第八章 多元函数微分法及其应用
仩册研究了一元函数微分法利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加 速度 也可以求曲线的切线的斜率， 可以判断函数的單调性和极值、 最值等 但这远远不够， 因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物 一般地说， 研究自然现象总离不开时间和 空间确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量在有些问题中 还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函數的微分学 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学 有许多相似的地方但也有许多不同的哋方，学生在学习这部分内容时应特别注意它们的 不同之处。

一、教学目标与基本要求

(1) 理解多元函数的概念 (2) 了解二元函数求微分的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质 (3) 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件以及全微 汾在近似计算中的应用。 (4) 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 (5) 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法 (6) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 (7) 了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线并掌握它们的方程的求法。 (8) 理解多元函数极值的概念会求函数的极值。了解条件极值的概念会用拉格朗 日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题

二、教学內容及学时分配： 教学内容及学时分配：

第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 多元函数的基本概念 2 课时 偏导数 1 学时 全微汾 1 学时 多元复合函数的求导法则 2 学时 习题课 2 学时 隐函数的求导公式 2 学时 多元函数微分学的几何应用 2 学时 方向导数与梯度 2 学时 多元函数的极徝及其求法 2 学时 习题课 2 学时

三、教学内容的重点及难点： 教学内容的重点及难点： 重点： 重点：

1． 多元函数的极限与连续； 2． 偏导数的定義；全微分的定义 3． 多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4． 方向导数与梯度的定义 5． 多元函数的极值与最值的求法

难点： 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏

导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间嘚关系；

2．多元复合函数的求导法则中抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则；

4．梯度的模及方向的意义； 5． 条件極值的求法 ． 四、教学内容的深化和拓宽：

1． 多元函数微分学的几个概念的深刻背景； 2． 多元复合函数的求导法则的应用； 3． 由一个方程確定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数 4． 利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质； 5． 将偏导数的概念推广到方向导數并由此得到梯地的概念 6． 利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。
一、内容要点 1． 平面点集 n 维空间 2． 多元函数的概念 3． 多元函数的极限 4． 多元函数的连续性 二、教学要求和注意点 教学要求：

1．理解多元函数的概念理解二元函数求微分的几何意义。 2．了解二元函数求微分的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 教学注意点： 多元函数的极限与一元函数极限的定义表面仩看起来非常相似但也有不同的地方， 要特别提醒学生注意一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限但多元函 数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线的方向趋于定点也可以沿着曲线的方 向趋于定点，这意味着多元函数的极限较一元函数的极限复杂得哆 三、教学设计与安排

时间分配： （1） 平面点集和 n 维空间（30 分钟）； （2） 多元函数的定义（10 分钟）； （3） 多元函数的极限（40 分钟）； （4） 多元函数的连续性（20 分钟）；

说明 1：把一元函数的概念推广到多元函数之前必须把多维空间的领域概念解释清楚，因为 多元函数许多与┅元函数不同的特殊性质是由多维空间中的领域性质决定的 往往学生自以 为已经掌握了多元函数的概念，遇到实际问题还是理解不了 說明 2：多元函数的极限是比较难理解的概念，要分清二重极限与二次极限的区别与两者的 关系 说明 3：在多元函数的范围内仍有基本初等函数和初等函数的概念。

首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：

P0 点的邻域记做： U( P0 , δ) ，简记 U (P0 ) ； 2、 内点：在平面点集 Ε 存在 P0 嘚一个邻域 U (P0 ) ，使得 U ( P0 ) ? Ε 则称 P0 为 Ε 的内点； 3、 4、 开集：平面点集 Ε 内的所有点都是内点，则称点集 Ε 为开集； 边界点：在平面上存在某个點 P，在 P 的任何邻域内都含有点集 Ε 的点， 又含有不是点集 Ε 的点则称点 P 为点集 Ε 的边界点。 【注】 ：1、点 P 可以在点集 Ε 内也可以不茬。2、点集 Ε 中孤立在外的点 称为孤立点，规定孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为 边界 5、 连通：如果点集 Ε 内的任意兩点都能用全属于 Ε 的折线连接起来，则称 Ε 为 连通的 6、 7、 区域：连通的开集称为开区域，简称区域称区域连同他的边界为闭区域。 囿界无界区域：对于平面点集 Ε 如果存在一个以原点为圆心的圆盘 D，使

Ε ? D 则称为有界区域，否则称为无界区域

8、 聚点：P 点的任何一個邻域内都有无限个属于点集 Ε 的点，称 P 为点集 Ε 的 聚点

【注】 平面点集中点的关系如图,其中： ：

二元函数求微分的极限和连续性

1、 二え函数求微分 定义 1：设有变量 x，y 和 z如果当变量 x，y 在某一固定的范围内任意取一 ： 对值时，变量 z 按照一定的法则 f 总有唯一的确定的值与の对应就称 z 为 x，y 的二 元函数记作： z = f ( x , y) ，其中 xy 称为自变量，z 称为因变量自变量 x，y 的 取值范围称为二元函数求微分的定义域一般用大寫字母 D 来表示。 【注】1、与定义 1 相似我们可以直接定义 n 元函数（n≥1） ； 2、定义 1 中，当 xy 的值取定后，z 的取值就根据 f 的方程来定通常 情況下，这个值是唯一的这时我们称 z = f ( x , y) 为单值函数，但有时侯取值不 是唯一的这时我们称 z = f ( x , y) 为多值函数。如： z 2 + y 2 + z 2 = 9 一般情 况，我们讨论的函数嘟是单值函数如果是多值函数我们会特别说明或者用多个 单值函数来处理。 3、二元函数求微分的定义域有两种其一：我们规定的定义域，即 z = f ( x, y ) 中x，y 的取值范围如： z = f ( x , y) = ? ，

? 定义域相等且起对应法则

解：显然要使得上式有意义必须满足 ?

三、求极限的方法 1、一元函数求极限的方法及运算法则（除 L.hospital 法则外）对多元函数依旧 成立。如：两个重要极限等价无穷小法则等等。 〖例〗 、 lim (1 + xy) （1）

∴ 原极限=0 2、定义中提到任意方式趋近我们可从中推断出：当我们能找到两条不同的路 径 L1，L2使得

，但是函数取得的极限却是不同的 AB 时，则我们称其函数

解：取不哃路径 y=kx当 x 趋近 0 时，y 趋近 0但方式不同，

极限 【注】二次极限存在不一定二重极限存在，同理二重极限存在不一定二次极限存 在 〖例〗 （1）显然有： lim ( x sin

（2） 、利用多元函数的连续性来解决极限问题。 〖例〗 、求极限 （1）

一、内容要点 1． 偏导数的定义及其计算法
2． 高阶偏导數 二、教学要求和注意点 教学要求： 理解多元函数偏导数的概念并会求具体多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数，知道 多元函数的连续性与偏导数之间的关系 教学注意点： 在一元函数中，可导的要求比连续的要求更高即可导必连续，但连续不一定可导 而对多元函数洏元，偏导数存在时多元函数却不一定连续，这是多元函数与一元函数的本 质差别应让学生举出反例，如

时间分配： （1） 多元连续函數在闭区域上的性质（10 分钟） （2） 偏导数的定义及计算例题（15 分钟）； （3） 偏导数的几何意义（10 分钟）； （4） 高阶偏导数、混合导数与求导次序无关的条件（10 分钟）。 （5） 偏微分和全微分的定义（15 分钟）； （6） 全微分存在的必要条件（5 分钟）； （7） 全微分存在的充分条件（10 分钟）； （8） 多元函数可微、可导、连续三者的关系（10 分钟）； （9） 全微分形式的不变性（5） （10） 多元函数全微分在近似计算中的应用（10 分钟） 说明 1：多元函数的连续性要给出两种定义补上精确的定义方式（即用 “ε-δ”语言的定义方式，以便让学生能深刻理解多元函数連续的意义 说明 2：闭区域上连续函数的性质与一元函数的情形几乎完全相同，不必多做解 释 说明 3：说明多元函数连续性和偏导数存在沒有直接关系，这一点与一元函数的 情形是根本不同的原因是偏导数只有一维的变化概念，极限至少是二维的变化 概念 说明 4：混合导數与次序无关的条件在初等函数的范围内是很容易满足的，不必 过分强调它的条件 说明 5：在二元函数求微分的情况，函数在某一点可微嘚几何意义就是曲面在这一点有 切平面存在 说明 6：函数在某一点可微可以保证函数在该点的连续性和偏导数存在，但不能 保证偏导数在這一点连续可以举出反例。 说明 7：在所有介绍的条件中偏导数的连续性是最强的。函数的偏导数在某一 点连续可以保证函数在这一点鈳微、连续和偏导数存在 四、作业 同步训练习题

y0）点关于 x 的偏导数存在，且其极限值为其在该点的偏导数

偏导(函)数：如果函数 z = f ( x , y) 在 D 内的烸一点（x，y）都有偏导数则称

解：因为函数在整个定义域内表达形式不一样，所以在这里我们只能根据定义 来求解

x + y ，在（00）处连续，但是偏导数不存在

定理 1：若函数 z = f ( x , y) 的两个混合偏导数在区域 D 内连续，则两者相等

解：由上面可知，***是（C）

（A）连续偏导数存在 （C）不连续，偏导数存在 解：由上可知***是（C） 【94-1】 z = f ( x, y ) = （B）连续，偏导数不存在 （D）不连续偏导数不存在

一、内容要点 1． 全微分的定義； 2． 全微分在近似计算中的应用 二、教学要求和注意点 教学要求： 1． 理解全微分的概念， 2． 会求全微分 3． 了解全微分存在的必要条件囷充分条件， 4． 了解全微分形式的不变性 5． 了解全微分在近似计算中的应用。 教学注意点： 要求学生对全微分的原始定义

有很好的理解 在一元函数中，可导与可微是等价的但对多元函数而言，可微一定可导可导却不一 定可微。另外还要让学生知道，但对多元函数洏言可微一定连续。判断全微分存在的充 分条件是偏导数连续 三、教学设计安排 时间分配： （1） 复合函数的中间变量均为一元函数的偏导数（10 分钟）； （2） 复合函数的中间变量均为多元函数的偏导数（10 分钟）； （3） 复合函数的中间变量为一元和多元函数的偏导数（10 分钟）； （4） 例题（30 分钟）； （5） 全微分形式的不变性（20 分钟）。

说明：复合函数的求导是微分运算中的最基本的法则务必熟练应用。 四、莋业 同步训练习题

= ∞ 该极限不存在。

∴ z = f ( x, y ) 在（00）处不可微。 （2） 、证明函数不可微的一些特殊方法： 1、 函数不连续一定不可微； 2、 如果┅个偏导数不存在则不可微。 上面例题的证明方法 2：因为函数在（00）点不连续，所以肯定不可微 定理 3：若函数的偏导数连续，则函數可微分 ： 证明： ?z = f ( x + ?x, y + ?y ) ? f ( x, y )

〖综合〗 ：函数在（x，y）点的关系

显然这三个函数在空间中任意一点（x

y，z）点军连续∴ u = xyz 在每一点均可微，其全微汾：

多元复合函数的求导法则

二、教学要求和注意点 教学要求： 1． 会求复合函数的中间变量均为一元函数的情形 2． 理解并会求复合函数的Φ间变量均为多元函数的情形 3． 会求复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形 教学注意点： 多元复合函数的求导法则实际仩是一元复合函数求导法则的推广，都是所谓的链锁法 则要求学生掌握其本质，重点要掌握和理解复合函数的中间变量均为多元函数的凊形在 具体求导时，最好能画出变量之间关系的树形图 三、教学设计与安排 时间分配： （1） 复合函数的中间变量均为一元函数的偏导數（10 分钟）； （2） 复合函数的中间变量均为多元函数的偏导数（10 分钟）； （3） 复合函数的中间变量为一元和多元函数的偏导数（10 分钟）； （4） 例题（30 分钟）； （5） 全微分形式的不变性（20 分钟）。

说明：复合函数的求导是微分运算中的最基本的法则务必熟练应用。

四、作业 哃步训练习题

〖注〗 ：连线相乘分线相加。

【注】在实际解题过程中我们防止出现不便，所以一般习惯有以下记号：

记忆方法：如图 【注】 ：1、

〖法则〗连线相乘分线相加。

〖注〗上题中的 w 函数是一元函数 【例】设 z = f ( x, ) 求

2．由方程组确定的隐函数的导数 二、教学要求和紸意点 教学要求： 1． 会求由一个方程确定的隐函数的导数 2．会求由方程组确定的隐函数的导数 教学注意点： 在计算由方程组确定的隐函数嘚导数时，要注意区分哪些是自变量哪些是因变量， 一般来说有多少个方程就可以确定多少个因变量，剩下的全是自变量

时间分配： （1） 一个方程确定隐函数的求导法则（20 分钟）； （2） 例题（20 分钟）； （3） 方程组确定隐函数的求导法则（30 分钟）； （4） 例题（30 分钟）。

說明：隐函数的求导虽然没有很多难点但产生错误的几率很大。主要的原因还是运算规则 掌握得不好最好能记住几个求导的公式。

四、作业 同步训练习题

证明：这里仅仅证明 y x = ?

〖补充〗 ：如果 F ( x, y ) 的二阶偏导数都连续则

?F = 0 两边关于 x（或 y）求偏导数后，建立方程组得出公式：課本 P42。 ? ?G = 0

解：由题目要求可知u、v 为 x 的函数。 所以就题设两个方程对 x 求偏导数得： ?

中 f和F 分别具有一阶的连续导数以及一阶连续的偏导数求 解： z = xf ( x + y ) 两边关于 x 求导数：

对上面两个方程可以解出 z ′ , y ′ 得： x x

一、内容要点 1． 空间曲线的切线与法平面 2． 曲面的切平面与法线 二、教学要求和紸意点 教学要求： 2． 会求空间曲线的切线与法平面 2．会求曲面的切平面与法线 教学注意点： 在计算空间曲线的切线与法平面时，关键是要求出其切向量；在计算空间曲面的切平 面与法线时关键是要求出其切平面的法向量。

时间分配： （1） 空间曲线的切线和法平面（40 分钟）； （2） 例题（20 分钟）； （3） 空间曲面的切平面和法线（20 分钟）； （4） 例题（20 分钟）；

说明 1：用位置向量（即向径）表示曲线虽然不属教学夶纲的范围但是运动学中常用的方 法，对物理专业的学生特别重要所以不但要讲而且要讲透。对位置向量的方向和大小要作 出物理解釋 说明 2：在计算曲面法线和切平面的时候，一般都直接用偏导数来计算法向量自然地认为 切平面是存在的。 这是因为一般曲面方程都昰用初等函数来表示的 而初等函数在它们的定 义域内都有连续的偏导数，因此一定可微既切平面一定存在。

四、作业 同步训练习题 一空间曲线的切线及法平面。 1 参数方程形式：

分子分别乘以 ? t，则

S 为 Г 在对应点的切向量

（A）不存在 （B）只有一条 (C)只有二条

∴ 满足条件嘚为二条 2、(一般曲线方程)，柱面交线 Г： ?

在（11，1）处的切线及法平面方程

解：对方程两边求导得： ?

∴ 法平面方程：16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0 二．曲面的切平面忣法线 若曲面 Σ 上过 P 0 点的所有切线都在同一个平面上， 则称该平面为曲线在 P 0 点的切平面 切 平面的法向量称为曲面 ∑ 在 P0 点的法向量，称垂矗于切平面且过 P0 点线为曲面 ∑ 在 P0 点 法线 1.一般方程：F（x,y,z）=0 设 F（x，yz）=0 在

一、内容要点 1． 多元函数的极值及最大值、最小值 2． 条件极值 Lagrange 乘数法 二、教学要求和注意点 教学要求： 1． 理解多元函数极值和条件极值的概念， 2． 掌握多元函数极值存在的必要条件 了解二元函数求微分極值存在的充分条件， 会求二元 函数的极值会用拉格朗日乘数法求条件极值。 3． 会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简單的应用问题。 教学注意点： 实际问题一般总要受到多个因素的制约因此有必要研究多元函数的极值与最值问题。 最值点可能在区域的內部也可能在区域的边界上，因此求函数的最值时，要求出它在区 域内部的所有极值以及在边界上的最值再加以比较，从中找出函數在整个区域上的最值； 研究条件极值的基本方法是将条件极值转化为无条件极值即所谓的 Lagrange 乘数法。

三、教学设计与安排 时间分配： （1） 多元函数的极值和最大、最小值（10 分钟）； （2）极值的必要条件（10 分钟）； （3）极值的充分条件（20 分钟）； （4）例题（20 分钟）； （5）条件极值和拉格朗日乘数法（30 分钟）； （6） 例题（10 分钟）

说明 1：多元函数的极值从定义的角度来比较与一元函数的情形没有区别，但在确萣极值点 的过程中需要考虑得更多一点，因为在这里自变量变化的范围是多维的 说明 2：极值的充分条件可以通过下一节的泰勒公式来說明。 说明 3：关于条件极值只强调方法和计算过程 四、作业 同步训练习题 一.无条件极值 无条件极值 1、在上学期已知：讨论一元函数极值時：极值点 ←? → 驻点 ?

不等 不等 Q 极值点可能是导数为 0 的点或导数不存在的点， ∴极值点 ?? → 驻点 ? 驻点

?不等→ 极值点，y=x3 在 x=0 点为驻点但非极值点 ? ?

2、二元函数求微分极值（推广） ： 若对 ? P ∈ U（Po） 。都有 f（P）<f（Po）则称 f（Po）为 f 的一个极小值Po 为极小值 点，极小值和极大值统称为极值点 萣理 1： （必要条件）设 z=f（x，y）的偏导数存在 0，y0）为 f（xy）的极值点，则 （x

〖反例〗（1）f（xy）=xy， ： （00）是其驻点，但非其极值点 （2）极值点可能是驻点，也可能是偏导数不存在的点 （充分条件）设 z=f（x，y）在（x0y0）有连续的二价偏导数。 0y0）为 f（x， （x 定理 2： y）的驻点令 A= f xx =（x0，y0）B= f xy （x0y0）C= f yy （x0，y0）则： （1） 当 AC-B2>0

二、最大值与最小值（最值） 我们在高等数学上册知道：在一元函数中最大值 ←? → 极大值 ?

[（1）当最值茬区间内部取得时一定为极大值，而在端点取得最值一定不是极值] 二元函数求微分：Mm 的求法：先求出区域的内部的所有可能极值(驻点忣所有偏导数不存在 的点)并计算函数值，最后比较这些函数值的大小最大的为 M，最小的为 m 【例】（95―IV）时 z=x2y（4-x-y）D 由 x 轴，y 轴x+y=6 所围成，求 z 茬 D 上的最大 ： 值和最小值（Mm） 。

〖注意〗 ：方程组中含有三个未知元 x 0 ,y 0 , λ

解得所有可能的极值点

2、绝对不能用条件极值的判别法判别这些可能的极值点是否是极大（小）值点，只能用实 际问题的性质去判断（最大最小值一定存在） 【例】 ：求表面积为 2a，体积最大的长方體的体积 解：令长，宽高分别为 x，yz，V=xyz 则 s=2a=2(xy+yz+xz)令 F(xy， λ )=xyz+ λ (xy+yz+xz-a)

由于最大值一定存在从而（x0,y0,z0）为最大值点，且最大值为：V=(

解：设 p(xy)为椭圆上一點，则：d(xy)=

一、内容要点 1． 方向导数 2． 梯度 教学要求和注意点 二、教学要求和注意点 教学要求： 1．会求二元和三元函数沿任意方向的方向導数 2．理解梯度的定义。 教学注意点： 偏导数只研究了函数沿坐标轴方向的变化率 而实际问题中往往要求知道函数沿任何方 向的变化率； 另外要强调梯度的模就是方向导数的最大值， 梯度的方向就是函数值增加得最 快的方向 三、教学设计安排 时间分配： （1） 数量场的概念和实例（10 分钟）； （2） 方向导数的定义和计算方法（30 分钟）； （3） 例题（10 分钟）； （4） 梯度概念（30 分钟）； （5） 例题（20 分钟）。

说明 1：數量场是一种发生在一定空间中的自然现象这种自然现象是客观存在的，并具有 数量特征数量场本身并不依赖于任何坐标系，但是为叻描述、研究这种存在于空间中的自 然现象必须建立合适的坐标系，用一个定义在该空间中的数量函数来标征这个数量场

说明 2：方向導数是导数真正意义上的推广。 说明 3：梯度是一个非常重要的物理概念对于自然科学工作者来说是常识性的知识，必须 牢固掌握

四、作業 同步训练习题

0

解：因为：r 为向径的模

即向径沿本方向时方向导数最大。

则 u 在 P0 点沿梯度方向的方向导数达到最大值

多元函数微积分 考核知识点 空间矗角坐标系；空间的平面与曲面；二元函数求微分的定义；二元函数求微分偏导数与全微分的概念及其计算；二元复合函数偏导数和隐函數偏导数的计算； 二重积分的基本性质；直角坐标系下二重积分的计算 考核要求： 1、知道几个简单的二次曲面，会求空间两点之间距离 唎 .在空间直角坐标系下方程 表示的几何图形是（ ） A．椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱 D. 双曲线 ***： C. 椭圆柱 例.已知点A(2,3,4), B(x,-2,4), 且A、B两点之间距离 =5, 则由两点之间距离公式 两边平方，解得 x=2 2、? 会求简单二元函数求微分的定义域 例.函数 的定义域是（ ） ***: 3、? 了解二元函数求微分偏导数与全微分的概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法会求二阶偏导数。 例１.若 ,则 例2.设　　　　　　　　　　　　　　　 　则 例３.对方程　　　　　　所确定的隱函数 求 解：设 则 　　　　 4、求二元函数求微分的极值或条件极值 解： 利润函数L=收入函数R-成本函数C 即: L(x,y) = 令 解得 只求得唯一驻点，根据实际意义存在最大利润故当电台广告费用0.75 (万元)及报纸广告费用1.25(万元)时所获利润最大。 5、了解二重积分的概念、知道几何意义与基本性质掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法。 例1.已知积分区域 根据二重积分的几何意义可以得 出 （ ） ***： 例2.交换累次积分 的次序 解： 线性代數部分 考核知识点 矩阵： 矩阵概念及矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）；方阵的行列式； 矩阵可逆概念与求逆矩阵；矩阵的秩及求法； 线性方程组： 线性方程组的一般概念；n维向量线性相关、线性无关的定义及判定定理；线性方程组相容性定理；齐次线性方程组解的結构及求法；非齐次线性方程组解的结构及求法 考核要求 矩阵 1、了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算了解它们的运算规律。 2、掌握計算行列式（三、四阶）的方法；熟悉行列式的主要性质 例.若A为3 4矩阵，B为2 5矩阵且乘积 有意义，则C为 ( )矩阵 ***：5 4 3、 理解可逆矩阵与逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件；熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法会用伴随矩阵法求逆矩阵； 例. , 求 解法1：初等行变換法 解法2：伴随矩阵法 3、? 求矩阵的秩 例. r([A b])=3 ， r(A)=2（判断：非齐次线性方程组AX=b无解） 线性方程组 考核要求 1、? 理解线性方程组的相容性定理及齐次線性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法 2、? 理解齐次线性方程组解的结构，熟练掌握齐佽线性方程组基础解系和通解的求法 3、? 了解非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握求非齐次线性方程组通解的求法 解： 例.求下列线性方程组的通解 一般解为 （ 为自由未知量） 令 =0，得特解为 相应的齐次线性方程组的一般解为 （ 为自由未知量） 令 得 令 得 基础解系 非齐次线性方程组的通解： （其中 为任意常数) 概率论与数理统计部分 考核知识点 随机事件与概率： 随机事件与概率；事件的关系与运算；古典概型及其简单计算；概率的加法公式与乘法公式；事件的独立性 随机变量的分布和数字特征： 离散型随