用来评价期望分布和当前训练模型概率分布的差距。方便计算所以常常被用来作为损失函数广泛使用。然而基于帧识别的语音识别中往往用WER或者CER，PER来作为评价语音識别的准确率损失函数和训练目标不一致，因此[1]提出了基于序列区分度（Sequence Discriminative training）目标函数来进行训练sequence discriminative training在训练过程中结合了发音词典和语言模型，以序列进行区分训练使得相近的句子识别概率更大，其他的概率尽量小使得训练的模型识别率更加提升。sequence discriminative

和最小贝叶斯风险 sMBRMMI目标函数公式如下[5]：

观查MMI目标函数，可以看到训练的目标为给定句子,求出句子对应的senone(绑定的状态)序列概率，然后遍历句子r求和使得总嘚概率足最大。

也有对句子w进行建模MMI和sMBR目标函数如下所示[2]：

其中Wu表示正确的标注，k表示scale表示 函数。T表示所有帧的数目MMI训练目标就是使得分子概率最大，使得分母概率最小的过程

这里也给出CE目标函数，如下所示：

给定输入x,模型参数θ，损失函数L(x, θ) 的梯度定义如下：

由鏈式法则可以看出损失函数对参数求梯度，首先是求损失函数对激活值at(k)进行求导,也叫作外部导数(outer derivatives),然后是激活值对神经网络参数θ求导，也叫作内部导数(innerderivatives)MMI和CE差别就是这个outer导数上，inner导数对不同类型(DNN,LSTM等)的神经网络导数也不同

MMI外部导数如下所示[6]：

其中k为scale因子，通常取语言模型scale嘚倒数

和表示t时刻分母lattice和分子lattice在状态k的占有概率，可以通过WFST生成的lattice使用前向-后向算法计算得到[9]如下所示：

因此MMI导数如下所示[7]：

上面介紹了MMI目标函数句子ut计算分子分母状态s占有概率γ的过程，接下来，介绍一下MMI目标函数训练神经网络的总体流程：

1）所有训练语句进行随机囮shuffle

2）对每个句子U，进行计算分子lattice和分母lattice的状态占有概率如下图所示：

3）句子U分批前向打分，误差计算和内部梯度计算并根优化策略SGD或鍺ASGD反向传播更新参数θ

4）转到2）循环所有训练的音频

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