华东师范大学 硕士学位论文 养老保险精算模型研究 姓名：曾纪洁 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：韩天雄

夔星鎏颈圭学位论文答辩委爨会成员名尊

姓名 汪荣明 夏荣良 丁邦俊

职称 教授 副教授 副教授

单位 华东师范大学统计系 华东师范大学统计系 华东师范大学统计系

华东师范大学硕ｊ：论攵

中国和世界上许多国家一样现在也面临着养老金制度改革这个重要的问 题。建国几十年来中国人均预期寿命已大大提高，由建國初期的不到５０岁提 高到九十年代初的７０岁同时，七十年代后期以来中国实行计划生育政策加 速了中国的人口老化进程。自二十卋纪八十年代以来中国人口老龄化的进程加 快，人口预期寿命延长养老保险制度遇到了基金筹集与支付的两难困境。在企 业改制和人ロ老化的双重压力下我国从八十年***始对城镇职工养老金制度进 行改革试点。

关键词：基本养老保险，现收现付制部分积累制，个人帐户缴费率，发 放标准替代率，隐性养老金债务

第一节选题背景和相关概念

假设：ｎ：在职职工人数 ｍ：退休职工入数 ０：平均工资 ｒ：缴费率 ｐ：平均养老企

篓（遗体职工入数麓在职鞭工久鼗之逡≥鬻为抚养跑

设職工就业第一年工资收入为Ｗ职工个人工资年增长率为ｇ，个人缴费和 单位补助的合计缴费率为ｃ（ｃ＝１１％）就业年限即缴费年限为ｍ（ｍ≥１５）， 个人帐户预定利率为ｉ（ｉ≠ｇ）假定个人缴费和单位补助全部计入个人帐户（即 缴费率等于计费率），缴费时間在每年年初则有各年的缴费在就业期末的终值

职工逶体蓊一年静工资可表示为：娟＋窖）”’

ｏ¨．．（１＋１ｇ）１”。ｗ０＋ｉ）坠鸳巡

－』ｏ．０１１ｔ，＋玲拦蔫笋

…蛾均上ｉ－ｇ陋Ｌｔｌ＋ｇｎ）螂叫嘲１Ｉ

命题３．１：《决定》下，个人帐户养老金替代率随着工资增长率的增加而减小ａ 证明：

可慨令ｆｆ（（ｇｇ，＝＝铠舞杀杀笋笋＝晶一等

则廠：’ｃｇ＝ｃ－＋，”二￡：璺二ｊ！；；：考；；ｉ；：；掣一』ｉ掣

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（ｆ―ｇ）２（１＋ｇ）Ｈ４叫’

八加型坐业等蒹等≥型ｃ。．－ ＝（！±１２：！！±曼！：：！二！竺二１２Ｑ±星２：：：！！±！！：ｇ＝星！二（！±！！！！±曼！：！：： （ｉ－ｇ）２（１＋ｇ）２‘“。１’

将（１＋１）（１＋ｇ）搿羁泰鞍疑嚣式展强：

（１＋ｉ）（１＋ｇ）辨＝（１＋玲（重＋ｆ）”÷《ｌ＋１）删（１＋ｉ）”ｑ（ｇ―ｉ）＋点

＝《ｌ＋ｉ）”＋’＋≯站（１＋ｉ）辨（ｇ一０＋蕊

冀中蕊＝（ｉ＋ｉ）ｍ（掰一１）（１＋药”一２＜ｇ―ｆ）２

因为；的大小介予ｉ和ｇ之间，所以茜＞ｏ

（ｆ―ｇ）２（１＋ｇ）”

又因为删所蚶（加雨熹可饥

’．《决定》下，个人帐户替代率随着工资增长率的增大而减小

命题３．２：《决定》下，个人帐户养老金替代率随着预定利率的增大而增大

邝，＝坐世篙群杂掣型一篱

：竺！！塑：：尘二盟二！！±鲨。且

＝坐坚芝蜜黑掣 Ｏ－ｇ）２（１＋ｇ）”１

Ｏ―ｇ）２（１＋ｇ）“

将（１＋ｇ）”用泰勒展开式展开：

（１＋ｇ）”＝（１＋ｆ）“＋掰（１＋ｆ）”＋’（ｇ－ｉ）＋３２

其中最－－－－－ｍ（／＇ｔｌ一１）（１＋秭…一２（ｇ―１）２

因为；介于ｇ和ｆ之间，所以疋＞ｏ

因为哦＞０，所以’（ｆ）＞０。 即当ｉｔ时，Ｏ）个那么当ｉ个时，ｒ＝ｒ ０．０１ｌ（１＋ｆＶ（０个

￡，：６＋―生＋……＋―上

令ｓ＝Ｄ得个人帐户养老金發放标准６。南

除数因子越大，养老金发放标准６越低；除数因子越小养老金发放标准６

＝一尹１，―（１＋―ｉ）＂－而１＋ｉ （ｅ－ＦＩ）（广１＋ｉ）＂－２

＝一一１＾―ｌ＋ｉ＋ｉ―（ｅ－１）

＝型ｉ２掣（１＋ｉ）＃

将用（１＋ｆ）泰勒展扦式展开：

＋（１＋Ｏ。＝ｌ＋ｅｉ＋８３

其中暖＝Ｐ（ｅ一１）（１＋ｉ）’２ｉ２

因为ｉ介于０和ｉ之间，所以最＞０

将（３．６）式代入（３．５）式，得：

ａｆ（ｉＰ）１＋ｉｅ一１一ｅｉ┅最

～－ｉ（１＋ｉ）。－’１ｎＯ＋ｆ） ．．除数因子随利率的增大而减小。

显然Ｏｆ（．ｉ，ｅ）＞０ ｏｅ

．’．除数因子随岼均余命的增大而增大。

摄攒１９８９年金黧赘镇麸业生命表静数据显示我国５８岁驳工韵警均余命

《决定》中规定个人帐户养老金月发放标准为本人帐户储莓额除以１２０，也 即除數因子为１０（１２０÷１２－－－－ｌＯ）。皮上恧的躁表霹｛２是蠹出，除数因予为ｌＯ是按 长期平均测率为７．ｓ％静假定计舞褥出的，显然把７，５％俸为长期平均穰率水平 有点编高近千年来银行掰率豹变动已经诞孵了这一点。由于除数因子随利率的 增大而减小换个说法也就是说发放标准随利率的增大而增大，所以《决定》中 规定的养老金发放标准存在偏高的问题长期平均利率定谯５％较为匼遗，由上 丽的图表可以看出除数因予应定在１１。６左右也即个人帐户养老金月发放标 准鹿为本人帐户健存毅除以１４０（１１．６×１２＝１３９。２）。

第四节‘新人’和‘中人’养老金糖算模型 １９９７年《决定》嫂定，职工在工作期阉建立令人帐声由职王幫瘫主联合缴

华客ｌ｜ｉ｜ｉ范夫学鞭士论文

～ｐｏｖ～∑ｂ ｋ只ｖｋ∑ｃｗｏ（１＋ｇ）ｋ ｋＰｏＶ‘

又职工退休前一姩工资为ＷｏＯ＋ｇ）’“，则‘新人’个人帐户替代率为

二． ‘中人’养老金精算模型 《决定》中规定对《决定》实施前参加工作、实施厝退休的职工（‘中人’），

华东師范大学硕：｝论文

作年限巾没有实行个人襁户褥过渡设养老金就是弥补这段年限的劳溯贡献的。 一．退休‘中人’毖性养老金债努糖算模趔 ‘Φ入’避捂１９９７年醣嚣遥休并在１９９７年以靛（毽捂１９９７颦）参加工

ＤＤ２＝羔‰２Ｂｘ＝，２＋薹（∑１＿等０３－Ｘ．Ⅳ‰．ｘ＝５８２拈 ∑（１一―石一）Ⅳ２。，以４．：：

其中爿，表示退休‘中人’未来基础养老金在２００５年初的精算现值：

４．２＝ｏ．２‰∑（１＋ｇ）‘Ｉｐｘｖｋ，

丑：表示退休‘中人’未来过渡性养老金在２００５年初的精算现徝：

Ｅ，２＝ｐ［３１＋（ｘ－５８）】呒临（，】∑ｎ矿

涯翻：《决定》麓定，‘中入’豹基疆谯莽老金宙枉会统筹基金支付按仩年 度职工社会平均工资的２０％按月发放。

该ｉ毽休‘中入’ｍ一１萝辩废颁取静基确性养老叠谯２００５颦韧的精算现值为： Ｏ．２冁Ⅻ（１十痨－Ｉ－ｘ“一；热ｖ州一。

最２＝ｆｌ［３１＋（ｘ一５８）】％Ⅻ小。７）（１ｐｘＰ＋２Ｐｘｖ２＋…¨＋¨一ｎＶｏ－，－ｘ）

＝＝ｆｌ［３１＋（ｘ－５８）］Ｗ２００５一（一，７）∑ＩＰｘＶ‘

则未来应付所有ｘ岁‘中人’过渡性养老金在２００５年初的精算现值为： Ⅳ２毗只。２

综上所述２００５年退休‘中人’隱性养老金债务为：

＝∑Ⅳ２毗，色．：＋∑０Ｉ－芦Ｏ）ｂⅣ－２毗－Ｘ‰４，：＾

＝‰％＋薹百６５－ｘ０２

二在职‘孛人’隐瞧养老金绩务耪算模型 命题４．３：设ｔ年份，即（ｔｔ＋１）年，ｘ（２８≤嚣≤５７）岁在职‘中人’人数 为Ⅳ』，２００５年社会平均工资为％，社会平均工资年增长率为譬，预定利率为 ｉ贴现率ｖ＝ｉ／（１＋ｆ），过渡性养老金计笈系数为卢参加工莋平均年龄为２０岁， 平均＿ｉ爨体年龄为鼹岁粼在２００５年，程职‘中太’隐经养老金馕务为：

３＝－薹‰％噻等‰‰ Ｊ；２孽

冀Φ名，褒示在职‘中人’来来基础性蘼老金在２００５年初豹糖算现镶：

ｔ。＝＿ｏ．２％∽（｛＋加￥７－ｘ＊ＰｘＶ５“∑＾島。（１＋ｇ）’矿

艮，表示在职‘中人’未来过渡性养老金在２００５年初的精算现值：

证明：《决定》勰定‘中入’豹基础性养老金按上苹度职工社会乎均工资的 ２０％按月发羧。因扰瑷年（２００５年＞ｘ梦（２８－＜ｘ墨５７）在驳‘串久’逶体螽应 领取蛉基础性养老金在２００５年规的现馕为：

该在职‘中人’珊一１岁时应领取的基础性养老金在２００５年初的精算现值为：

４．３＝０．２Ｗ２００５（１＋ｇ）５７－ｚ ５８－ｘ见Ｖ”［１＋（１＋ｇ）ｌＰｓａＶ＋…．＋（１＋ｇ）ｍ－ｌ－５８ ｍ－ｌ－ＳｇＰ５Ｂｖ““］

则未来应付所有ｘ岁‘中人’基础性养老金在２００５年初的精算现值为：

僮是‘中入’领取静蒸础髋养老金不宪垒耩子隐往馈务，其中有一部分燕‘串久’

建立令人搬户螽缴费影残熬因此基础性舞老龛耩冀现镶减去这一郯分痿才属予

制度转轨产生的隐性馈务。在参加工作平均年齡为２０岁、退休年龄为５８岁的假

殴下职工的工作年限为３８年（５７－－１９＝３８）。‘中人’建立个人帐户缴费的年

限为８年（２００５－－１９９７＝８）ｘ多‘中入’参加工作的年限为ｘ－１９，斑诧属于

隐性绩务戆这一都分在全部基破性葵老金精算薹冕蕊中爨蠢戆魄铡蔽海立云｝（靼

―ｘ－１―９－８；￡翌）

嗣越２００５年所有在赣‘孛久’避俸霜基赫ｉ；往养老金形成漪隐性债务為；

。囊ｘ－２７ Ｎ掷。４，

该在职‘中人’５８岁时成领取的过渡性养老金在２００５年初的精算现值为： ｆｌ（ｘ－２７）Ｗａ∞５（１＋ｇ）５７－ｘ ５８－，见ｖ”。

该在职‘中人’国一１岁时应领敬的过渡性养老金在２００５年初的精算现值为：

只．３＝ｆｌ（ｘ－２７）Ｗ２∞ｓ（１＋ｇ）５７’ｘ ５８－ｘＰｘＶ５８‘。（１＋ＩＰ５ｌｖ＋……＋ｍ―ｌ～５８Ｐ５８ｖ４―１―５８）

＝卢（ｘ一２７）Ｗ２∞５（１＋ｇ）５７－ｘ ５８－ｘＰｘＶ蛐叫∑ＩＰ５８ｖ‘

则未来應付所有工岁‘中人’过渡性养老金在２００５年初的精算现值为： ＾抛５。只．３

综上所述，２００５年在职‘中人’隐性养老金债务为：

Ｄ３＝ｘ量－２１１‰Ａ＋薹２１等‰以

第四节解决隱性养老金债务的几个想法

保險精算学是以概率论和数理统汁为基础研究保险事故的出险规律、保险事 故损失额的分布规律、保险人对被保险人承担风险的平均损失及汾布规律、保险 费和责任准备金等保险实务问题的～门学科，是－－Ｉ＇２融合统计学、应用数学、保 险学及人口学等多学科知识的边沿茭叉学科养老保险精算学主要是利用生命表 理论、利息理论和生存年金理论对养老保险进行保险定价、风险评估等研究。

［５］ＩｌａｂｅｒｍａｎＳ．，Ｐｅｎｓｉｏｎ ｆｕｎｄｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙｓ．Ａ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ａｐｐｒｏａｃｈ

Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，１９９２１１，１７９―１８９．

［７］Ｈａｂｅｒｍａｎ，Ｓ．ａｎｄ Ｊ－Ｈ Ｗｏｎｇ，Ｄｙｎａｍｉｃ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｔｏ ｐｅｎｓｉｏｎ ｆｕｎｄｉｎｇ．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：

［９］Ｌｅｅ．Ｅ．Ｍ．１９８６．Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｐｅｎｓｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ，Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ａｎｄ Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ

ＡｃｔｕａｒｉｅｓＬｏｎｄｏｎ，ＵＫ．

［１３］ｌｔａｎｓ Ｕ．Ｇｅｒｂｅｒ＋Ｌｉｆｅ Ｉｏｓｕｒａｎｃｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｔｈｉｒｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ １９９７．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ． ［１４］Ｂｅｎｊａｍｉｎ，ＳＤｒｉｖｉｎｇ ｔｈｅ ｐｅｎｓｉｏｎ ｆｕｎｄ。Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ａｃｔｕａｒｉｅｓ

１９８９，１ １６７１７―７３５．

Ｒｅｔｕｒｎ ａｎｄ Ｐｅｎｓｉｏｎ Ｆｕｎｄｉｎｇ，．Ａｃｔｕａｒｉａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｐａｐｅｒ Ｎ ９７ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ