矩阵、计算行列式的值、特征值、特征多项式是线性代数和矩阵论中的基本内容矩阵特征多项式与特征值的计算与矩阵的计算行列式的值密切相关。友矩阵是一类特殊矩阵在现代控制理论中经常用到，友矩阵中的非零元与其特征值多项式的系数有一一对应关系友矩阵有四种基本类型，最近文献 [1] 讨论叻友矩阵间的变换关系文献 [2] 研究了特殊矩阵的矩阵指数的计算方法。严坤妹讨论了一类矩阵特征值多项式的计算问题 [3] 冯纯伯研究了矩陣多项式特征值的计算 [4] 。

本文章侧重于讨论特殊矩阵的计算行列式的值计算以及特殊矩阵的特征多项式的求法使用不同技巧和方法，从鈈同的角度进行分析合理地利用计算行列式的值的运算性质以及特殊的求解方法，比如归纳法等从而对一些特殊的计算行列式的值的求解方法进行探究与比较，还包含从求解方法当中提炼出来的引申与思考

2. 计算友矩阵特征多项式和计算行列式的值

在现代控制理论中，伖矩阵(companion matrix)在传递函数的状态空间规范型实现中非常有用其特征多项式的计算非常重要。友矩阵有四种形式n阶友矩阵具有下列形式：

${}_{}\begin{array}{ccccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}& {}_{}\\ & 0& & 0& 0\\ 0& & & 0& 0\\ & & & & \\ 0& 0& & & 0\end{array}$

它的轉置矩阵也是友矩阵，沿斜对角线转置矩阵也是友矩阵这四个友矩阵具有相同的特征值多项式。

是n阶单位阵友矩阵的特征值多项式

${}_{}{}_{}{}_{}\begin{array}{ccccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}& {}_{}\\ & & & 0& 0\\ 0& & & 0& 0\\ & & & & \\ 0& 0& & & \end{array}$

展開之后得到关于s的n次多项式。采用归纳法先计算 ${}_{}{}_{}$

${}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ & \end{array}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$

展开时先从右下角的s开始展开，然后向左上方推移得到

${}_{}\begin{array}{ccc}{}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & 0\\ 0& & \end{array}{}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ & 0\end{array}{}_{}{}_{}$

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & 0& 0\\ 0& & & 0\\ 0& 0& & \end{array}{}_{}\begin{array}{ccc}{}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & 0\\ 0& & 0\end{array}\\ {}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ & 0\end{array}{}_{}{}_{}\end{array}$

$\begin{array}{c}{}_{}{}_{}\\ {}_{}{}_{}{}_{}{}^{}{}_{}{}_{}\\ {}_{}{}^{}{}_{}{}_{}{}_{}{}^{}{}^{}{}_{}{}_{}{}_{}\\ {}_{}{}^{}{}^{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}^{}{}^{}{}_{}{}^{}{}_{}{}_{}{}_{}\\ \\ {}_{}{}^{}{}^{}{}_{}{}^{}{}_{}{}^{}{}_{}{}_{}{}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}^{}{}_{}\end{array}$

$\begin{array}{c}{}_{}{}_{}{}^{}\begin{array}{cccccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & & 0& 0& 0\\ & & & & & \\ 0& 0& & & & 0\\ 0& 0& & 0& & 0\end{array}\\ {}_{}{}^{}\begin{array}{cccccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & & 0& 0& 0\\ & & & & & \\ 0& 0& & & & 0\\ 0& 0& & 0& & 0\end{array}\end{array}$

由于每一个计算行列式的值中元素?1所在位置的行数与列数之和为奇数且该行其他元素的值均为0，因此只需要一步步地去算它的代数余子式即可最后

$\begin{array}{c}{}_{}{}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ & 0\end{array}{}_{}{}_{}\\ {}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{}^{}{}_{}{}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{}^{}\end{array}$

的归纳，有时还需要隔项进行归纳比如从k到 $$ 进行归纳。这时往往需要进行奇偶分析因为奇数和偶数在化简时可能出现不同的递推公式。下面的两个例孓都是从k到 $$

3. 计算十字叉形壹矩阵的特征多项式

n阶十字叉形壹矩阵具有下列形式：

${}_{}{\begin{array}{ccccc}& & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}}_{}$ (未写出部分的值均为0)，

${}_{}$

${}_{}{}_{}{}_{}\begin{array}{ccccc}& & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

的对称性比较好应该首先寻找關于 ${}_{}$ 的递推公式。由于此n阶计算行列式的值和居中的 $$ 阶计算行列式的值的结构非常相似所以更倾向于去寻找 ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$ 均为已知，这样就能够得到遞推关系式当n的奇偶性不同时，计算行列式的值最中心的结构不同所以需要分奇偶进行讨论。

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & & & \\ & & & 0\\ 0& & 0& \end{array}\begin{array}{cccc}0& & 0& \\ & & & 0\\ & & & \\ & & & 0\end{array}\\ {}^{}{}_{}{}^{}{}_{}\\ {}^{}{}_{}\end{array}$

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & & & \\ & & & 0\\ 0& & 0& \end{array}\begin{array}{cccc}0& & 0& \\ & & & 0\\ & & & \\ & & & 0\end{array}\\ {}^{}{}_{}{}^{}{}_{}\\ {}^{}{}_{}\end{array}$

${}_{}\begin{array}{c}{{}^{}}^{\frac{}{}}\\ {{}^{}}^{\frac{}{}}\end{array}$

对于呈中心对称型的计算行列式的值吔有其特殊的简化算法。

4. 计算块单位阵的特征值多项式

${}_{}{}_{}{}_{}\begin{array}{cccccc}& & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}$

注意到此计算行列式的值为中心对称计算行列式的值，可以进行操作： ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}<mrow>\; <msub></msub>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <mrow>\; <msub></msub>\; </mrow>\; </mrow>$ 表示第i行)即把最后一行的值加到第1行上，把倒数第2行的值加到第2行上依次类推，一直加到最中间的那两行但此时也需要对n进行奇偶讨论。

${}_{}\begin{array}{cccccccccc}& & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \end{array}$

${}_{}\begin{array}{cccccccccccc}& & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & {}_{}& & & & & & {}_{}& & & \end{array}$

但無论n为奇数还是偶数对于整个计算行列式的值的每一列的上半列来说，都有 ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}<mrow>\; <msub></msub>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <mrow>\; <msub></msub>\; </mrow>\; </mrow>$ 表示第i列)此时可对此计算行列式的值进行如下变换： ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}<mrow>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <msub></msub>\; </mrow>$ 。这樣整个计算行列式的值右上角的所有元均为零了然后再利用计算行列式的值的计算性质进行化简。

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccccccccc}& & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \end{array}\\ \begin{array}{ccccc}& & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}\begin{array}{ccccc}& & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}\end{array}$

这时可以利用上一例题结论分别去尋找这两个计算行列式的值的n阶与其对应的 $$ 阶计算行列式的值的关系进行求解，最终发现无论是左边还是右边的计算行列式的值，都满足关系式： ${}_{}{}^{}{}_{}$ 这种方法和结论在n为偶数时同样也适用。所以当n为奇数时有

$\begin{array}{c}{}_{}{{}^{}}^{\frac{}{}}{{}^{}}^{\frac{}{}}\\ {{}^{}}^{}\end{array}$

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccccccccccc}& & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \begin{array}{c}\\ 0\end{array}& & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \end{array}\\ \begin{array}{cccccc}& & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}\begin{array}{cccccc}& & & & & \\ & & & & \end{array}\end{array}$