这个帖子分三个部分第一部分為怎么从傅里叶级数推导出傅里叶变换，第二部分为两者的联系 ~~第三个为通过傅里叶级数求取傅里叶变换的例子
不好意思我update了，后面还加了一些内容
[19/04/2017] 看到大家继续点赞，那我再加点有关傅立叶级数和傅里叶变换的区别数的理解吧本应当放到第一节，但是因为公式都编號了不想改了。
傅里叶级数适用于周期信号中下面给出其表达式：
周期的意义在于限定傅里叶系数的积汾公式 (如(2)所示) 的积分上下限，把公式(1)代入到(2)中可以发现(2)式子左右恒等，其中利用到了e指数的正交性
那如果是非周期信号呢？公式(1)中的嘟已经不存在了（或者说是无穷小）此时时域信号便不可能写成如式子(1)级数的形式。但数学家们不甘心啊如果把傅里叶只限定在周期信号，世界得多无趣啊好，那就试着能不能重新定义非周期信号的傅里叶变换呢数学家们思索着，这两种信号的区别在于一个是有固萣的基频另外一个基频无穷小。哎等等？好像灵感来了无限小的求和概念不就对应着积分嘛！那我们就尝试这能不能从这个角度来嶊导出非周期信号的傅里叶变换呢，好的那我们试试吧。
考虑上述两个信号对应为的周期延展。对于, 有对于周期信号，对应的傅里葉系数为
现在定义为的包络其中的用来代替，注意此处的定义只是一个notation的变化，没有改变方程任何的东西
显然只是的等间隔采样
注意，把傅里叶系数表示为包络的采样应该算是数学家的直觉尝试，或者说是他们常用的技巧吧因为取极限有, 方便后面进一步把级数转變成积分形式。其中没有把T集成中应该算是大家的约定吧，没办法只能按照那些大牛的爱好了~ 好，那现在我们把公式(5)代入公式(1)中
(6)式中呮含有和 此刻，数学家们开始笑了万事具备，东风亦来吼吼吼。 令公式(6)中的, 也即, 此时, 哇~好熟悉的感觉瞬间少女变大嫂~~ 公式(6)为
其中洳公式(4)所定义~傅里叶级数的包络奥~在这里重新写下把
到了这里，数学家们才舒了一口气~~哈哈哈攻城狮大笑，现在可以尽情灌水了~~~
傅里叶級数和傅里叶变换的关系
很多人说傅里叶技术用于周期信号傅里叶变换用于非周期信号。那问题来了周期信号的傅里叶变换是什么？並且和傅里叶级数的系数有什么关系
为了解开这个谜团，我们先来热热身~来点预备知识首先，周期信号可以由傅里叶级数表示即e指數的求和形式，想到这一点攻城狮开始猥琐的笑了起来，仿佛透视了对面的可爱妹子~~么么哒。周期信号的傅里叶变换的关键不就在於e指数的傅里叶变换嘛~~
直接给出e指数的傅里叶变换~
可以验证下~ 把(9)代入到 (7)式中
而对于周期信号可以表示为傅里叶级数
对周期信号进行傅里叶變换，即对公式(11)的e指数进行傅里叶变换~借助公式(9)，可以得到
可以看出周期信号的傅里叶变换并不连续，并且都可以表示为一系列的脉沖叠加其中脉冲前面的系数为, 即为 傅里叶系数的倍。
通过傅里叶级数求取傅里叶变换的例子
最经典的例子莫过于脉冲采样理论了
对于采樣系统中我们一般采用脉冲去对信号进行采样，脉冲信号可以表示为
因为这是典型的周期信号对应的傅里叶级数的系数为
根据公式(12)其傅里叶变换为
借助周期信号傅里叶系数和傅里叶变换的关系，可以很快求出周期信号的傅立叶变换
Update 一下有关正交展开吧。
正交概念一般昰定义在闭区间上的假设这个闭区间为 , 那么对于两个函数 和 的正交，说的是其内积为零如下面公式所示
假设函数列 是一组函数基,并满足
根据魏尔斯特拉斯逼近定理：
可以知道闭区间上上的连续函数 可以用正交函数列(多项式和三角级数) 来┅致逼近
根据最优理论,我们考虑其平方误差积分最小
根据多维函数求极极值理论，上述式子(19)对 的导数等于零
根据勒贝格测度的控制积分理論对于闭区间上的连续函数 ，如式子(20),其微分和积分符号可以交换顺序详细参考我的实变函数Notes ，控制收敛定理84-85页
根据我们的正交假设(17)顯然有如下结论
魏尔斯特拉斯定理的意义
显然我们可以用上述正交基对任意的连续函数函数去逼近，也总归会得到一个最优逼近下的一组系数 ,但是这个最优逼近是否能够无限逼近原函数魏尔斯特拉斯定理的意义就在保证了多项式和三角级数可以一致逼近闭区间上的连续函數，也就是说当正交级数的项达到一定的数目时在整个闭区间上无限逼近原函数了，严格来讲就是闭区间上最大的逼近误差可以控制箌任意小。
简而言之闭区间上的连续函数可以等效为无数正交函数基（如傅立叶）的线性叠加，这样的好处就在于不同函数之间的区别現在量化成了不同的正交系数的区别这种正交变换的好处是，打个比方函数 类比成李雷家的猪， 类比为韩梅梅家的小麦现在李雷想吃面粉，韩梅梅想吃肉于是要想要交换下。但是他们并不知道这只猪该换几斤麦子啊那好，现在有一个专门的机构能够把不同物品使用统一种货币（正交基）来量化，于是下次见面直接说李雷的猪多少钱（ 的傅立叶系数）韩梅梅家的麦子多少钱(的傅立叶系数 )，这样夶家就能够快速的有一个量化的比较了
Part 2: 傅立叶级数和傅里叶变换的区别数和正交多项式级数
让这个正交函数基为 ,抑或( )，这就在理论上得箌了傅立叶级数和傅里叶变换的区别数
我们也可以探索把多项式作为我们的基 ,但是这组基并不是正交的，不过没关系我们可以用格拉姆-施密特方法正交化，然后就得到了正交的多项式基也就是勒让德多项式，如下图
Part 3: 正交多项式和泰勒级数展开
既然讲到了正交多项式，那么不妨多说两句大家注意到公式(19),在闭区间上使用有限项的基来逼近一个函数，这是全局的逼近我们思考和泰勒展开有什么不同，泰勒展开只是在某个点附近逼近当展开的级数越多，那么函数逼近的范围就越广大家也许会注意到对于正交级数在闭区间上展开的系數使用积分来求取的，而泰勒展开的系数确是通过微分操作求取
简而言之，正交级数（如勒让德级数）是全局的逼近而泰勒展开是局域的。从上图可以看出对于正交勒让德级数，从 到 维需要全部计算前面所有的系数，所以随着 的增加正交级数也越来越复杂（这句話的理解是把勒让德级数整理成泰勒级数的样子，那么会发现每增加一个维度，所有多项式前面的系数都会变化意味着这些系数重新算过了）。但是对于泰勒级数每增加一个维度，只需要计算增加的那个维度的导数即可前面基的系数都不用变。
我们回顾下公式(16)
如果峩们把区间 离散化, 在里面采样 个点那么 就相应变成了 维度的向量了，积分也就成了离散和也就是内积了，（16）可以变为
那么正交的含義也就顺理成章地成了
所以函数正交定义的形式和向量正交其实是内恰的，对于线性代数中的向量之间的投影同样可以类比到函数空间Φ线性代数中的格拉姆-施密特正交化方法也就可以同样适用于函数基的正交化。把上述正交函数的概念类比到离散的代数空间我们就從傅立叶级数和傅里叶变换的区别数顺理成章推广到了离散傅立叶变换DFT。
Part 4: 正交概念、级数展开在工程中的应用
傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析
傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。
除此之外傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想理解傅里叶变换算法的内涵首先要了解傅里叶原理的内涵。
傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。
傅里叶变换是一种分析信号的方法它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号
傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加。
凡是满足以下关系式：
（T为常数） 的函数都称为周期函数。
傅裏叶级数是一类特殊的函数项级数对周期性现象进行数学上的分析，其在理论和应用上都有重要价值
傅里叶级数是周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换
傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开如果把周期函数的周期取作无穷大，对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换
傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数昰所有周期函数都可以***成一系列的正交三角函数这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数
傅里叶级数是周期信号的叧一种时域的表达方式也就是正交级数，它不同频率的波形的叠加而傅里叶变换就是完全的频域分析
为什么要有傅里叶级数
傅里叶级数（Fourier Series）是用一系列正弦波（Sinusoid）来描述任何周期函数的一种方法。图1中的三条曲线分别是周期为1秒的方波正弦波和三角波。由于囸弦和余弦只有相位差故统称正弦波。
图1. 周期为1秒的方波正弦波，三角波
在介绍傅里叶级数之前让我们先来回顾一下级数嘚概念。级数是用一个无穷数列的加和来逼急一个数函数项级数则是用一个函数列的加和来逼近一个函数。
称为定义在（ab）内的函数项级数。为什么要把一个看似简单的函数***成一大堆函数的和呢因为有些函数直接研究起来比较困难，以某种形式的级数进行展開对里面的每一项单独研究，会变得更简单也使得计算更加容易。级数有千千万万种如泰勒级数，等比级数调和级数等等。但是囿一种由正弦函数组合而成的级数显得尤为重要。这就是傅里叶级数为什么傅里叶技术格外重要呢？这要归功于正弦函数优秀的性质我们将函数展开成级数是为了获得更加简便和易于计算的形式。而当正弦波输入一个系统时输出仍然是一个正弦波，只有振幅、相位囷频率会发生变化而不像其他的级数会使函数形式本身发生改变。这使得傅里叶级数在分析函数时具有了巨大的优势此外，由于通信系统中电磁场与电磁波以及诸多物理原理都与正弦信号有关，所以造就了傅里叶级数如此重要的地位
假如有两个周期函数（Periodic Function），它们的频率分别为f1和f2那么他们的叠加还是一个周期函数吗？频率又是多少呢显然，两个不同频率的周期函數叠加仍然是一个周期函数叠加后函数的周期是两个原函数周期的最小公倍数。因此当一组频率为
的周期函数叠加时，叠加后的函数频率必然为1HZ然而，如果采用了诸如1.1HZ2.5HZ，312435HZ之类频率的级数项，则输出频率将陷入混乱所以这里只选取如1HZ，2HZ3HZ，。，nHZ。。嘚频率作为级数项1HZ可以作为基本频率，改写作fJZ 则级数项将变为fHZ，2fHZ3fHZ，。，nfHZ。。回想图1中周期为1秒的方波函数，我们可以将咜表示成
然而上面我们所表示的函数恰好是一个周期为1秒的奇函数。如果用上面的公式来逼近一个偶函数则无法实现所以，若f（t）是一个周期为1秒的偶函数则
因此，当f（t）是一个周期为T频率为f的一般函数，既有奇函数成分也有偶函数成分此外，作为奇函數或偶函数对称点可能相对原点产生位移易知这个位移不会影响函数的形状，可以用一个常数来表示为了后续计算方便，这个位移记莋a02则有
至此，我们已经得到了傅里叶级数的完整表达形式
那么如何确定上面公式中的bn呢？在这之前然我们来谈谈什么是函数的正交性。学过线性代数的同学都知道两个向量的正交是通过内积为零来定义的。而内積则是将向量的对应项相乘再求和来得到的假设我们有一个任意长度的向量，每两个元素之间的距离无限小那么我们就可以把这样两個向量看作两个连续的函数。类比内积的概念两个函数正交也就是将两个函数赋予相同的自变量，再相乘再做积分，如果积分等于零则说明这两个函数在积分域上是正交的。
我们高兴的发现不同频率的三角函数具有如下的正交性。其中
为什么要有傅里叶变換
在上一章我们已经清楚的知道如何使用傅立叶级数和傅里叶变换的区别数去描述任何一个周期函数，其中傅里叶级数将一个周期函数描述成离散频率正弦函数的组合即在频域上离散。然而我们要分析的函数中常常会有非周期函数，这就需要傅里叶变换而不是傅裏叶级数来描述这类函数频域不同于时域，是从另一个角度观察客观世界的一种方式其将无限动态的世界看成是注定的和静止的。从頻域理解世界更像是上帝看世界的方式。
对于任何一个非周期函数我们都可以认为其可以通过一个周期函数的周期趋于无穷转化洏来。周期趋于无穷也就意味着频率趋于零以及角速度趋于零。也就是说一个非周期函数会通过傅里叶变换被描述成连续的正弦函数嘚组合，即在频域上连续基于这个思想，傅里叶级数即将演化成傅里叶变换
从傅里叶级数到傅里叶变换
傅里叶级数的指数形式
让我们从傅里叶级数开始：
极限求得傅里叶变换
在为什么要有傅里叶级数一节中，我们已经说过傅里叶变换其实就是傅里葉级数的周期趋近于无穷因此，假设我们的目标非周期函数为f（x）由傅里叶级数逼近的周期函数为ft（x），则
因此将x替换成t，则
从上面两个式子我们可以看出第一个式子相当于将一个时域函数f（t）变换成了频域函数f（w），而第二个式子相当于将频域函数f（w）變换为时域函数f（t）那么一个时域函数变换到频域后，再变换回时域还是不是它自身呢？这个问题就相当于f（t）=f（t）是否成立也可鉯说成傅里叶变换是不是一一对应的。下面我们用反证法来探究这个问题
假设傅里叶变换不是一一对应的。那么应该有
因此假设不成立。傅里叶变换具有一一对应性至此，我们已经完整的得到了傅立叶变换