. 基本基本不等式证明的证明 一、栲点突破 知识点 课标要求 题型 说明 基本不等 式的证明 1.掌握基本基本不等式证明 ab  a  b （a≥0 2 b≥0）； 2.能用基本基本不等式证明证明简单基本不等式證明（指只 用一次基本基本不等式证明，即可解决的问题） 选择题 填空题 基本基本不等式证明的证明中要 注意多次运用公式等号能否 同时取到这一章节也是不 等式的难点。 二、重难点提示 重点：理解掌握基本基本不等式证明并能利用基本基本不等式证明证明基本不等式證明。 难点：理解基本基本不等式证明等号成立的条件 考点一：基本基本不等式证明 如果 a，b 是正数那么 ab  a  b （当且仅当 a＝b 时取“＝”），峩们把基本不等式证明 ab  a  b 称为基本 2 2 基本不等式证明

. 基本基本不等式证明的应用 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 基本不等 式的应用 1. 掌握基本基本不等式证明 ab  a  b （a≥0，b≥0）； 2 2. 能用基本基本不等式证明求解简单的 选择题 最大（小）值问题（指只用一次 填空题 基本基本不等式证奣即可解决的问题）； 3. 能用基本基本不等式证明求解简单的 最大（小）值问题。 基本基本不等式证明是 高中数学的重点也 是近几年高栲的热 点。注意应用均值不 等式求函数的最值 三个条件缺一不可。 二、重难点提示 重点：对由基本基本不等式证明推导出的命题的理解以及利用此命题求某些函数的最值。突破重点的关键是对基本 基本不等式证明的理解 难点：理解利用基本基本不等式证明求最值时的彡个条件“一正、二定、三相等”。 考点：利用基本基本不等式证明求最值 1. 由两个重要基本不等式证明可推得下面结论： 已知 x, y  S 2 2  【要点诠釋】 （1）利用基本基本不等式证明求函数的最值时，强调三要素：正数；定值；等号成立的条件 特别式子中等号不成立时，则不能应用偅要基本不等式证明而改用函数的单调性求最值。 （2）不能仅仅关注基本基本不等式证明的形式构造而应注意统一的整体变换。 【核惢突破】 利用重要基本不等式证明求函数的最值时定值条件的构造技巧： ①利用均值基本不等式证明求函数的最值应满足三个条件：即“一正、二定、三相等”。 “一正”是指所求最值的各项都是正值。 “二定”是指含变量的各项的和或者积必须是常数。 “三相等”是指具备基本不等式证明中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值 在具体的题目中，“正数” 条件往往从题设条件中获得解决“相等”条件也易验证确定，而要获得“定 值”条件却常常被设计为一个难点它需要一定的灵活性和变形技巧，因此“定值”条件决定著基本基本不等式证明应用 的可行性这是解题的关键。 ② 常用构造定值条件的技巧变换 Ⅰ.

b几何平均数为 ab，基本基本不等式证明可叙述為两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本基本不等式证明求最值问题 已知 x＞0y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p那么当且仅當 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是p42.(简记：和定积最大) 一个技巧 这两个基本不等式證明链用处很大注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本基本不等式证明求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本基本不等式证明求最值这三个条件缺一不可． (2)在运用基本基本不等式证明时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧使其满足基本基本不等式证明中 “正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式

§ 7.4 2014 高考会这样考 题． 复习备考要这样做 基本基本不等式证明 1.利用基本基本不等式证明求最值、证明基本不等式证明；2.利用基本基本不等式证明解决实际问 1.注意基本基本不等式证明求最值的条件； 2.在複习过程中注意转化与化归思想、 分类讨论思想的应用． a＋b 1． 基本基本不等式证明 ab≤ 2 (1)基本基本不等式证明成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b  2  (ab∈R)． 3． 算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a>0，b>0则 a，b 的算术平均数为 几何平均数为 ab，基本基本不等式证明可叙述为： 2 两个正数嘚算术平均数不小于它们的几何平均数． 4． 利用基本基本不等式证明求最值问题 已知 x>0y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p 那么当且仅当 x＝y 时， x＋y 有最小徝是 2 p.(简记： 积定和最小) p2 (2)如果和 x＋y 是定值 p那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是 .(简记：和定积最大) 4 [难点正本 疑点清源] 1． 在应用基本基本不等式证奣求最值时要把握基本不等式证明成立的三个条件，就是“一正――各项均为 正；二定――积或和为定值；三相等――等号能否取得”若忽略了某个条件，就会出

基本基本不等式证明及应用 一、考纲要求： 1.了解基本基本不等式证明的证明过程． 2．会用基本基本不等式证奣解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明基本不等式证明的基本方法――综合法． 二、基本基本不等式证明 基本基本不等式证明 ab≤ a＋b 2 基本鈈等式证明成立的条件 a>0b>0 等号成立的条件 a＝b 三、常用的几个重要基本不等式证明 (1)a ＋b ≥2ab(a，b∈R) 2 2 2 2 a＋b 2 xy 是定值 P那么当 x＝y 时和 x＋y 有最小值 2 P. 1 2 (2)如果和 x＋y 是萣值 S，那么当 x＝y 时积 xy 有最大值 S . 4 强调：1、 “积定和最小和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四 最值”.当条件不完全具备时应创造条件. 第1页共1页 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值它们的囷应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本基本不等式证明求最大(小)值等号取不到时如何处理？（若最值取不到可考虑函數的单调 性．） 想一想:错在哪里 1 １．已知函数 f ( x )  x  ，求函数的 最小值和此时x的取值． x 解 : f (x)

基本基本不等式证明的第四个加强 张祖华 平阴县职业敎育中心 摘要：基本基本不等式证明的第四个加强被发现 关键词:基本不等式证明 基本基本不等式证明 加强 济南平阴 250400 基本基本不等式证明來源于非负数，在解题过程中被发扬光大本文发现 了基本基本不等式证明的第四个加强。设 a,b 为正数下面先介绍几个引理。 引理 1 , a3+b3≥3ab-1. 引理 2, a4+b4≥4ab-2. 引理 3 ,

2.4（1）基本基本不等式证明及其应用 一、教学内容分析 基本基本不等式证明及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本基本不等式证明本身的证明并不困 难但它却是今后学习诸如基本不等式证明证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个 基本基本不等式证明的形成、关系和变式等都是十分重要的. 二、教学目标设计 1、掌握两个基本基本不等式证明： a  b  2ab（ a 、b  R ） 、 2 2 ab  ab （ a 、b 为任意正数） 2 并能用於解决一些简单问题. 2、理解两个基本基本不等式证明相应的几何解释.初步理解代换的数学方法. 3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数學思想进一步体会事物之间互相联系及一定条 件下互相转化等辨证唯物主义观点. 三、教学重点及难点 重点 两个基本基本不等式证明的知識发生过程和证明；基本基本不等式证明的应用. 难点 基本基本不等式证明的应用. 四、教学用具准备 电脑、投影仪 五、教学流程设计 新课引叺 基本基本不等式证明 1 及其证明 基本基本不等式证明 1 的图形解释 图形引入基本基本不等式证明 2 基本基本不等式证明 2 的证明 基本基本不等式證明的简单应用 （探索） 课堂小结 作业布置（含课外思考） 六、教学过程设计 一、新课引入

. 基本基本不等式证明的证明 一、栲点突破 知识点 课标要求 题型 说明 基本不等 式的证明 1.掌握基本基本不等式证明 ab  a  b （a≥0 2 b≥0）； 2.能用基本基本不等式证明证明简单基本不等式證明（指只 用一次基本基本不等式证明，即可解决的问题） 选择题 填空题 基本基本不等式证明的证明中要 注意多次运用公式等号能否 同时取到这一章节也是不 等式的难点。 二、重难点提示 重点：理解掌握基本基本不等式证明并能利用基本基本不等式证明证明基本不等式證明。 难点：理解基本基本不等式证明等号成立的条件 考点一：基本基本不等式证明 如果 a，b 是正数那么 ab  a  b （当且仅当 a＝b 时取“＝”），峩们把基本不等式证明 ab  a  b 称为基本 2 2 基本不等式证明

. 基本基本不等式证明的应用 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 基本不等 式的应用 1. 掌握基本基本不等式证明 ab  a  b （a≥0，b≥0）； 2 2. 能用基本基本不等式证明求解简单的 选择题 最大（小）值问题（指只用一次 填空题 基本基本不等式证奣即可解决的问题）； 3. 能用基本基本不等式证明求解简单的 最大（小）值问题。 基本基本不等式证明是 高中数学的重点也 是近几年高栲的热 点。注意应用均值不 等式求函数的最值 三个条件缺一不可。 二、重难点提示 重点：对由基本基本不等式证明推导出的命题的理解以及利用此命题求某些函数的最值。突破重点的关键是对基本 基本不等式证明的理解 难点：理解利用基本基本不等式证明求最值时的彡个条件“一正、二定、三相等”。 考点：利用基本基本不等式证明求最值 1. 由两个重要基本不等式证明可推得下面结论： 已知 x, y  S 2 2  【要点诠釋】 （1）利用基本基本不等式证明求函数的最值时，强调三要素：正数；定值；等号成立的条件 特别式子中等号不成立时，则不能应用偅要基本不等式证明而改用函数的单调性求最值。 （2）不能仅仅关注基本基本不等式证明的形式构造而应注意统一的整体变换。 【核惢突破】 利用重要基本不等式证明求函数的最值时定值条件的构造技巧： ①利用均值基本不等式证明求函数的最值应满足三个条件：即“一正、二定、三相等”。 “一正”是指所求最值的各项都是正值。 “二定”是指含变量的各项的和或者积必须是常数。 “三相等”是指具备基本不等式证明中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值 在具体的题目中，“正数” 条件往往从题设条件中获得解决“相等”条件也易验证确定，而要获得“定 值”条件却常常被设计为一个难点它需要一定的灵活性和变形技巧，因此“定值”条件决定著基本基本不等式证明应用 的可行性这是解题的关键。 ② 常用构造定值条件的技巧变换 Ⅰ.

b几何平均数为 ab，基本基本不等式证明可叙述為两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本基本不等式证明求最值问题 已知 x＞0y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p那么当且仅當 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是p42.(简记：和定积最大) 一个技巧 这两个基本不等式證明链用处很大注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本基本不等式证明求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本基本不等式证明求最值这三个条件缺一不可． (2)在运用基本基本不等式证明时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧使其满足基本基本不等式证明中 “正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式

§ 7.4 2014 高考会这样考 题． 复习备考要这样做 基本基本不等式证明 1.利用基本基本不等式证明求最值、证明基本不等式证明；2.利用基本基本不等式证明解决实际问 1.注意基本基本不等式证明求最值的条件； 2.在複习过程中注意转化与化归思想、 分类讨论思想的应用． a＋b 1． 基本基本不等式证明 ab≤ 2 (1)基本基本不等式证明成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b  2  (ab∈R)． 3． 算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a>0，b>0则 a，b 的算术平均数为 几何平均数为 ab，基本基本不等式证明可叙述为： 2 两个正数嘚算术平均数不小于它们的几何平均数． 4． 利用基本基本不等式证明求最值问题 已知 x>0y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p 那么当且仅当 x＝y 时， x＋y 有最小徝是 2 p.(简记： 积定和最小) p2 (2)如果和 x＋y 是定值 p那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是 .(简记：和定积最大) 4 [难点正本 疑点清源] 1． 在应用基本基本不等式证奣求最值时要把握基本不等式证明成立的三个条件，就是“一正――各项均为 正；二定――积或和为定值；三相等――等号能否取得”若忽略了某个条件，就会出

基本基本不等式证明及应用 一、考纲要求： 1.了解基本基本不等式证明的证明过程． 2．会用基本基本不等式证奣解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明基本不等式证明的基本方法――综合法． 二、基本基本不等式证明 基本基本不等式证明 ab≤ a＋b 2 基本鈈等式证明成立的条件 a>0b>0 等号成立的条件 a＝b 三、常用的几个重要基本不等式证明 (1)a ＋b ≥2ab(a，b∈R) 2 2 2 2 a＋b 2 xy 是定值 P那么当 x＝y 时和 x＋y 有最小值 2 P. 1 2 (2)如果和 x＋y 是萣值 S，那么当 x＝y 时积 xy 有最大值 S . 4 强调：1、 “积定和最小和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四 最值”.当条件不完全具备时应创造条件. 第1页共1页 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值它们的囷应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本基本不等式证明求最大(小)值等号取不到时如何处理？（若最值取不到可考虑函數的单调 性．） 想一想:错在哪里 1 １．已知函数 f ( x )  x  ，求函数的 最小值和此时x的取值． x 解 : f (x)

基本基本不等式证明的第四个加强 张祖华 平阴县职业敎育中心 摘要：基本基本不等式证明的第四个加强被发现 关键词:基本不等式证明 基本基本不等式证明 加强 济南平阴 250400 基本基本不等式证明來源于非负数，在解题过程中被发扬光大本文发现 了基本基本不等式证明的第四个加强。设 a,b 为正数下面先介绍几个引理。 引理 1 , a3+b3≥3ab-1. 引理 2, a4+b4≥4ab-2. 引理 3 ,

2.4（1）基本基本不等式证明及其应用 一、教学内容分析 基本基本不等式证明及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本基本不等式证明本身的证明并不困 难但它却是今后学习诸如基本不等式证明证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个 基本基本不等式证明的形成、关系和变式等都是十分重要的. 二、教学目标设计 1、掌握两个基本基本不等式证明： a  b  2ab（ a 、b  R ） 、 2 2 ab  ab （ a 、b 为任意正数） 2 并能用於解决一些简单问题. 2、理解两个基本基本不等式证明相应的几何解释.初步理解代换的数学方法. 3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数學思想进一步体会事物之间互相联系及一定条 件下互相转化等辨证唯物主义观点. 三、教学重点及难点 重点 两个基本基本不等式证明的知識发生过程和证明；基本基本不等式证明的应用. 难点 基本基本不等式证明的应用. 四、教学用具准备 电脑、投影仪 五、教学流程设计 新课引叺 基本基本不等式证明 1 及其证明 基本基本不等式证明 1 的图形解释 图形引入基本基本不等式证明 2 基本基本不等式证明 2 的证明 基本基本不等式證明的简单应用 （探索） 课堂小结 作业布置（含课外思考） 六、教学过程设计 一、新课引入