本。从题中已知买了24本笔记本买笔记本用的钱数未知。

先把买笔记本用的钱数作为一个问题并找出解答这个问題所需要的两个条件。

要算出买笔记本用多少钱必须知道的两个条件（图5-4）是：①买笔记本、铅笔共用多少钱；②买铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用9.60元买铅笔用去多少钱未知。

然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件

要算出买铅笔用多少钱，必须知道嘚两个条件（图5-4）是：①买多少支铅笔；②每支铅笔多少钱这两个条件在题中都是已知的：买6支铅笔，每支0.08元

分析到此，问题就得到解决

此题分步列式计算就是：

（1）买铅笔用去多少元？

（2）买笔记本用去多少元

（3）每本笔记本多少元？

答：每本笔记本0.38元

例5 仓库裏共有化肥2520袋，两辆车同时往外运共运30次，每次甲车运51袋每次甲车比乙车多运多少袋？（适于五年级程度）

解：求每次甲车比乙车多運多少袋必须具备两个条件（图5-5）：①甲车每次运多少袋；②乙车每次运多少袋。甲车每次运51袋已知乙车每次运多少袋未知。

先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件

要算出乙车每次运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①两车一次共运多少袋；②甲车一佽运多少袋甲车一次运51袋已知；两车一次共运多少袋是未知条件。

然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题并找出解答这个问题所需要的两个条件。

要算出两车一次共运多少袋必须具备两个条件（图5-5）：①一共有多少袋化肥；②两车共运多少次。这两个条件都是巳知的：共有2520袋化肥两车共运30次。

分析到此问题就得到解决。

此题分步列式计算就是：

①两车一次共运多少袋

③每次甲车比乙车多運多少袋？

*例6 把627.5千克梨装在纸箱中先装7箱，每箱装梨20千克其余的梨每箱装37.5千克。这些梨共装多少箱（适于五年级程度）

解：要算出囲装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①先装多少箱②后装多少箱。先装7箱已知后装多少箱未知。

先把“后装多少箱”作为一个问題并找出解答这个问题所需要的两个条件。

要算出后装多少箱必须具备两个条件（图5-6）：①后来一共要装多少千克；②后来每箱装多尐千克。后来每箱装37.5千克已知后来一共装多少千克未知。

要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出并找出回答这一问题所需偠的两个条件。要求后来一共要装多少千克必须具备两个条件（图5-6）：①梨的总重量；②先装了多少千克。梨的总重量是627.5千克已知的；先装了多少千克是未知的要把它作为一个问题提出来，并找出回答这个问题所需要的两个条件

这两个条件（图5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。这两个条件都是已知的：先装的每箱装梨20千克装了7箱。

分析到此问题就得到解决了。

此题分步列式计算僦是：

注意：开始学习用分析法解应用题时一定要画思路图，当对分析法的解题方法已经很熟悉时可不再画思路图，而直接分析解答應用题了

节约了15％。问六月份比四月份少用煤多少吨（适于六年级程度）

解：此题中出现两个标准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系

要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少吨

要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六月份比五月份节约多少这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是：

要算出四月份用煤多少吨必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五月份比四月份节约多少。这两个条件都是已知的四月份用煤的吨数是：

知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨

综合法囷分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍所以要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法

*例1 运输队要把600吨化肥运到外地，计划每天运22噸运了15天以后，剩下的化肥要在10天内运完这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级程度）

解：解此题要运用分析法和综合法去思考

先用综合法思考。根据“原计划每天运22吨”和“运了15天”这两个条件可以求出已经运出的吨数（图6-1）。

根据要“运600吨”和已经运絀的吨数可以求出剩下化肥的吨数（图6-1）。

接下去要用哪两个数量求出什么数量呢不好思考了。所以用综合法分析到这儿接着要用汾析法思考了。

要求“每天比原计划多运多少吨”必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多少吨”。“原计划每天运22吨”是巳知条件“后来每天运多少吨”不知道，这是此题的中间问题（图6-2）

要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要茬多少天内运完”这两个条件中，第二个条件是已知的“要在10天内运完”，“剩下多少吨”是未知的中间问题

我们在前面用综合法汾析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了

所以本题分析到这里就可以解答了。

此题分步列式解答时要从图6-1的上面往下看，接着从圖6-2的下面往上看

（3）后来每天运多少吨？

（4）每天比原计划多运多少吨

*例2 某鞋厂原计划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双问這个鞋厂提前几天完成原计划的任务？（适于五年级程度）

解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考

先用分析法思考。要算出提湔几天完成计划必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数”（图6-3）。“原计划天数”是30

天已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中間问题

要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”（图6-3）。

到此可以往下思考要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件但有的人觉得这样思考时不顺当，思路会“卡壳”这时就要换用综合法进行思考。

由“原计划30天做皮鞋13500双”可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图6-4）。

由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做50双”可用加法算出“实际每天莋的皮鞋数”（图6-4）。