复合函数的求导的导数、对数与指数函数的导数

二. 本周教学重、难点：

1. 复合函数的求导的求导法则

设在点处有导数在点的对应点处有导数，则在点处也有导数且或

[例1] 求下列函数的导数

[例2] 若，解不等式

设曲线在点M（）处的切线与轴围成的三角形面积为求切线的方程。

[例4] 曲线在（01）处的切线与的距离為，求的方程

∴ 曲线在（0，1）处的切线的斜率

[例5] 将水注入锥形容器中其速度为，设锥形容器的高为顶口直径为，求当水深为时水媔上升的速度。

解：设注入水后水深为，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为这时水的体积为

由于水面高度随时间而变化，因洏是的函数

由此可得水的体积关于时间的导数为

∴ 当时水面上升的速度为：

[例6] 求下列函数的导数

[例7] 已知曲线与，其中且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切

证明：设两曲线公共点为（）则，

[例8] 设曲线在处的切线为数列中，且点（）在上

（1）求证：数列是等比数列，并求；

[例9] 已知求的反函数及

1. 首先指出下列函数是怎样复合的然后求导：

2. 求下列函数的导数

已知曲线C₁：与C₂：，直线与C₁、C₂都相切求直线的方程。

（2）由对数运算性质有

解：依题意，可设直线与相切于点与相切于点对于，则与相切于点P的切线方程为即，对于则与相切于点Q的切线方程为，即