常微分方程柯西初值问题的解怎麼做（即初值初值问题的解怎么做）解的存在唯 一性（讲稿） 徐兴波 June30,2015 Abstract 介绍Picard 关于柯西初值问题的解怎么做解的存在唯一性的定理证明 1 一些概念 Definition1.1(欧式空间中向量的范数).欧几里德空间 中,向量 ，则 定义 ∥ ∥ √? ? 即向量的范围被定义为自身内积的开方 Definition 1.2 (一致收敛).设有向量函数序列 ， 且 ∑ ， 。 如果 , , 当 时有 ∥ ∥ ，那么向量函 数序列 是一致收敛于向量 Theorem 1.3 (一致收敛的柯西充要条件). 向量函数列 在 上一 致收敛的充要条件為， ，使得 时对任给 和 ，不等式 ∥ ∥ . Definition 1.4 (常微分方程).微分方程：联系着自变量、未知函数及其相对自变 量的导数在内的方程“常”，意指未知函数是自变量的一元函数微分方程的“阶”： 指各未知函数微商阶数之和，它是反映了求解微分方程难度的一个量 Definition 1.5 (常微分方程標准形式).若 为 维行向量， 是自变量则一般的 阶常微分方程系统 ′ (1.1) 其中 ′ d ， d 。 d d 通常将高阶常微分方程写成向量形式即令 ′ (1.2) 1 其中上标 表礻转置。得到常微分方程的标准形式 ′ (1.3) 一般地，该标准形式可写为 ′ Definition 1.6 (常微分方程的一个解).设函数 在区间 上连续，且有 直到 阶的导数洳果把 及其相应的各阶导数代入方程(1.1)，得到关于 的恒等式即 ′ 对一切 都成立，则称 为微分方程(1.1)在区间 上的一个解 Remark1.7(常微分方程历史).常微汾方程在微积分出现后即已出现，最典型的应用 是牛顿用非凡的积分技巧解决了二体初值问题的解怎么做的运动微分方程从而在理论上證实了地球 绕太阳的运动轨道是个椭圆，解释了地球不会因为太阳强大的引力作用而会与太阳相 撞澄清了当时的一种悲观论点。另外萊布尼茨（Leibniz, ）