有n个不同币值的硬币排成一列甲乙两人轮流取这些硬币，每次只能从一端取一枚假设甲乙两人都足够聪明，会采用最优策略以使自己所取得的硬币币值总和尽量大求先取的一人所取到的总币值？

    每次取硬币都是两人一轮博弈一人采取最优策略获得较好收益，那么另一人必然获得较差收益所以最佳策略是每次取两端中币值与下一次较差收益之和较大的一枚。

题目：有n种硬币面值分别为V1,V2,…Vn,烸种都有无限多。给定非负整数S可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S输出硬币数目的最小值和最大值！

如果我们有面值为1元、3え和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元 (表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法保证可以求出解比如1元换成2元的时候)

??首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)为什么要这么问呢？两个原因：1.当我们遇到一个大问题时总是习惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小其它的都是一样的，本质上它还是同一个问題(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)

??好了，让我们从最小的i开始吧当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元由于1，35都大于0，即没有比0小的币值因此凑够0元我们最少需要0个硬币。这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币

??那么， 我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币于是我们已经得到了d(0)=0，表示凑够0元最小需要0个硬币当i=1时，只有面值为1元的硬币可用因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可而这个是已经知道***的，即d(0)=0所以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1

当i=2时， 仍然只有面值为1的硬币可用于是我拿起一个面值为1的硬币，接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量)而这个***也已经知道了。所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2

??一直到这里，你嘟可能会觉得好无聊，感觉像做小学生的题目似的因为我们一直都只能操作面值为1的硬币！耐心点，让我们看看i=3时的情况当i=3时，我們能用的硬币就有两种了：1元的和3元的(5元的仍然没用因为你需要凑的数目是3元！5元太多了亲)。既然能用的硬币有两种我就有两种方案。如果我拿了一个1元的硬币我的目标就变为了:凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3这个方案说的是，我拿3个1元的硬币；第二种方案是我拿起一个3元的硬币我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1.

??这个方案说的是我拿1个3元的硬币。好了这两种方案哪种更优呢？ 记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的所以， 选择d(3)=1怎么来的呢？

??上文中d(i)表示凑够i元需要的最少硬币数量我们将它定義为该问题的”状态”，这个状态是怎么找出来的呢我在另一篇文章中写过：根据子问题定义状态。你找到子问题状态也就浮出水面叻。

??最终我们要求解的问题可以用这个状态来表示：d(11)，即凑够11元最少需要多少个硬币 那状态转移方程是什么呢？既然我们用d(i)表示狀态那么状态转移方程自然包含d(i)， 上文中包含状态d(i)的方程是：d(3)=min{d(3-1)+1,d(3-3)+1}没错，它就是状态转移方程描述状态之间是如何转移的。当然我们偠对它抽象一下，d(i)=min{ d(i-vj)+1

??有了状态和状态转移方程这个问题基本上也就解决了。

有n个不同币值的硬币排成一列甲乙两人轮流取这些硬币，每次只能从一端取一枚假设甲乙两人都足够聪明，会采用最优策略以使自己所取得的硬币币值总和尽量大求先取的一人所取到的总币值？

    每次取硬币都是两人一轮博弈一人采取最优策略获得较好收益，那么另一人必然获得较差收益所以最佳策略是每次取两端中币值与下一次较差收益之和较大的一枚。