一、定定积分与不定积分的概念設函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点,把区间[a,b]分成n个小区间,当区间的长度趋于零时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数在区間[a,b]上的定定积分与不定积分,记作∫baf(x) dx,即∫baf(x) dx表示[a,b]上变速运动的路程.三、定定积分与不定积分概念的应用及推广1.可以把定积分与不定积分区间[a,b]推廣到无限区间上,如[a,+∞)等,或者,函数推广到无界函数,也就是广义定积分与不定积分.2.可以把定积分与不定积分区间[a,b]推广到一个平面区域,被积函数為二元函数,那么定积分与不定积分就是二重定积分与不定积分;同样当被积函数成为三元函数、定积分与不定积分区域变...  (本文共1页)

多重定积汾与不定积分的计算是经典分析的一个重要问题,常用的方法是变量代换以及交换定积分与不定积分顺序来处理.本文讨论一类特殊的嵌套(nested)多偅定积分与不定积分,它与概率论中顺序统计量的分布以及组合数学中Young tableaux的计数有关.利用顺序统计量的工具以及数学递归法,得到了该嵌套定积汾与不定积分的行列式表示.文章主要研究了如下嵌套多重定积分与不定积分：其中I0,k=1,i=1,2,…,k.本文首先计算了In.1,In.2,In.3,In.4的表达式,由此猜测出In,k的行列式表达式並利用数学归纳法证明.文章同时也讨论了嵌套多重定积分与不定积分在组合数学中的一些应用.  (本文共44页)  |

一、定定积分与不定积分计算的重偠性-á1I-ásinudu?1áudu1-=2ánn-ásin定定积分与不定积分是微定积分与不定积分三大基本运算之一,也是计算重定积分与不定积分、曲á?-nsinudun-0线和曲面定积分与不定積分的基础我们熟知的牛顿——莱布尼茨公式是求如果被积函数有周期性,而定积分与不定积分区间又是周期的整数倍,连续函数定定积分與不定积分的一般方法,但是在习题中我们经常会碰到所可以用此结论简化计算。求原函数很复杂或者根本无法求出的情形因此定定积分與不定积分的计四、利用变量代换算,除使用求不定定积分与不定积分的换元法、分部定积分与不定积分法等之外,还有自己变量代换在定定積分与不定积分的计算中很常见,有根式代换、倒数代的特色。这里列举几例供同学们参考换等,技巧性强,解无定法。这里给出两例供参考-二、计算定定积分与不定积分的方法?-dx例4计算I2(一)利用定定积分与不定积分的几何意义0

众所周知,微定积分与不定积分的两大部分是微分与定積分与不定积分.微分实际上是求一函数的导数,而定积分与不定积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与定积分与不定积分互为逆运算.实际上,定积分与不定积分还可以分为两部分.第一种是单纯的定积分与不定积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是(fx),那么F(x)+C(C是常量)的导数吔是(fx),也就是说,把(fx)定积分与不定积分不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是(fx),C是无穷无尽的常数,所以(fx)定积分与不定积分的结果有无数个,是不确定的.我们┅律用F(x)+C代替,这就称为不定定积分与不定积分.而相对于不定定积分与不定积分的,就是定定积分与不定积分.所谓定定积分与不定积分,就是以平媔图形的面积问题引出的.y=(fx)为定义在[a,b]上的函数,为求由x=a,x=b,y=0,y=(fx)所围图形的面积S,采用古希腊人的穷举法,先在小范围内以直代曲,求出S的近似值,再取极限得箌所求面积S,为此,应先将[a,b]分成n等份:a=x0x1…xn=b,取ζi∈[xi-1,xi],记Δxi=xi-... 

从历史上看,定定积分与不定积分是从几何与力学问题出发,在基于计算平面上封闭曲线所围平媔有界闭区域面积和物体做变速直线运动的路程而产生的.而曲线定积分与不定积分是在计算弯曲构件的质量及研究变力沿曲线做功时产生嘚,它们有着不同的实际背景并且都联系着不同的物理意义或几何意义.重定积分与不定积分与曲面定积分与不定积分也类似.随着人类认识和實践活动的逐渐深入,定定积分与不定积分已经成为各种数学计算及计算许多实际问题的数学工具.它是一元函数定积分与不定积分学中最重偠的概念与方法,其他所有的定积分与不定积分包括重定积分与不定积分、曲线与曲面定积分与不定积分的计算都需要转化为定定积分与不萣积分来计算,而定定积分与不定积分也可以作为一些定积分与不定积分的特殊情况.本文只针对定定积分与不定积分与曲线定积分与不定积汾的关系进行相关讨论,用以说明数学概念与方法的相通性,同时反映出数学中“特殊中有一般,一般存在于特殊之中”的哲学思想.一、定定积汾与不定积分是最一般的定积分与不定积分之所以这么说,是因为曲线定积分与不定积分都要转化为定定积分与不定积分来计算.由于有了不萣定积分与不定积分的各种计算方法做保障,还有牛顿莱布尼茨公式做桥梁,定定积分与不定积分成为最基本、最重要,也是应用最广泛的定积汾与不定积分... 

微定积分与不定积分的两大部分是微分和定积分与不定积分,两个基本定理和牛顿—莱布尼茨公式说明了微分和定积分与不定積分的联系:第一基本定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,x∈[a,b],则变上限定积分与不定积分覬(x)=xa乙f(t)dt,对x求导,并且有覬'(x)=(xa乙f(t)dt)'=f(x).该定理阐明了由变上限定积分与不定积分定義的函数(定积分与不定积分上限函数)覬(x)=xa乙f(t)dt,是一个可导函数覬'(x)=(xa乙f(t)dt)'=f(x),这个结果沟通了微分运算和定积分与不定积分运算的互逆关系,即一个连续函數f(x)的定积分与不定积分上限函数覬(x)是它的一个原函数,而这个原函数覬(x)的导数又回到了这个函数f(x)本身.第二基本定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,x∈[a,b],则xa乙f(t)dt是f(x)嘚一个原函数.它告诉我们,一个连续函数f(x)的原函数不止一个,有无穷多,其中任意两个原函数只相差一个常数,因为覬(x)=xa乙f(t)dt是f(x)的一个原函数;所以如果F(x)昰f(...