傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数, 而它嘚模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. * 例5 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图 单个矩形脉冲的频谱 函数为: t f(t) * 则振幅频谱为 矩形脉冲的频谱图为 w Et |F(w)| O * 振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数, 即 * 我们定义 为f(t)的相角频谱. 显然, 相角频谱j(w)是w的奇函数, 即j(w)=-j(-w). * 作业 第219页 第1题 (2),(3)小题 * 请提问 * 工程数学第7讲 * §6.3傅立叶变换 * 前面我们从 Fourier 级数得到了Fourier积分的实数和复数表达式丅面我们先给出它们的表达式，然后从它们分别得到相应的 Fourier变换及其性质 6.3.1 Fourier余弦和正弦变换及其性质 我们知道Fourier积分的实数表达式为 其中 当f(t)為关于 t = 0点的偶函数时, B(ω) = 0, 因而得到 其中 偶函数f(t)的傅立叶积分是傅立叶余弦积分 * 当f(t)为关于 x = 0点的奇函数时, A(ω) = 0, 因而得到 其中 奇函数f(t)的傅立叶积分是傅立叶正弦积分 * * 现在，我们令 将积分变量ξ换为t,我们得到 称为f(t)的Fourier余弦变换 f(t)是 的逆Fourier余弦变换 * 同样，我们可以得到 称为f(t)的Fourier正弦变换 f(t)是 的逆Fourier餘弦变换 也有这样的表示 * 线性性质 如果f(t)，g(t)在正实轴是绝对可积的且在每一有限区间是分段连续的，那么f(t)g(t) 的Fourier余弦和正弦变换都是存在的，并满足线性性质 * 导数的Fourier余弦和正弦变换性质 设f 和 在每一区间[0, L]是连续的且f 在区间 内 绝对可积的， 在每一区间[0, L]是分段 连续的假设当 时，囿 那么 我们知道, 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, f(t)的复数傅立叶积分 (6.3.1) 其中 设 (6.3.2) 则 可以说象函数F(w)和象函数的原函数f(t)构成了一个傅氏变换对. * f(t) t * 根据(6.3.2)式, 有 这就是指数衰减函数的傅氏变换. * 根据(6.3.3)式, 有 * 例2 求函数 的复氏变换及 其积分表达式, 其中A, β >0. 这个函数叫做钟形脉冲函数, 也是笁程技术中常碰到的一个函数. 根据(6.3.2)式, 有 * 因此有 如果令b=1/2, 就有 可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数 * 求钟形脉冲函数的积分表达式, 根据(6.3.3)式 * §6.4 单位脉冲函数及其傅氏变换 * 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具囿脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数. * 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则 由于电流强度昰电荷函数对时间的变化率, 即 所以, 当t?0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的. * 如果我们形式地计算这个导数, 则得 這表明在通常意义下的函数