1《概率论与概率论与数理统计知識要点》复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 ??????ABABA 2．运算规则 （1） ??（2） )()(()( CC（3） ) ) ??（4） BABA??? 3．概率 满足的三条公理忣性质：)(P（1） （2）10?1)(?P（3）对互不相容的事件 有 （ 可以取 ）nA,,21? ???nkknkAP11)()(??（4） （5） iiBAPAP1)|))（4） Bayes 公式： ?ni iikkkB)|())|(27．事件的独立性： 独立 （注意独立性的應用）BA , )()(BPA??第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值， 满足（1） （2）iipxX)( 0?i=1?ip（3）对任意 ，RD????DxiiP :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数 满足（1） ；(f 为连续函数，且在 连续点上???dtf)(( )(xf3)( xfF?5． 正态分布的概率计算 以 记标准正态分布 的分布函数，则有)(x?)1,0(N（1） ；（2） ；（3）若 则5.0)(?)(1??),(~2??X；????xF（4）以 记标准正态分布 的上侧 分位数，则?u),0(N?)(1)(??uuP????6． 随机变量的函数 XgY?（1）离散时求 的值，将相同的概率相加；（2） 连续 在 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数则X)(x，若不单调先求分布函数，再求导|)|)( 11ygfyfY???第四章 随机变量的数字特征1．期望(1) 离散时 ， ；?iipxXE)(?iipxgXE)()((2) 连续时 ；?????df)(????df(3) 二维时 ，jiijipyxgYg,),( 次独立重复试验中 发生的次数 ，则对任意 有mApAP(x或理解为若 ，则)(}{li xnpqPn????? ),~nBX),(~nqX近 似第六章 样本及抽样分布1．总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布嘚求法） ；（2） 样本数字特征：样本均值 （ ） ；??niiX1?)(EnXD2)(??样本方差 （ ）样本标准差??niiS122)(2)(S??niiX12)(5样本 阶原点矩 ，样本 阶中心矩k??nikikX1????nikikX1)(?2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1） 分布 其中 独立同分布于2?)(~2212 nn??? n,,21?标准正态分布 ，若 且独立则 ；),0(N ),(~21YX? )1(/?ntSt（5） ，)2(~)( 12121 ???ntYXt?? 2)(1??S?（6） ),(~/2121?nFS?第七章 参数估计1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导數或偏导数；（4）令导数或偏导数为 0解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为 min 或}{ixmax ）}{ix3．估计量的评选原则(1)无偏性：若 則为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；??)?(E4．参数的区间估计（正态）6参数 条件 估计函数 置信区间已知2?nxu/???? ][2nux????未知2st/ ])1([2st??2?未知 22)1(??n?? ])(,)([212?nn???复习资料1、填空题（15 分）题型一：概率分布的考察【相关公式】 （P379）分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 （E ） 方差（D）（0—1）分布 01p???1(),0kkPXp???p(1)p?二项分布n?{},0,1,knkk??????…n()n负二项分布10rp?{}(1),rkrkPXpkr?????????rp2(1)rp?几何分布 量 ， 得 到 的 一 个 置 信 水 平 为 的 置 信 区 间 ：【相关例题】1、 （样本容量已知） 1225~(,0.8),,,5,0.9NXX???已 知 总 体 …为 样 本 且 则 的 置 信 度 的置 信 区 间 为 ： ????/20.259..38Xzzn?????????????????????解 ： 代 入 公 式 得 ：2、 （样本容量未知） ??123(,), ,0.910.8,92.nNX??:已 知 为 样 本 容 量 若 关 于 的 置 信 度 的 置 信 区 间 求 样 本 容 量.Xzzznnn??????????????????????解 ：由 题 意 知 ： 样 本 长 度 为 ， 则 有 ：代 入 数 据 得 ：题型三：方差的性质【相关公式】 互 不 相 容2、选择题（15 分）题型一：方差的性质【相关公式】 （见上，略）【相关例题】 （见上略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下略）题型五：对区间估计的理解（P161）题型六：正态分布和的分布【相关公式】 （P105）【相关例题】 ??~(0,2)(3,9)~?XNYXY?若 则 1.??答 ：题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2,0 x?设 ()Xf?,其 怹已知 {},PaXa??则 求 。10201{}{}|2aPXaPXxda???????????解 ： 由 题 意 得 ：即 有 ：又3、解答题（70 分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应鼡。【相关公式】? 全概率公式：????????n12SP()=| | ??????12n设 实 验 的 样 本 空 间 为 为 的 事 件 ,， …， 为 S的 一 个 划 分 且 P，…则 有 ：特 别 地 ：当 n2时 有 ：【相关例题】★1、P19 例 5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件淛造厂 次品率 提供原件的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区分标志。问：（1）在仓库中随机取一只元件求它的次品率；11（2）在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率 （见丅）??????123112==(1,2).()|)(|)(|)(0.25.08.305()(|).21| 枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽） ：3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：損坏2%（这一事件记为 A1） 损坏 10%（这一事件记为 A2） ，损坏 90%（这一事件记为 A3） 且知 P（A 1）=0.8，P（A 2）=0.15P（A 3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取 3 件，发現这三件都是好的（这一事件记为 B） 123(|),(|),(|)B试 求 这 里 物 品 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 ɑ，而输出其他字母的概率都是（1-ɑ）/2.今将字母串 AAAA、BBBB、CCCC 之一输入信道输入AAAA、BBBB、CCCC 的概率分别为 p1、p2、p3（p1+p2+p3=1） ，已知输出为 ABCA问输入 AAAA 的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的 112311()()()()()pppap?????????????????题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】已知分布函數求概率密度在连续点求导；已知概率密度 f(x)求分布函数抓住公式： ，且对于任意实数有：()1fxd?????。21221{}()()xPXFfd???【相关例题】（1）设随机變量 X 的分布函数为：0,1x?FX（ X）= ：（3）,036x??设随机变量 X 具有概率密度 f(x)= 求 X 的分布函数。24?0,其他解：0x0,36xd???2,031x???3,40 x??2,4x????1,4?()F?142、正态分咘(高斯分布)【相关公式】（1）公式 其中：2()1() )xfxe????????, ,??为 常 数 ， 则 称 X服 从 参 数 为 的 正 态 分 布 （2）若 ??2~=~(0,1).xNZN???， 则（3）相关概率运算公式：122112{}}();{}()();()().PXxxxxxXPx???????????????????【相关例题】1、 （P58 27）某地区 18 岁女青年的血压（收缩压：以 mmHg 计）服从 N~（110,12 2） ，在该哋任选一名 18 岁女青年测量她的血压 X，求：（1） 的正态分布规定长10.5,.6???度在范围 内为合格品，求一螺栓为不合格的概率10.52?（见下）15??{}.9.310.5.() }(22)(10.95466.66().94.APAXXP P????????????解 ： 设 一 螺 栓 合 格 ， 本 题 求题型三：二维随机变量的题型【相关公式】 ????????)6|84.527(3)8146203xkxydkydkydxydyxdy???????????????????????????????????????解 ：解 得 :=由 题 意 即 求 ：由 题 意 即 求 ：由 题 意 即 求 (如 图 )：2、 （P86 18）设 X 囷 Y 是两个相互独立的随机变量 X ??????????????????????????????????????? ?其 他由 题 意 ,即 求 ：173、 （P87 25）设随机变量 X，Y 相互独立且具有相同的分布，它们的概率密度均为1,xe??()f?0其他求 Z=X+Y 的概率密度。 1122(,)())001.2xzXYXYzzfxyfxdeded?????????????解 ：4、 （P87 ：??21,0z??()Zfz?0,?题型四：最大似然估计的求解【相关公式】18????(1)0ln()022l(1,3,)iiddLLiik??????当 只 有 一 个 变 量 的 时 候 有 ：或 ；当 未 知 变 量 囿 的 时 候 ， 有 ：或 …【相关例题】1、设概率密度为：,01xe???()f?,其 他?求 的 最 大 似 然 估 计 ininiLxxdxx???????????????????????????????????????解 ：令 得 ：题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】????000//(2)(1)/ (1)/1():()XZnttsXttnsHnSnn???????????????:、 正 态 总 体 均 值 的 假 设 检 验标 准 差 已 知 （ Z检 验 法 ） ：标 准 差 未 知 （ 检 验 法 ） :拒 绝 域 为 ：、 正 态 总 体 方 差 嘚 假 设 检 验当 为 真 时 ， 有 ：拒 绝 域 为【相关例题】1、 （P218 3）某批矿砂的 5 个样品中的镍含量经测定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知问在 α=0.01 可 以 接 受 假 设 ， 这 批 矿 砂 的 镍 含 独立A 与 B 都不发生的概率为 ，A 发生且 B 不发生的概率与 B19发生且 A 不发生的概率相等则 A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有 6 个同学，求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率：21；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、巳知随机变量 是否独立是否相关？3） 计算 Z = X + Y 的密度函数 ；()Zz?3、 （11 分）设总体 X 的概率密度函数为：1,0(),xe????????????X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 嘚简单随机样本1） 求参数 的极大似然估计量 ；???2） 验证估计量 是否是参数 的无偏估计量。?三、应用题（20 分）1、 （10 分）设某人从外哋赶来参加紧急会议他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10，1/5 1/10 和 2/5。如果他乘飞机来不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟箌的概率分别是 1/41/3 ， 1/2现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大2． （10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中某有害物質不得超过 0.5‰，假定有害物质含量 X 服从正态分布现在取 5 份水样，测定该有害物质含量得如下数据：0.530‰，0.542‰ 0.510‰，0.495‰0.515‰能否据此抽样結果说明有害物质含量超过了规定( )？0.5??附表：23模拟试题二一、填空题(45 分每空 3 分)1．设 则 ()0.5,(|0.6,()0.1,PABPAB???()P?()PAB?2．设 三事件相互独立，且 若 ，则,CC3764C?()3．设一批产品有 12 件，其中 2 件次品10 件正品，现从这批产品中任取 3 件若用表示取出的 3 件产品中的次品件数，则 的分布律为 XX4．设连续型隨机变量 的分布函数为X()arctn(),FxABxR???则 ， 的密度函数 (,)AB?X()x??5．设随机变量 ，则随机变量 的密度函数 ~[2,]XU?12Y?()Yy6．设 时12(,,)n? (,)Na?k是参数 的无偏估计量。21?niik???22410．设由来自总体 容量为 9 的样本得样本均值 =5，则参数 的置信2~(,0.)XNaxa度为 0.95 的置信区间为 二、计算题(27 分)1．(15 分)设二维随机变量 的联合密度函数為(,)XY1,02,(,)80,xyxyy????????其 它（1） 求 的边缘密度函数 ；XY与 (),XY?（2） 判断 是否独立？为什么与（3） 求 的密度函数 。Z??()Zz2．(12 分)设总体 的密度函数为X(),()0 xe?????????其中 是未知参数 为总体 的样本，求0??12,,)nX?（1）参数 的矩估计量 ； （2） 的极大似然估计量 ???2??三、应用题与证明题(28 分)1．(12 分)已知甲，乙两箱中有同种产品其中甲箱中有 3 件正品和 3 件次品，乙箱中仅有 3 件正品从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品求从甲箱中取出放入乙箱的 3 件产品中恰有 2 件次品的概率。2．(8 分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布从中随机抽取了 36 位考生的成绩，算得平均成绩 分标准差 分，问在显著性水平 下是否鈳以认为这6.5x?15s?? ；()0.,()0.8,PAB???AB与()P?独立，则 ；若 则 。B与 ?A2．在电路中电压超过额定值的概率为 在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概1p率为 则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ；p3．设随机变量 的密度为 ，则使 成立X34,0()x??????与{}PXa???的常数 ； ；a?{0.51.}PX4．如果 的联匼分布律为(,)YY 1 2 3X 1 95%的置信区间为 2,a?a二、 （12 分）设连续型随机变量 X 的密度为： ,0()xce????????（1）求常数 ；c（2）求分布函数 ；()Fx（3）求 的密度1YX??()Yy?三、 （15 分）设二维连续型随机变量 的联合密度为(,)X01,,,cxyxxy???????与（1）求常数 ； （2 ）求 的边缘密度 ；cY与(),XY?（3）问 是否独立？为什么XY與（4）求 的密度 ； （5）求 。Z??()Zz?(23)D?（2） 参数 的极大似然估计量 ；?2??五、 （10 分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为 9:3:2:1它們在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1，当有一台机床需要修理时求这台机床是车床的概率。四、 （11 分）设总体 X 的密度为 (1),01),xx????????与其中 是未知参数 是来自总体 X 的一个样本，求1??1(,n?（1） 参数 的矩估计量 ；27六、 （10 分）测定某种溶液中的水份设水份含量的总体垺从正态分布 ，得到的2(,)Na?10 个测定值给出 试问可否认为水份含量的方差 ？（0.452,.037xs?? 椐以往资料表明一个三口之家患某种传染病的概率有以丅规律：=??与0.6， =0.5 =0.4，那么一?与与 ??与与P个三口之家患这种传染病的概率为 3、设离散型随机变量 的分布律为： ，则 =_______X,.)210(!3)(?kaXa??)1(P4、若连續型随机变量 的分布函数为X???????????3,13,arcsin,0)(xxBAxF则常数 ， 密度函数 ?AB)(?附表： . . . .4,285、已知连续型随机变量 的密度函数为 分）设连续型随機变量 的密度函数为)(YX与,01,,xyy????????其 他（1）求边缘密度函数 ；)(,YX（2）判断 与 的独立性； （3）计算 ；cov(,)Y（3）求 的密度函数,maxXZ?)(zZ?2、 （16 分）设隨机变量 与 相互独立，且同分布于 令Y)10)(,?pB。1,0XZ?????若 为 偶 数 若 为 奇 数29（1）求 的分布律；Z（2）求 的联合分布律；)(ZX与（3）问 取何值时 与 獨立？为什么p三、应用题（24 分）1、 （12 分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是 0.2。若一周 5 个工作日内无故障则可获 10 万元；若仅有 1 天故障则仍可获利 5 万元；若仅有两天发生故障可获利 0 万元；若有 3 天或 3 天以上出现故障将亏损 2 万元求一周内的期望利润。2、 （12 分）将 、 、 三个芓母之一输入信道输出为原字母的概率为 0.8，而ABC输出为其它一字母的概率都为 0.1今将字母 ， 之一输入ABC信道，输入 ， 的概率分别为 0.50.4，0.1 已知输出为，问输入的是 的概率是多少（设信道传输每个字母的工作是相互ABCA独立的） 。答
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