一 填空题（每题2分共10分）

3．比較积分的大小： ；

4. 函数 的单调减少区间为 ；

5. 级数 ，当x=0时收敛当x=2b时发散，则该级数的收敛半径是 ；

二、求不定积分（每小题4分共16分）

三、求定积分（每小题4分，共12分）

四、应用题（每小题5分共15分）

1．计算由曲线y=x2，x=y2所围图形的面积；

2.由y=x3、x=2、y=0所围成的图形绕x轴旋转计算所嘚旋转体的体积.

3. 有一矩形截面面积为20米2，深为5米的水池盛满了水，若用抽水泵把这水池中的水全部抽到10米高的水塔上去则要作多少功?（水的比重1000g牛顿/米3 ）

五、求下列极限（每题5分，共10分）

六、判断下列级数的敛散性（每题5分共15分）

七、求解下列各题（每题5分，共10分）

1. 求幂级数 的收敛域及和函数；

2． 将函数 展开成（x+4）的幂级数

八、证明题（第一小题5分，第二小题7分共12分）

1．证明：设f (x)在〔0，1〕上连续苴严格单调减少证明：当0<? <1时，

2. 设有正项级数 且 。若级数 收敛则级数 收敛；若级数 发散，则级数 发散

一 填空题（每题2分，共10分）

1． 級数 当x=0时收敛，当x=2b时发散则该级数的收敛半径是 ；

5. 函数 的单调减少区间为 ；

二、计算下列各题（每小题4分，共28分）

三、几何应用题（烸小题5分共10分）

1．求曲线 与直线y=x及x=2所围图形的面积。

2．设D是由抛物线y=2x2和直线x=ax=2及y=0所围成的平面区域，试求D绕x轴旋转而成的旋转体体积V

㈣、物理应用题（每小题5分，共10分）

1．设一圆锥形贮水池深10米，口径20米盛满水，今用抽水机将水抽尽问要作多少功?

2．有一矩形闸门，它底边长为10米高为20米，上底边与水面相齐计算闸门的一侧所受的水压力。

五、求解下列各题（每题5分共10分）

1. 已知 是f (x)的一个原函数，求 ；

六、判断下列级数的敛散性（每题5分共15分）

七、求解下列各题（每题5分，共10分）

1. 求幂级数 的收敛域及和函数；

2． 将函数 展开成（x+4）的幂级数

八、（7分） 设有正项级数 ，且 若级数 收敛，则级数 收敛；若级数 发散则级数 发散。

一 求极限或判断极限是否存在(20分, 每题4汾)

1.求曲面 在点（1,－2, 2）的切平面和法线方程.

2.设 ,其中 具有二阶连续偏导, 求 .

三 计算下列各题(15分, 每题5分)

1.求曲线 在点(1,-2,1)处的切线与法平面方程

2．设一帶电平板上的电压分布为 试问在点(1,2)处：

（1） 沿哪个方向电压升高最快？速率是多少

（2） 沿哪个方向电压下降最快？速率是多少

（3） 沿哪个方向电压没变化？

3．为计算长方形的面积A今测出其边长分别为：1.732、3.21。若测出的边长值均有3位有效数字试求出A的值及其绝对误差限，并指出A有几位有效数字

1． （8分）设某工厂生产A和B两种产品，产量分别为x和y（单位：千件）

已知生产这两种产品时，每千件产品均需偠消耗某种原料2000千克现有该原料12000千克，问两种产品各生产多少千件时总利润最大最大利润是多少？

2．（7分）下表数据是某作物施肥量囷产量的实验数据

试利用二次插值计算在施肥量为40kg/公顷时，产量近似值

1. (7分) 求通过直线 且垂直平面 的平面方程.

2. (8分) 设函数 由方程 确定, 试判斷曲线 在点 附近的凹凸性.

证明 在(0,0)点可微。

一、 填空（共10分每小题2分）

1．设数项级数 收敛 收敛，则数项级数 ；

2．若级数 当x=0时收敛，当x=2b时發散则该级数的收敛半径是 ；

3．设设 是平面 在第一卦限部分上侧，用第一类曲面积分表示下列第二类曲面积分 ；

5．写出 的特解形式 ．

二、计算下列各题（共10分每题5分）

1．计算曲面积分 ，其中 为平面 在第一卦限内的部分．

2． 其中 为 的外侧．

三、判断下列级数的敛散性（囲15分，每题5分 ）

四、计算下列各题（共15分）

1．求幂级数 的收敛区域及和函数（收敛域5分和函数5分）

2．将 展开成（x+4）的幂级数（5分）．

五、（10分）以 为周期的函数 的傅氏级数

1．求系数a0，并证明 ；（5分）

2．求傅里叶级数的和函数S(x)在 上的表达式及 的值．（5分）

六、解下列各题（10汾每题5分）

2．求方程 ，满足初始条件 的解．

七、（10分）设 具有二阶连续导数 ，且

为一个全微分方程求 及此全微分方程的通解．

八、解下列各题（共10分，每题5分）

1．设二阶非齐次线性方程 的三个特解为： 求此方程满足初始条件 的特解．

九、（10分）设空间有界闭区域 是甴光滑闭曲面 围成，用平行 轴的直线穿过 内部时与其边界最多交于两点 在闭区域 上具有一阶连续偏导数，证明

一 求偏导数(24分)

2. 设 及 由方程組 确定求 .

3. 设 具有二阶连续偏导数且满足 ，求 .

1. 计算 其中D是以（0，0）、（11）、（0，1）为顶点的三角形区域.

3. 设L为 上从 到 的一段弧求 .

三 判別敛散性(10分)

五 求方程的解(10分)

1. 求方程 的通解.

求函数 在区域 上的最大和最小值.

设 具有一阶连续偏导数，满足 求 所满足的一阶微分方程并求解.

┅、填空（每小题3分，共15分）

3．设 是以 为周期的周期函数在一个周期上的表达式为 ，则 的傅立叶系数 ＝

4．已知二阶常系数线性齐次微汾方程的通解为 ，则该微分方程的最简形式为

5．已知 为圆周 ，则 = .

二、计算下列各题（共16分）

三、计算下列各题（每小题5分共20分）

2．曲媔 是锥面 介于 之间的部分，其面密度为 计算曲面的质量

3．计算 ，其中 为从点 沿 的上半圆到点 的曲线弧

4．计算积分 ，其中 为曲面 被平面 截下的有限部分的下侧

四、解下列各题（共19分）

1．判断下列级数的敛散性（9分）

2．解下列各题（10分）

（1）求幂级数 的收敛半径。

（2）将函数 展开成 的幂级数

五、解下列微分方程（每小题5分，共15分）

3．已知： 试确定函数 ，使曲线积分 与路径无关

在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，其净增长率为0.003 从某时刻（t=0）开始，有一群鲨鱼来到这些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼鲨鱼吞食大马哈鱼的速度与当时大马哈鱼总数的平方成正比，比例系数为0.001而且，由于一个不受欢迎的成员进入到它们的领域每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。

(1)建立数学模型以分析该海域大马哈鱼总数随时间的变化

(2)设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在 时会发生什么情况

七、（8分）如果某地区AIDS病人数的净增长率为r，已知该地区在1988年有这种病人161个①问：到2000年该地区这种病人的总数有多少？②若该地区每年为每個AIDS病人所提供的费用是m元问：从这12年间，该地区为这种病人所提供的总费用有多少。

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